圆中常用辅助线的作法

1、 圆是初中几何学习中重要内容，学好圆的有关知识，掌握正确的解题方法，对于提高学生的综合能力非常重要，而在解决圆的有关问题时，恰当添设辅助线则是解题的关键。一、添设圆的辅助线的常用思想 添设圆的辅助线是几何学习的重要方法。在作辅助线时，应从结论入手分析，寻找题设和结论之间的关系，寻找隐含的条件，使辅助线起到“搭桥铺路”的作用。二、常用辅助线作法的应用 在解决与弦、弧有关的问题时，常作弦心距、半径等辅助线，利用垂径定理、推论及勾股定理解决问题。2.1、弦心距 -有弦，可作弦心距。例1、一根横截面为圆形的下水管道的直径一根横截面为圆形的下水管道的直径为为1米，管内有少量的污水（如图），此时米，管内有

2、少量的污水（如图），此时的水面宽的水面宽AB为为0.6米求此时的水深。米求此时的水深。 由垂径 定理得： AE = EB，由勾股定理可得OE=0.4米，则水深0.1米. 证明：过O作OE AB， 垂足为E，连接OA。E 在解决有关直径的问题时，常作直径上的圆周角，构成直径所对的圆周角是直角，寻找隐含的条件，从而得到所求结论。2.2、直径圆周角 -有直径，可作直径上的圆周角.例2、如图，AD是ABC外接圆的直径，AD=6cm， DAC=ABC求AC的长分析：连接CD，可得DAC=ADC则AC=CD=3 2cm 在解决有关切线问题时，常作过切点的半 径，利用切线的性质定理；或者连结过切点的弦，利用

3、弦切角定理，使问题得以解决。 2.3、切线径 -有切点，可作过切点的半径。 例3、如图，AB、AC与 O相切有与B、C点，A = 50，点P优弧BC的一个动点，求BPC的度数。 BOC = 360- A -ABO - ACO = 360- 50- 90-90 = 130 解：连结 OB、 OC ， AB、AC是 O的切线 ABOB， ACOC，在四边形ABOC中，A = 50 BPC = = 65ABO = ACO = 90 在解决两圆相交的问题时，常作两圆的公共弦，构成圆内接四边形。再利用圆内接四边形定理，架设两圆之间的”桥梁”，从而寻找两圆之间的等量关系。2.4、两圆相交公共弦 -两圆相交

4、，可作公共弦。 例4、如图，已知： O 和 O 相交于A、B两点，过A点的直线CD分别交 O 和 O 于C 、D；过B点的直线EF分别交 O 和 O 于E 、F 。求证：CEDF 。CEDF 122 21121证明：连结AB四边形ACEB是 O 的内接四边形 DAB = E四边形ABFD是 O 的内接四边形 DAB +F = 180 E +F = 180 在解决有关中点和圆心的问题时，可先连结中点与圆心。利用垂径定理，或者是三角形、梯形的中位线定理，可求出所需要的结论。2.5、中点圆心线 -有中点和圆心，可连结中点与圆心。例5、如图，已知AB、CD是 O的两条弦，M、N分别是AB、CD的中点，

5、并且 AMN = CNM 。求证：AB = CD 。即：AB = CD 证明：连结OM、 ONM、N分别是AB、CD的中点OMAB，ONCDAMO = CNO = 90 又 AMN = CNM OMN = ONM OM = ON 弦与弦心距，亲密紧相连。中点与圆心，连线要领先。两个相交圆，不离公共弦。遇直径想直角，遇切点作半径。圆的常用辅助线作法的“数学歌诀”三、尝试练习一1、如图，点O是EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆与角的两边分别交于A 、B和C、D点。求证：（1）、AB = CD （2）、PB =PD。PO平分BPA，OM=ONAB=CD。（1）、证明：过O作OMAB，ONCD，垂

6、足为M、N。MN三、尝试练习一1、如图，点O是EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆与角的两边分别交于A 、B和C、D点。求证：（1）、AB = CD （2）、PB =PD。（2）、AB=CD，OMAB，ONCDAM=MB=CN=ND又OM=ON，RtPMO RtPNOPM=PNPM+MB=PN+ND即：PB=PD2、如图，以RtABC的直角边AC为直径作 O交斜边AB于P，过B、P任意作一个圆，过A作所作圆的切线AD，切点为D。求证： 即：AD=ACAC是 O的直径，APC =90ACB=90，APCACB又AD是大 的切线证明：连结CP，3、如图，在 O中，半径OAOB垂足为O，P是OB上

7、任意一点，AP交 O于Q，过Q点的切线交OB的延长线于C。求证：CP = CQ。QC是 O的切线， OQC=90OA=OQ，OAQ=OQA又OAOB，APO=90-OAPCQP=90-OQA APO=CQPCQP=CPQ， CP = CQ。证明：连结OQ4、已知、AB是 O的直径，AC是 O的切线，切点为A，BC交 O于点D，E是AC的中点。求证：ED是 O的切线。OE是ABC的的中位线OEBCAOE=B，EOD=ODBOB=OD，B =ODBAOE = EOD又AC是 O的切线，OAE=90 OD=OA AOE = EOD OE=OEEAO EDOEDO=EAO=90即：ED是 O的切线。证明：连结OD，OE 5、已知：MN 切 O于A点，PC是直