函数的极限与连续

1、第1章 函数的极限与连续极限是微积分学中最基本、最重要的概念之一，极限的思想与理论是整个高等数学的基础，连续、微分、积分等重要概念都归结于极限，因此掌握极限的思想与方法是学好高等数学的前提条件，本章将在初等数学的基础上，介绍极限与连续的概念。§1-1 函数1、 函数的概念定义1.1 设有一非空实数集D，如果存在一个对应法则，使得对于每一个，都有唯一的实数y与之对应，则称对应法则是定义在D上的一个函数。记作，其中x为自变量，y为因变量，习惯上称y是x的函数，D称为定义域。当自变量x取定义域D内的，某一定值时，按对应法则所得的对应值，称为函数在是的函数值，记作。当自变量取遍D中的数，所有

2、对应的函数值构成的集合称为函数的值域，记作，即例1 已知，求，。解 例2 求下列函数的定义域。（1） ； （2）解 （1）,所以定义域为（2） ，所以定义域为由函数定义可知，定义域与对应法则一旦确定，则函数随之唯一确定。因此，我们把函数的定义域和对应法则称为函数的两个要素。如果两个函数的定义域、对应法则均相同，纳闷认为这两个函数是同一个函数。反之，如果两要素中有一个不同，则这两个函数就不是同一个函数。例如与，因为，即这两个函数的对应法则相同而且定义域均为R，所以它们是相同的函数。又如与，虽然，但由于这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数。通常函数可以用三种不同的形式来表示：表格法

3、、图形法和解析法（或称公式法）。三种形式各有其优点和不足，实际问题中往往把三种形式结合起来使用。2、 函数的几种特性的判定1. 单调性设函数在内有定义，若对内的任意两点，当时，有，则称在内单调增加；若当时，有，则称在内单调减少，区间称为单调区间。2. 奇偶性设函在以原点为中心的某一对称区间D上有定义，若对于任意的，都有，则称函数为偶函数；若有，则称为奇函数。否则为非奇非偶函数。3. 有界性设函数在内有定义若存在一个正数，使得对任意的，恒有,则称函数在内有界。如与都在内有界。4. 周期性设函数在上有定义，若存在一个正实数，对于任意的,恒有，则称是以为周期的周期函数。通常所说的周期函数的周期，是指

4、他们的最小正周期。如的周期是，的周期是，的周期是。函数（C是常数）是周期函数，但不存在最小正周期，此类函数称为平凡周期函数。3、 反函数定义1.2 设函数，其定义域为，值域为。如果对于每一个，有唯一的与之对应，并使成立，则得到一个以为自变量，为因变量的函数，称此函数为的反函数，记作显然，的定义域为，值域为。由于习惯上自变量用表示，因变量用表示，所以的反函数表示为图1-1例如的反函数是，其定义域就是的定义域，值域是的定义域，如图1-1所示。4、 初等函数1. 基本初等函数 下列六种函数统称为基本初等函数。（1） 常数函数（C为常数），其图形为一条平行或重合于轴的直线。（2） 幂函数（为实数），其

5、在第一象限内的图形如图1-2所示.图1-2（3）指数函数，定义域为R，值域为，图形如图1-3（a）所示。 （a） （b） 图1-3（4） 对数函数，定义域为，值域为R，图形如图1-3（b）所示。（5） 三角函数，其中正弦函数和余弦函数的定义域都为R，值域都为。正切函数的定义域为，值域为R，这三个函数的图形如图1-4所示。图1-4（6） 反三角函数，其中反正弦函数和反余弦函数的定义域都为，值域分别为和；反正切函数的定义域为R，值域为，这三个函数的图形如图1-5所示。2. 复合函数定义1.3 设函数的定义域为，函数的值域,若,则将称为与复合而成的复合函数，u称为中间变量，为自变量。如函数，因为的值

6、域包含在的定义域内，即，所以是的复合函数。注意：（1）并不是任何两个函数都可以复合，如和就不能复合，因为的值域为，而的定义域为，所以对于任意的所对应的，都使无意义。（2） 复合函数还可推广到有三个及以上函数的有限次复合。例3 指出下列函数的复合过程：（1） ； （2）解 （1）是由与复合而成的；（1） 是由，复合而成的。例4 已知的定义域为，求的定义域。解 由所以的定义域为。 3.初等函数 定义1.4 由基本初等函数经过有限四则运算或有限次的复合，且可用一个解析式表示函数，称为初等函数。有些函数在其定义域内，当自变量在不同范围内取值时，要用不同的解析式表示，这类函数称为分段函数，分段函数中有些

7、是初等函数，有些事非初等函数。例5 已知解； ； ；习题1-11. 求下列函数的定义域:（1） （2）（3） （4）2. 已知的值。3. 求下列函数的反函数：（1） （2） （3）4. 判断下列函数的奇偶性：（1） （2）（3）（4）5. 分析下列复合函数的结构，并指出它们的复合过程：（1） （2）（3） （4）§1-2 极限的概念1、 数列的极限先看下面两个按一定次序排列的一列数；（1）1,（2）我们称它们为数列，分别记作，。现在来考察n无限增大时，这两个数列的变化趋势。为清除起见，我们把这两个数列的前n项：分别在数轴上表示出来（如图1-8，图1-9所示） 图1-8 图1-9由图1

