2020届浙江省杭州市高级中学高三下学期3月高考模拟测试数学试题(解析版)

1、2020届浙江省杭州市高级中学高三下学期3月高考模拟测试2第1页共20页数学试题、单选题1.若集合 A x|x2 1 0, Bx|0<x<4,则 AAB=(A . (-8, -1)B. 0, 4)C. 1 , 4)D. (4, +8)【解析】解一元二次不等式求得集合A,由此求得两个集合的交集1 U 1,，所以(2由x 1 x 1 x 10解得x 1或x 1 ,所以AAI B 1,4故选：C【点睛】 本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题2.已知i为虚数单位，z 2'，则z的虚部为（）IA. 1B. -2C, 2D, -2I【答案】B【解析】

2、利用复数的除法运算化简 z的表达式，由此求得 z的虚部. 【详解】2 I 2 I I 依题意z 1 2I ,故虚部为 2.I I I故选：B【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数虚部的求法，属于基础题223.已知双曲线C ：4x2 1 （ a 0,b 0）的渐近线方程为y a bC的离心率为（）a. 5b. 75【解析】根据双曲线的方程和其渐近线方程可求得a 1-,然后再根据离心率的计算公b 2第5页共20页式可得所求.【详解】22由与, 0可得a2 b2ax,即为双曲线的渐近线的方程, b又渐近线方程为离心率故选B.(1)求双曲线的离心率时,将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本

3、量a,b, c的方程或不等式，利用 b2c c 一cc2 a2和e 转化为关于e的方程或不等式，通过解方 a程或不等式求得离心率的值或取值范围.(2)本题容易出现的错误是认为1W八由双曲线的标准方程求渐近线方程时，不论21”改为“ 0”，即可得到渐近线的方程.焦点在哪个轴上，只需把方程中的【解析】由题意，当工(J时，求得: 代总单调递增，排除A, B；当VMO时，令求得 网)在卜lo)单调递增,在匕单调递减，即可得到答案由题意，当X二0时，&)= 乂,，f&)= 1十!。，式金单调递增，排除A, B当工0时，点)=-犬，¥&)= -1十,令(匕)-、0，&am

4、p;)在|一Q)单调递增，在(_6)单 X.X调递减，选D【点睛】本题主要考查了函数图象的识别问题，其中解答中合理利用导数得到函数的单调性是解 答的本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题，-1、D ( E)随着x的增大而增大D(9随着x的增大而增大D( 9随着x的增大而减小D( E)随着x的增大而减小5.已知随机变量E满足P 0=0) =x, PG=1) =1-x,若x (0,万)，则()A. E(9随着x的增大而增大,B. E(E)随着x的增大而减小,C. E(E)随着x的增大而减小,D. E(E)随着x的增大而增大,【答案】B【解析】求得E和D的表达式，由此判断出两者的

5、单调性x1 2 x的【详解】1 依题意E 0 x 11 x 1 x,在区间(0-)上是减函数.2222【答案】Cc-8D.163D 01 x x 11 x 1 x x x,注意到函数y【解析】 根据三视图可得复原后的几何体（如图所示），根据公式可计算其体积【详解】根据三视图可得对应的几何体为四棱锥P ABCD ,它是正方体中去掉一个三棱锥和三棱柱，又Ss形ABCD 2 J2 2 4夜，P到底面ABCD的距离为 J2，故V 1 4 贬 22 8,33故选C.本题考察三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系.如果复原几何体比较困难，那么可根据常见几何体（如正方体、圆柱、 球等

6、）的切割来考虑7. In a 2 ln b 10”是次 1 ”成立的（）bA .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由对数的运算性质与不等式的基本性质结合充分必要条件的判定方法得答案解：由 ln a 2 ln b 10,得a得a b 1, a 1； bIn b 10,如 a 2, b 11 ”成立的充分不必要条件.a反之，由a 1 ,不一定有ln a 2 b. ln a 2 In b 10”是-b故选：A.本题考查对数的运算性质与不等式的基本性质,考查充分必要条件的判定方法，是基础8 .如图，圆O是半彳仝为1的圆，OA1uur uur

