专题25：第5章相似三角形之A字型相似-备战2022中考数学解题方法系统训练（全国通用）（解析版）

1、25第5章相似三角形之a字型相似学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1如图，已知若的面积为，则的面积为（ ）abcd【答案】a【解析】【分析】根据相似三角形的性质得出，代入求出即可【详解】解：adeabc，ad：ab1：3，abc的面积为9，sade1，故选：a【点睛】本题考查了相似三角形的性质定理，能熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解此题的关键2如图，abo的顶点a在函数y（x>0）的图象上，abo90°，过ao边的三等分点m、n分别作x轴的平行线交ab于点p、q若anq的面积为1，则k的值为（）a9b12c15d18【答案】d【解析】【分析】易证anqampa

2、ob，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出anq的面积，进而可求出aob的面积，则k的值也可求出【详解】解：nqmpob，anqampaob，m、n是oa的三等分点，四边形mnqp的面积为3，sanq=1，saob=9，k=2saob=18，故选：d【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及反比例函数k的几何意义，正确的求出sanq=1是解题的关键3直线l1l2l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点a，b，c恰好分别落在三条直线上，ac与直线l2交于点d，则线段bd的长度为（ ）abcd【答案】d【解析】【分析】

3、分别过点a、b、d作afl3，bel3，dgl3，先根据全等三角形的判定定理得出bceacf，故可得出cf及ce的长，在rtacf中根据勾股定理求出ac的长，再由相似三角形的判定得出cdgcaf，故可得出cd的长，在rtbcd中根据勾股定理即可求出bd的长【详解】如图，分别过点a、b、d作afl3，bel3，dgl3，abc是等腰直角三角形，acbc，ebc+bce90°，bce+acf90°，acf+caf90°，ebcacf，bcecaf，在bce与acf中，cbeacf（asa）cfbe，ceaf，l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，cfbe3，ce

4、af3+14，在rtacf中，af4，cf3，ac5，afl3，dgl3，cdgcaf， ，在rtbcd中，bc5，所以故答案为：d【点睛】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键4如图，、分别交于点、，则下列结论中错误的是（ ）abcd【答案】b【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再变形，结合相似三角形对应边成比例即可判断各个选项【详解】解：abcda选项正确，不符合题目要求；aedf，cegcdh，,abcd，, ，b选项错误，符合题目要求；abcd，aedf，四边形aedf是平行四边形，af=de，aedf，；c选项正

5、确，不符合题目要求；aedf，bfhbag，d选项正确，不符合题目要求故选：b【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键5如图在abc中，debc，b=acd，则图中相似三角形有（）a2对b3对c4对d5对【答案】c【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论【详解】b=acd，a=a，acdabc，debc，adeabc，acdade，debc，edc=dcb，b=dce，cdebcd，故共4对，故选：c【点睛】本题考查了相似三角形的判定注意掌握数形结合思想的应用，注意平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角

6、形与原三角形相似二、填空题6如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为 【答案】1.5米【解析】如图，debc，adeacb， 解得h=1.5（米）7在矩形abcd中，点e 是ad上一动点，过点e作efbd交ab于f，将aef沿ef折叠，点a的对应点落在bcd的边上时，ae的长为_【答案】2或【解析】【分析】分落在bd上或bc上两种情况，分别画出示意图，根据矩形的性质以及折叠的性质求解即可【详解】解：当落在bd上时，如下图：在矩形abcd中，根据折叠的性质可知，efbd；当落在bc上时，如下图：故答案为：2或【点睛】本题考查的知识点是矩形的性质、平行

7、线的性质、折叠的性质、相似三角形的判定及性质，考查的范围较广，但难度不大，根据题意画出示意图是解此题的关键8如图，小杨将一个三角板放在上,使三角板的一直角边经过圆心,测得,则的半径长为_cm【答案】3.4【解析】【分析】作ohbc于h，如图，则ch=bh，先利用勾股定理计算出bc=，则ch=，再证明rtcohrtcba，然后利用相似比计算oc即可【详解】连接bc，作ohbc于h，则ch=bh，在rtacb中，bc=，ch=，och=bca，rtcohrtcba，即，解得，oc=3.4故答案为：3.4【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心

