专题21：第4章解三角形之一字型-备战2022中考数学解题方法系统训练（全国通用）（解析版）

1、21第4章解三角形之一字型学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1如图，一艘轮船从位于灯塔c的北偏东方向，距离灯塔60海里的小岛a出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔c的南偏东方向上的b处，这时轮船b与小岛a的距离是()a海里b海里c120海里d60海里【答案】b【解析】【分析】过点c作cdab于点d，先解rtacd，求出ad，cd，再根据bd=cd，即可解出ab【详解】如图，过点c作cdab于点d，则acd=30°，bcd=45°，在rtacd中，ad=ca=×60=30（海里），cd=ca·cosacd=60×=（海里），bcd

2、=45°，bdc=90°，在rtbcd中，bd=cd，ab=ad+bd=ad+cd=（30+）海里，故选：b【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，解一般三角形的问题，一般可以转化为解直角三角形的问题，解题的关键是作高线2如图，港口在观测站的正东方向，某船西东从港口出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达处，此时从观测站处测得该船位于北偏东的方向，则该船航行的距离（即的长）为（ ）abcd【答案】c【解析】【分析】过点a作adob于d先解rtaod，得出ad=oa=1，再由abd是等腰直角三角形，得出bd=ad=1，则ab=ad=2【详解】如图，过点a作adob于d

3、在rtaod中，ado=90°，aod=30°，oa=2，ad=oa=1在rtabd中，adb=90°，b=cab-aob=75°-30°=45°，bd=ad=1，ab=ad=即该船航行的距离（即ab的长）为km故选：c【点睛】此题考查解直角三角形的应用-方向角问题，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键3如图，热气球的探测器显示，从热气球a看一栋楼顶部b的仰角为30°，看这栋楼底部c的俯角为60°，热气球a与楼的水平距离为120米，这栋楼的高度bc为（ ）a160米b（60+160）c160米d360米【答案】c【

4、解析】【分析】过点a作adbc于点d.根据三角函数关系求出bd、cd的长，进而可求出bc的长.【详解】如图所示，过点a作adbc于点d.在rtabd中，bad30°，ad120m，bdadtan30°120×m； 在rtadc中，dac60°，cdadtan60°120×m.bcbddcm.故选c.【点睛】本题主要考查三角函数，解答本题的关键是熟练掌握三角函数的有关知识，并牢记特殊角的三角函数值.4如图，热气球的探测器显示，从热气球a处看一栋楼顶部b处的仰角度数为，看这栋楼底部c处的俯角度数为，热气球a处与楼的水平距离为100m，则这

5、栋楼的高度表示为（ ）a100(tan+tan)mb100(sin+sin)mcd【答案】a【解析】【分析】过点a作ahbc于点h，利用解直角三角形分别求出bh，ch的长，再根据bc=bh+ch，代入计算可求出bc的长.【详解】过点a作ahbc于点h， ahb=ahc=90°， 在rtabh中， bh=ahtanbah=100tan； 在rtach中， ch=ahtancah=100tan； bc=bh+ch=100tan+100tan=100（tan+tan）m. 故选：a.【点睛】此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确确定直角三角形是解题的关键.二、填空题5如图，海中有个

6、小岛a，一艘轮船由西向东航行，在点b处测得小岛a位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点d处，测得小岛a在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为_海里【答案】20【解析】【分析】过点a作acbd，根据方位角及三角函数即可求解【详解】如图，过点a作acbd，依题意可得abc=45°abc是等腰直角三角形，ab=20(海里)ac=bc=absin45°=10(海里)在rtacd中，adc=90°-60°=30°ad=2ac=20 (海里)故答案为：20【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知特殊角的三角函

7、数值6如图，海上有一灯塔p，位于小岛a北偏东60°方向上，一艘轮船从北小岛a出发，由西向东航行到达b处，这时测得灯塔p在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔p的正南方，此时轮船与灯塔p的距离是_（结果保留一位小数，）【答案】20.8【解析】【分析】证明abp是等腰三角形，过p作pdab，从而求得pd的长即可【详解】解：过p作pdab于d，ab=24，pab=90°-60°=30°，pbd=90°-30°=60°，bpd=30°，apb=30°，即pab=apb，ab