7、2,设B, C为圆上的任意2个点，则AC BC的取值范围是（【解析】B. -1 , 3C.-1,1利用平面向量线性运算和数量积运算，将uuur uunAC BC转化为1 uuur 一 BC21 uuir一 BC cos 2、，uuu k uuuuuur为OA和BC的夹角.由此求得ACuum入BC的取值氾围.设D是线段BC的中点,则有 u uuu uuu,衿OD A BC .设 为0A和BC的夹角.则uur uunAC BCuuurOCuuuOAuumBCuuur uum uuu uuur OC BC OA BCuuruuinOC BC cosBCOuuuOAuuurBCcosuuir 21 u

8、ur2BCuuir1 -一BC cosuuurBC cos 21 uur 一BC2uurBCuuinBCuuur 由于BCuur 以当BCuuin 2是8,3故选：A1 i 一时,2uumuuurACBC cosuurBC有最小值uuu 又当BCcos1时,uur uur有最大值为 3 ,即 AC BC有最大值3.所以uum uuurAC BC的取值范围【点睛】第7页共20页本小题主要考查向量线性运算、数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于 中档题.9.如图，在三棱锥 P ABC中，PB BCa, PA AC b a b ,设二面角P- AB- C的平面角为，则（PAC PBCPAC

9、 PBCPAC PBCPAC PBC【解析】 解题的关键是通过构造垂面得出PMC ,然后转化到平面中解决即可22第8页共20页解：如图（1）,取PC中点D,连接AD, BD,匡（U因PB=BC=a, FA=AC 易知 BD± PC, ADXPC,故可得PC,平面 ABD ,PM LAB于 M ,由 VABP VABC ,可得 CM LAB,PMCPM CM ha b,由图PMC(2)可得22PBC2PAC2 ，PACPBC,PBCPCA PCB -2PAC2PCA PCBPBCPAC PCB PCA故选：C.第22页共20页【点睛】 本题考查空间角的综合问题，考查空间想象能力，逻辑推

10、理能力，属于中档题-210 .设 a、b R ,数列 an 满足 ai 2 , an 1 a anA .对于任意a ,都存在实数M，使得anM恒成立B.对于任意b ,都存在实数 M ,使得anM恒成立C.对于任意b 2 4a,都存在实数 M ,使得an M恒成立D.对于任意b 0,2 4a ,都存在实数 M ,使得an M恒成立【答案】D【解析】取a b 1,可排除ab；由蛛网图可得数列 an的单调情况，进而得到要使an M ,只需2 1 '14 ab ,由此可得到答案.2a【详解】2取a b 1, an 1 an 1,数列4恒单调递增，且不存在最大值，故排除AB选项;由蛛网图可知,2

11、ax b x存在两个不动点，且用1 、一 1 4ab，X22a2aX1 ;当X1 a1 X2时，数列 an单调递减，则X1 an a1；所以要使an M ,只需要0 a1 X2,故2 11 4ab ,化简得b 2 4a且b 0.2a本题考查递推数列的综合运用，考查逻辑推理能力，属于难题.二、填空题11 .在九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马”现有一 阳马” P ABCD , PA 底面ABCD , PA AB 2, AD 1 ,则该 阳马' 的最长棱长等于;外接球表面积等于.【答案】39【解析】分别求各边长即可得最长棱，通过补成长方体可得球半径.【详解】如

12、图，PA 底面ABCD,底面ABCD为长方形，且 PA AB 2, AD 1,所以 pB 2，2, PD ,5, pc . PAAB2BC2 ；22 22 12 3.最长棱为：3.1 3该几何体可以通过补体得长方体，所以其外接球的半径为 一PC -.2 22 3则其外接球的表面积为 439,故答案为：3; 92【点睛】本题主要考查了四棱锥的几何特征及外接球问题，属于基础题.2x y 1 012.设x, y满足约束条件 x 2y 0，则z=2x+3y的最大值为 ;满足条件的x,x 1y构成的平面区域的面积是 ,25【答案】112512【解析】画出可行域，计算出可行域的面积，平移基准直线2x 3y