8、角的一半也考查了垂径定理和相似三角形的判定与性质9如图，王华晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为1米，继续往前走2米到达处时，测得影子的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯的高度等于_【答案】4.5【解析】【分析】设之间的距离为x米，根据题意可得，即，代入数值解得x=2，进而求得ab，即可求得路灯的高度【详解】如图，设之间的距离为x米，根据题意可得，即，解得，经检验是所列方程的解，解得，经检验是所列方程的解，故路灯的高为4.5米故答案为：4.5【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，涉及相似三角形的判定与性质、解分式方程等知识，会利用相似三角形的性质列出方程是解答的关键10平行于bc

9、的直线de把abc的面积平分，且交边ab、ac分别于点d、e，则的值为_【答案】【解析】【分析】利用相似三角形的性质即可求解【详解】平行于bc的直线de把abc的面积平分，debc，adeabc，即，解得：故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握“相似三角形面积的比等于相似比的平方”是解题的关键三、解答题11（教材呈现）下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容（定理证明）请根据教材内容，结合图，写出证明过程（定理应用）如图，在矩形abcd中，ac为矩形abcd的对角线，点e在边ab上，且ae = 2be，点f在边cb上，cf= 2bfo为ac的中点，连结ef、oe、

10、of（1）ef与ac的数量关系为_（2）与的面积比为_【答案】【定理证明】证明见解析；【定理应用】（1）ef与ac的数量关系为；（2）与的面积比为【解析】【分析】定理证明：先根据相似三角形的判定与性质可得，再根据平行线的判定即可得证；定理应用：（1）先根据线段的比例关系可得，再根据相似三角形的判定与性质即可得；（2）如图（见解析），先根据三角形中位线定理可得，设，再根据三角形的面积公式分别求出与的面积，由此即可得出答案【详解】定理证明：点d、e分别是ab、ac的中点，在和中，且；定理应用：（1），在和中，即；（2）如图，过点o作于点m，作于点n，四边形abcd是矩形，即，点o是ac的中点，、是

11、的两条中位线，设，则，即与的面积比【点睛】本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、矩形的性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，运用到三角形中位线定理是解题关键12如图，在中，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，圆是的外接圆（1）求证：为圆的切线；（2）若，求圆的半径【答案】（1）证明见详解；（2）圆的半径为3.【解析】【分析】（1）连接，根据半径所形成的等腰三角形和平分可以得到，从而证出，即可得证；（2）根据角度的转化，结合得到，可以证明，结合相似三角形的性质可以得到，同时，利用角度相等则三角函数值相等可以得到，从而分别求出，即可求出半径；【详解】（1）连接 圆是的外接圆

12、平分 即 为圆的切线（2） 由（1）证得： 在和中： ，且 ， 圆是的外接圆,且 是圆的直径 圆的半径为3【点睛】本题主要借助平行线进行圆切线的判定，同时考查了圆和三角形的相似，综合度比较高，准确的作出辅助线并找到相似三角形是求解本题的关键.13如图，bd为的直径，交bc于（1）求ab的长（2）延长db到f，使得，求证：直线fa与相切【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）先证明abeadb，利用相似三角形的性质可求得ab的长；（2）连接oa，在rtabd中可求得bd，可证明aob为等腰三角形，结合bf=bo可证明oaf=90°，证得结论【详解】解：，解得；证明：如图，连接

13、oa， 为直径，为直角三角形，在中，又，直线fa与相切【点睛】本题主要考查切线的判定及相似三角形的判定和性质的应用，掌握切线的判定方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点，然后证明垂直，没有切点时，过圆心作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径14如图，四边形abcd和四边形aced都是平行四边形，点r为de的中点，br分别交ac、cd于点p、q（1）求证：pcqrdq；（2）求bp：pq：qr的值【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得，再根据，即可证明；（2）根据平行四边形的性质可得，再根据相似三角形的性质可得，从而可得，再根据，即可求解【详解】解：（1），又（

14、2）四边形和四边形都是平行四边形，又点是中点，由（1）知，又，【点睛】本题考查了相似三角形的问题，掌握平行四边形的性质、相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键15有这样一道题：已知：如图（1），点在内部，连，点，分别在，上，且，（1）求证： ；（2）若将这题图（1）中的点移到外，如图（2），其他条件不变，试 问：与有何关系？请你完成图（2），写出你的结论（不需证明）【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】【分析】根据平行线的性质，得出对应边成比例，证明三角形相似【详解】（1）证明：（2）如图，,【点睛】本题图形复杂，主要考查了相似三角形的判定以及平行线成比例定理，正确掌握平行线分线段成比