8、=bp=24，在直角pbd中，pd=bpsinpbd=24×=20.8.故答案为：20.8.【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出垂线，转化为直角三角形的计算是解决本题的关键7如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图自动扶梯的倾斜角为，在自动扶梯下方地面处测得扶梯顶端的仰角为，、之间的距离为4 则自动扶梯的垂直高度=_（结果保留根号）【答案】【解析】【分析】先推出abc=bac，得bc=ac=4，然后利用三角函数即可得出答案【详解】bac+abc=bcd=60°，bac=30°，abc=30°，abc=bac，bc=ac=4，在rtbcd中，bd=

9、bcsin60°=4×=，故答案为：【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角函数，得出bc=ab=4是解题关键8某拦水坝的横截面为梯形， 迎水坡的坡角为，且， 背水坡的坡度为是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，坝面宽，坝高则坝底宽_【答案】【解析】【分析】添一条辅助线，作bfcd，ae=12m，根据，可得cf的长，根据背水坡ad的坡度，可得de的长，且ab=ef，坝底cd=de+ef+fc，可得出答案【详解】解：如图所示，添一条辅助线，作bfcd，ae=12m，且，而，m，又背水坡ad的坡度，故de=30m，且ef=ab=3m，坝底cd=de+ef+fc=30+3+16=49

10、m，故答案为：49m【点睛】本题主要考察了用正切值求边长，坡度是坡角的正切，在直角三角形中，正切值为对边斜边，掌握定义就不会算错9如图，某轮船以每小时30海里的速度向正东方向航行，上午8：00，测得小岛c在轮船a的北偏东45°方向上；上午10：00，测得小岛c在轮船b的北偏西30°方向上，则轮船在航行中离小岛最近的距离约为_海里（精确到1海里，参考数据1.414，1.732）【答案】38【解析】【分析】作cdab于点d，再求得ab、acd、bcd的值，然后根据锐角三角函数求出cd的长即可解答【详解】解：如图，作cdab于点d，根据题意可知：ab30×（108）60

11、（海里），acd45°，bcd30°，在rtacd中，cdad，在rtcbd中，bdabad60cd，tan30°，即，解得cd38（海里）答：轮船在航行中离小岛最近的距离约为38海里故答案为38【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握方向角的概念和解直角三角形的知识是解答本题的关键10如图所示，轮船在处观测灯塔位于北偏西方向上，轮船从处以每小时海里的速度沿南偏西方向匀速航行，小时后到达码头处，此时，观测灯塔位于北偏西方向上，则灯塔与码头的距离是_海里(结果精确到个位，参考数据：，)【答案】24【解析】【分析】作bdac于点d，在直角abd中，利用三角函数求得b

12、d的长，然后在直角bcd中，利用三角函数即可求得bc的长【详解】cba=25°+50°=75°，作bdac于点d，则cab=（90°70°）+（90°50°）=20°+40°=60°，abd=30°，cbd=75°30°=45°，在直角abd中，bd=absincab=20×sin60°=20×=10，在直角bcd中，cbd=45°，则bc=bd=10×=1010×2.4=24（海里），故答案是：

13、24【点睛】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，正确求得cbd以及cab的度数是解决本题的关键三、解答题11为加强我市创建文明卫生城市宣传力度，需要在甲楼a处到e处悬挂一幅宣传条幅，在乙楼顶部d点测得条幅顶端a点的仰角adf=45°，条幅底端e点的俯角为fde=30°，dfab，若甲、乙两楼的水平距离bc为21米，求条幅的长ae约是多少米？（，结果精确到0.1米）【答案】33.1米【解析】【分析】根据题意及解直角三角形的应用直接列式求解即可【详解】解：过点d作dfab，如图所示：在rtadf中，df=bc=21米，adf=45°af=df=21米 在rtedf