13、 0到可行域边界的位置，由此求得 z 2x 3y的最大值.画出可行域如下图所示：其中1 -a1，3，b1，2 ,c1 ,一，所以AB3._.2 51 5 5 25c到直线ab的距离为i - 3,所以可行域的面积为 2 2 3 12.平移基准直线2x 3y 0到可行域边界 A 1,3点位置时，z取得最大值为2 1 3 3 11.故答案为：（1）当；（2） 11.12【点睛】本小题主要考查利用线性规划求最大值，考查可行域面积的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.56.13 .已知（x 2） （2x 5） a0 “x L a6x ,则 a0=, a5=.【答案】16015【解析】 令x 0

14、 ,求得a0的值.由乘法分配律，结合二项式展开式，求得a5的值.【详解】5由（x 2） （2x 5） a。ax L a6x ,令 x 0 得 25 a。，即 a。160,a5即x5的系数，根据乘法分配律以及二项式展开式可知，x5的系数为C5 21 2 C；5 15,即 a5 15.故答案为：（1） 160; （2） 15【点睛】本小题主要考查二项式定理的运用，考查乘法分配律，属于基础题 14 .已知4ABC的内角A, B, C的对边分别为a,b,c,若A ,b （4 2J3）acosB, 6且b=1 ,则B=; AABC的面积为 .51【答案】-124【解析】利用正弦定理化简已知条件， 求得t

15、an B的值，由此求得B的大小.判断出b c ,由此利用三角形的面积公式，求得三角形ABC的面积.【详解】依题意A, b (4 2 J3) a cos B 6由正弦定理得sin B4 2，3 sin cosB ,6解得 tan B 2 . 3 ,而 tan g -tan tan 一641 tan tan 一64二1_产 2 V3 ,而133_ 5 56 12125_B 0，,所以 B 12 ，则C ,1111所以 S cbsin A 1 1.222 4故答案为：(1) 5-； (2)-124【点睛】 本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题15.从0, 1, 2, 3,

16、 4, 5这6个数中随机抽取5个数构成一个五位数 abcde,则满足条件a b c d e”的五位数的个数有.【答案】21【解析】由题意可知c最大，a不能为零，对c分成c 5和c 4两种情况进行分类讨 论，由此求得满足条件的五位数的个数【详解】 由题意可知c最大，a不能为零，当c 5时，则从剩下4个不为零的数中选 2个，放在c的左边，再从剩下的3个数中取两个，放在右边，故方法数有 C2 C； 18.当c 4时，5不能选取，则从身下 3个不为零的数中选两个，放在c的左边，再从剩下的2个数中取两个，放在右边，故方法数有C32 C2 3.所以总的方法数有18 3 21.故答案为：21【点睛】本小题主

17、要考查简单的排列组合问题，属于基础题2216.设F3F2是椭圆C: 人 1(0 m 2)的两个焦点，P(x0,y0)是C上一点,4 m且满足 PF1 F2的面积为J3,则| % |的取值范围是 .【答案】0,1【解析】根据 PF1F2的面积列不等式，解不等式求得|X0|的取值范围.【详解】111依题意，F1F2244m2,所以 SPF1F2- 2 44m2|y073 ,则y°而x1”1,所以x2 41当 412 4 .由于& m24 mm 4mm0 m 2 , 0 m2 4 ,根据二次函数的性质可知：2124mm m 24 0,4 ,所以 243,所以4m m212X0 4

18、-24 1,解得 X)0,1 .4m m故答案为：0,1 【点睛】 本小题主要考查椭圆的几何性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题17.设函数f x ln xX b a,b R ,当X 1,e时，记f x最大值为M a,b ,则M a,b的最小值为 In x a x b ,设a b ,利用绝对值不等式的性质即可得【答案】e 2【解析】易知f x max ln x a x bG x Inx x a b , F x In x x解.【详解】max In x a xb , In x a x b设 Gx In x x a b , F xIn x x a b1 ,令 h x Inx x, h x