15、例定理是解题关键.16如图，求证：【答案】见解析【解析】【分析】由推出，由推出，再由相似三角形的性质证得，并证出，然后容易证明【详解】解：【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定定理，灵活使用性质定理和判定定理是解题关键17（1）如图，在中，点、分别在、上，且，交于点，求证：（2）如图，中，正方形的四个顶点在的边上，连结，分别交于，两点如图，若，直接写出的长；如图，求证：【答案】(1)见解析;(2)；见解析.【解析】【分析】（1）可证明adpabq，acqadp，从而得出;（2）根据三角形的面积公式求出bc边上的高，根据adeabc，求出正方形defg的边长，根据等于高之比即可求出mn；由，得

16、又为正方形，得出，同理，有，又因为，所以，所以【详解】（1）证明：如图1在中，由于，同理在acq和aep中，（2）如图2, 作aqbc于点qbc边上的高de=dg=gf=ef=bg=cfde：bc=1：3又debc，ad：ab=1：3，de边上的高为,故答案为证明：如图3，又为正方形，同理，在中有，又因为，【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，注意利用相似三角形的对应边成比例解决问题18如图，在中，若动点从点出发，沿射线运动，运动速度为每秒2个单位长度过点作交于点，设动点运动的时间为秒，的长为（1）求出关于的函数关系式；（2）当为何值时，的面积有最大值或最小

17、值，最大值或最小值为多少？【答案】(1) ;(2)x=2时，s有最大值，且最大值为6.【解析】【分析】(1)分两种情况讨论：当点在线段上时，然后利用相似三角形的对应边成比例求得，用x、y表示该比例式中的线段的长度整理后即可；当在延长线上时，用x、y表示该比例式中的线段的长度整理后即可；（2）当在线段上时，求得，化成顶点式，可求最值；当在延长线上时，化成顶点式，可求最值【详解】（1）如图，当点在线段上时， ，又，如图，当在延长线上时，（2）如图，当在线段上时，当时， 当时，有最小值，且最小值为不符合题意舍去如图，当在延长线上时，综上所述：当时，有最大值，且最大值为6【点睛】本题主要考查相似三角形

18、的判定、平行线截线段成比例定理、三角形的面积及二次函数的最值问题，找到等量比是解题的关键19矩形abcd中，ab8，ad12将矩形折叠，使点a落在点p处，折痕为de（1）如图，若点p恰好在边bc上，连接ap，求的值；（2）如图，若e是ab的中点，ep的延长线交bc于点f，求bf的长【答案】（1）；（2）bf3【解析】【分析】（1）如图中，取de的中点m，连接pm证明pomdcp，利用相似三角形的性质求解即可（2）如图中，过点p作ghbc交ab于g，交cd于h设eg=x，则bg=4-x证明egpphd，推出，推出pg=2eg=3x，dh=ag=4+x，在rtphd中，由ph2+dh2=pd2，可

19、得（3x）2+（4+x）2=122，求出x，再证明egpebf，利用相似三角形的性质求解即可【详解】解：（1）如图中，取de的中点m，连接pm四边形abcd是矩形，badc90°，由翻折可知，aoop，apde，23，daedpe90°，在rtepd中，emmd，pmemdm，3mpd，13+mpd23，adp23，1adp，adbc，adpdpc，1dpc，mopc90°，pomdcp，（2）如图中，过点p作ghbc交ab于g，交cd于h则四边形aghd是矩形，设egx，则bg4xaepd90°，egpdhp90°，epg+dph90°，dph+pdh90°，epgpdh，egpphd，pg2eg3x，dhag4+x，在rtphd中，ph2+dh2pd2，（3x）2+（4+x）2122，解得：x（负值已经舍弃），bg4，在rtegp中，gp，ghbc，egpebf，bf3【点睛】本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题20如图，点o是abc边bc上一点，过点o的直线分别交ab，ac所在直线于点m，n，且m，n（1）若点o是线段bc中点求证：m+n2；求mn的最大值；（2）若k（k0）求m，n之间的关系（用含k的代