14、中，df=21米，edf=30°ef=df×tan30°=米 ae=af+bf=+2133.1米答：条幅的长ae约是33.1米【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，关键是根据题意及利用三角函数求出线段的长12如图，是某小区的甲、乙两栋住宅楼，小丽站在甲栋楼房的楼顶，测量对面的乙栋楼房的高度，已知甲栋楼房与乙栋楼房的水平距离米，小丽在甲栋楼房顶部b点，测得乙栋楼房顶部d点的仰角是，底部c点的俯角是，求乙栋楼房的高度（结果保留根号）【答案】18(+1)m【解析】【分析】根据仰角与俯角的定义得到ab=be=ac,再根据三角函数的定义即可求解【详解】如图，依题意可得bc

15、a=45°，abc是等腰直角三角形，ab=ce=dbe=30°de=be×tan30°=18的高度为ce+ed=18(+1)m【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义13汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去a、b两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的p点，测得a村的俯角为30°，b村的俯角为60°(如图)则a，b两个村庄间的距离是多少米(结果保留根号)【答案】a，b两个村庄间的距离300米【解析】【分析】根据两个俯角的度数可知abp是等腰三角形，abbp，在直角pbc中，根据三角函数就可求得bp的长【详解】解：

16、过p作ab的垂线，垂足是c，由题意得：aapq30°，pbcbpq60°，apb60°30°，apba，abpb在rtbcp中，c90°，pbc60°，pc450米，pbabpb答：a，b两个村庄间的距离300米【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用，正确理解解直角三角形的条件，熟练运用三角函数是解题关键14一艘渔船从位于a海岛北偏东60°方向，距a海岛60海里的b处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行已知在a海岛周围50海里水域内有暗礁（参考数据：）（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由（2）渔船航行

17、3小时后到达c处，求a，c之间的距离【答案】（1）没有危险，理由见解析；（2）79.50海里【解析】【分析】（1）过a点作于点d，在中求出ad与50海里比较即可得到答案；（2）在中求出bd得到cd，再根据勾股定理求出ac.【详解】解：（1）过a点作于点d，由题意可得， 在中，渔船在航行过程中没有触礁的危险；（2）在中，在中，即a，c之间的距离为79.50海里.【点睛】此题考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构建直角三角形，将已知的线段和角度放在直角三角形中，利用锐角三角函数解决问题是解题的关键.15热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，热气球与高楼的

18、水平距离为66m，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m，参考数据：）【答案】【解析】【分析】过点a作于点d，根据仰角和俯角的定义得到和的度数，利用特殊角的正切值求出bd和cd的长，加起来得到bc的长【详解】解：如图，过点a作于点d，根据题意，【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握利用特殊角的三角形函数值解直角三角形的方法16如图，一艘轮船以每小时30海里的速度自东向西航行，在处测得小岛位于其西北方向（北偏西方向），2小时后轮船到达处，在处测得小岛位于其北偏东方向求此时船与小岛的距离（结果保留整数，参考数据：，）【答案】此时船与小岛的距离约为44海里【解析】【分析】过p作phab，

19、设ph=x，由已知分别求pb、bh、ah，然后根据锐角三角函数求出x值即可求解【详解】如图，过p作phab，设ph=x，由题意，ab=60，pbh=30º，pah=45º，在rtpha中，ah=ph=x,在rtpbh中，bh=ab-ah=60-x，pb=2x，tan30º=，即，解得：，pb=2x=44（海里），答：此时船与小岛的距离约为44海里【点睛】本题考查了直角三角形的应用，掌握方向角的概念和解直角三角形的知识是解答本题的关键17如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为、，测得，千米，求、两点间的距离（参考数据：，结果精确到1千米）【答案】、两点间的距离约为1

20、1千米【解析】【分析】如图（见解析），先根据直角三角形的性质、勾股定理可求出cd、ad的长，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得bd的长，然后根据线段的和差即可得【详解】如图，过点c作于点d在中，千米（千米），（千米）在中，是等腰直角三角形千米（千米）答：、两点间的距离约为11千米【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键18如图，平台ab高为12m，在b处测得楼房cd顶部点d的仰角为45°，底部点c的俯角为30°，求楼房cd的高度（17）【答案】32.4m【解析】【分析】【详解】试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解试题解析：如图，过点b作becd于点e，根据题意，dbe=45°，cbe=30°abac，cdac，四边形abec为矩形，ce=ab=12m，在rtcbe中，cotcbe=，be=cecot30°=12×=12，在rtbde中，由dbe=4