19、 - 1 x当X 1,e时，h X 0,所以h X单调递减令 n x In x当x 1,e时,1x, n x - 1 x'n x 0,所以n x单倜递增所以当x 1,e时,G xmax 1 a b , 1 a e b ,F xmax 1 a b , 1 a e b ,则 4M a,b 1 a b 1 a e b 1 a e b 1 a b则 4M a,b |2 e 2a 2 e 2a 2e,r 一e即 M a, b 2 . e 故答案为：e.2【点睛】本题考查函数最值的求法，考查绝对值不等式的性质，考查转化思想及逻辑推理能力, 属于难题.三、解答题2 x18 .已知函数f(x) 6co

20、s J3sin x 3(0)的图象上相邻两对称轴之间的距2离为4.(1)求3的值及f(x)的单调递增区间；若f(x。)萼,% (|t)，求f(。1)的值.【答案】(1),在区间为8k,工8k ,k Z; (2) 旦4335【解析】(1)利用降次公式、辅助角公式化简f x的解析式，根据图象上相邻两对称轴之间的距离求得，根据三角函数单调区间的求法，求得 f x的单调递增区间(2)结合同角三角函数的基本关系式以及两角和的正弦公式，求得f (Xo 1)的值.【详解】(1)依题意f x 3 cos x 1V3sin x 3 3cos x V3sin x 2V3sinx 一,由3 2于f x的图象上相邻两

21、对称轴之间的距离为4,则T p| 80 ,解得 -所以 f x 2，3sinx.令2k x2k ,解得432432|02r .-8k,2 8k ,k Z ,即f x的单调递增区间为331028k,- 8k ,k Z .33(2)因为 f (x0)2j3sin x0 63,即 sin X03,而4354352 14x0 (3 Zx0 i一,所以 cos x0 2 243所以f(x0 1)2,3 sin x 2*3 sin x coscos xsin 4434344342 3 34525【点睛】本小题主要考查三角恒等变换,考查三角函数单调区间的求法,考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公

22、式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题19.如图，已知四棱锥 A-BCDE 中，AB=BC=2, Z ABC =120 °, AE276, CD/BE,BE=2CD=4, EBC 60(1)求证：EC,平面ABC；(2)求直线AD与平面ABE所成角的正弦值.【答案】(1)详见解析；(2)电055【解析】(1)通过余弦定理和勾股定理，计算证明证得 EC CA,EC CB,由此证得EC 平面ABC.(2)建立空间直角坐标系，通过直线AD的方向向量和平面 ABE的法向量，求得线面角的正弦值.【详解】(1)在三角形 ABC中，由余弦定理得 ac J222222 2 8s1200 2。&

23、#167; .在三角形BCE中，由余弦定理得 EC 商 22 24 2 cos60o 2四.所以_2_22_2_2CE2 CA2 EA2,CE2 CB2EB2,所以ECCA,EC CB所以EC 平面ABC.(2)建立如图所示空间直角坐标系C xyz,则 C0,0,0 ,E 0,0,2 .3 , A 2 , 3,0,0<3,1,0 ,所以uurAB3,1,0uuin ,AE2.3,0,2 .3 ,Be .3, 1,2.3uuinCD1 uuu-BE21 ，一-,33 ,所以D21_ JUIT-,3 ,AD 25.32x, y,z是平面v nABE的法向量，则 v nuuv AB uuv A

24、E3x2 1 '3xy 02 J3z1,J3,1 .设直线AD与平面ABE所成角为，则sinHJLTADuutr-r n -rAD n.33055本小题主要考查线面垂直的证明，考查空间向量法求线面角，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20.已知等差数列 an的公差不为零，且 a3 3, a、a?、a4成等比数列，数列 bn满足 B 2b2 L Lnbn 2an n N *(1)求数列 an、 bn的通项公式；求证：在假(i)当n 1时，不等式的左边为 立;杉an1河n N*2*【答案】(1) an n , bn - , n N ; (2)证明见解析.n【解析】(1)设等差数列

25、 斗 的公差为d , d 0,运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到an ,可令n 1,求得b ,再将n换为n 1 ,相减可得bn ；(2)原不等式转化为 J； J2 l np n 1 Vn-7,应用数学归纳法证明,注意检验n 1时不等式成立，再假设n k时不等式成立，证明n k 1时，不等式也成立，注意运用分析法证明(1)等差数列 an的公差d不为零,2a1 da、a2、a4成等比数列，可得 a a2,即a1 a1 3d解方程可得a1d 1 ,则anain数列bn满足b12b2 L L nbn 2an,可得b2a12,当 n 2 时，由 b1 2b2 L

26、Lnbn 2an 2n ,相减可得nbn 2 ,则bnb2(2)证明：不等式， ,b1可得 b12b2 L L222*一,b12 也适合 bn,则 bn , n N ;nnn L LJbJan 1JOT n N* 即为卜面应用数学归纳法证明右边，不等式成(ii)假设n1 vk1成立,当n k 1时，JI+J2+L +,三+壬k 1 N工2 2 3 3 k 1 k 2 k 21 2k k 1要证，.2 + 3 + L +k 1+'k 2 k . .【答案】(1) y 4x； (2)证明见解析,【解析】(1)将点Q的坐标代入抛物线方程，由此求得P的值，进而求得抛物线 E的方程.(2)设出直

27、线l的方程，联立直线l的方程与抛物线的方程，写出韦达定理，设出直线AP, BP的方程，联立直线AP, BP的方程求得P的坐标，由此判断出动点 P在定直线、 k 1只要证 k 1 JT7 ;k 1 k 2 Jk 2, k 2即证 Vk 2 Vk 1 1 j k 1 , , k 21 一即证 Jk 2 Vkl 1.0,k 2由k N*,可得上式成立，可得 n k 1时，不等式也成立综上可得,【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了利用Sn求通项以及数列不等式的证明，考查了数学归纳法的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题221 .已知抛物线 E： y2 2Px(p 0)过点Q(1,

28、2), F为其焦点，过 F且不垂直于x轴的直线l交抛物线E于A, B两点，动点P满足 PAB的垂心为原点 O.(1)求抛物线E的方程;(2)求证：动点S PABP在定直线m上，并求-一的最小值.S PAB的最小值为2J3.S QABS QAB3上.求得PABS QAB的表达式，利用基本不等式求得其最小值(1)将Q点坐标代入抛物线方程得22 2 p 1, p2 ,所以 y2 4x.(2)由(1)知抛物线E的方程为1,0 ,设直线l的方程为x tyXi,yi ,BxX2,y2 ,由 2 vty 1，消去x得4x4ty 4y1y20 ,所以y1 y24t由于。为三角形PAB的垂心，所以kPAkPBk

29、OBkOA方程为yy1X2X1y2V1y 7x34y2.由V2 一 x4y434y134y2在定直线X3上.直线i的方程为tyty 13 3t23t2d1,112Q到直线X2V2X1y1x .同理可求得直线y1y2Viy24t,解得4p到直线i的距离为l的距离为d21 2t 1,1 t2,所以直线AP的BP的方程为P 3,3t ,所以 P2tJ ?.所以1 t2S PABS QAB1212ABd13t2AB d22t3t23t22百，当且仅当223t3t22 3 , _一时取等号.所以3学的最小值为2J.本小题主要考查抛物线方程的求法,考查直线和抛物线的位置关系,考查抛物线中三角形面积的有关计算，属于中档题22.已知 f(X) 21n(x 2)(x1)2,g(X) k(x 1).(1)求f (x)的单调区间;(2)当k 2时，求证：对于f(x) g(x)恒成立;第17页共20页( .52)若存在Xo1,使得当X ( 1,%)时，恒有f(X) g(X)成立，试求k的取值范围.【答案】(1)单调减区间为(2, 3 吟,单调增区间为(3 底,);(2)详见解 22析；(3) (,2).【解析】【详解】试题分析：(1)对函数f X求导后，利用导数和单调