8、-8可以看出，当无限增大时，表示的点逐渐密集在的右侧，且无限接近于0；由图1-9可以看出，当无限增大时，表示的点逐渐密集在点的左侧，且无限接近于1。上述两个数列具有相同的变化特征，即当无限增大时，它们都无限接近于一个确定的常数。对于具有这样特征的数列，我们给出定义。定义1.5 如果当无限增大时，数列无限接近于一个确定的常数,则把常数称为数列的极限（也称数列收敛于）。记作因此，上述数列（1）有极限0，记作；数列（2）有极限为1，记作。例 1 观察下面数列的变化趋势，并写出他们的极限。（1） ； （2）； （3）； （4）。解 （1）的项依次为当无限增大时，无限接近于0，所以；（2） 的项依次为当

9、无限增大时，无限接近于1，所以；（3） 的项依次为当无限增大时，无限接近于0，所以；（4） 为常数数列，无论取怎样的正整数，始终为4，所以。一般地，一个常数数列的极限等于这个常数本身，即需要指出的是，并不是所有的数列都有极限，如数列，当无限增大时，也无限增大，不能无限接近于一个确定常数，所以它没有极限，又如，当无限增大时，在-1和1这两个数上来回摆动，不能无限接近于一个确定常数，所以它也没有极限。对于没有极限的数列，我们称该数列的极限不存在，亦称该数列发散。2、 函数的极限对于函数的极限，根据自变量的不同变化过程分两种情况介绍。1. 当时，函数的极限当自变量的绝对值无限增大时，记作。定义1.6

10、 设函数在时有定义（为某个正实数），如果当自变量的绝对值无限增大时函数无限趋近于一个确定的常数，则称常数为当时，函数的极限，记作这里要指出的是，表示既取正值而无限增大（记作），同时又取负值而其绝对值无限增大（记作）。显然，函数在时的极限与，时的极限存在以下关系：定理1.1 充要条件是。例2 讨论下列函数当时的极限。（1） （2） （3）解（1）由反比例函数的图形及性质可知，当无限增大时，无限接近于0，所以；（2） 由指数函数的图形及性质可知，所以不存在。（3） 由反正弦函数的图形及性质可知，所以不存在。 2.当时，函数的极限当自变量无限接近于某一定值时，记作。定义1.7 设，我们把集合称为点的

11、邻域，点称为邻域的中心，称为邻域的半径，又称集合为的去心邻域。如图1-10（a）、(b)所示。显然，的邻域即为开区间，记为；的去心邻域即为，记为。图1-10定义1.8 设函数在的某去心邻域内有定义，如果当无限趋近于时，无限接近于一个确定的常数,则称常数为当时函数的极限，记作：如函数，从图1-11可看出，当从1的左、右两旁无限趋近于1时，曲线上的点与都无限接近于点，即函数的值无限接近于常数2，所以。 图1-11 图1-12需要指出的是：（1） 由于现在考察的是当时函数的变化趋势，所以定义中并不要求在点处有定义；（2） 表示自变量从左、右两旁同时无限趋近于。例3 考察当时，函数的变化趋势，并求时的

12、极限。解 从函数的图形（图1-12）可知，当从左、右两旁同时无限趋近于-1时，函数的值无限趋近于常数-2，所以定义1.9 设函数在或内有定义，若当自变量从的左（右）两旁无限接近于，记作时，函数无限接近于一个确定的常数，则称常数为时左（右）极限，记作。极限与左右极限之有以下结论：定理1.2的充要条件是。例4 讨论下列函数当时的极限。（1） （2）解 （1）因为，所以根据定理1.2，不存在，称为符号函数，见图1-13（a）.（2） 因为，所以根据定理1.2.如图1-13（b）.图1-13习题1-21. 观察下列数列的变化趋势，并判断极限是否存在，若存在，指出其极限值。（1） （2）（3） （4）2

13、. 考察下列函数当时的变化趋势，求出其当时的极限。（1） （2）3. 讨论下列函数当时的极限。（1） （2）§1-3 极限的运算1、 极限的四则运算定理1.3 设,则（1）（2）（3）（4）说明：（1） 上述运算法则对于时的情形也是成立的。而法则（1）和（3）可以推广到有限个具有极限的函数的情形。（2） 由于数列可以看作定义在正整数集上并依次取值的函数，所以数列极限可以看作是一种特殊的函数极限。因此，对于数列极限也是有累死的四则运算法则。例1 求例2 求例3 求解 因为当时，分母的极限为零，所以不能直接用法则（4）。因为在的过程中，所以例4 求解 因为当时，与的极限都不存在，所以不能

14、直接应用法则（1）计算，应先通分，进行适当的变形，然后用相应的法则来计算。例5 求下列函数极限。（1） （2）解（1）因为当时，分子、分母的极限不存在，所以不能直接应用法则（4）。可先用同除分子、分母，然后再求极限。（2） 不能直接应用法则（4）,先用同除分子、分母，然后再求极限。例6 设无穷等比数列的首项为，公比满足，求数列的所有项之和。解 设数列的前项的和为，由等比数列的前项和公式得： 由此例可知，若一无穷等比数列的公比绝对值小于1（称为无穷递缩等比数列），则其所有项的和为，其中为首项，为公比，此式称为无穷递缩等比数列的求和公式。二、无穷小与无穷大 1.无穷小定义1.10 在自变量的某一变

15、化过程中，若函数的极限为零，则称此函数为在自变量的这一变化中的无穷小量，简称为无穷小。如函数，因为，所以函数是当时的无穷小。又如函数，因为，所以函数是当时的无穷小。值得注意的是：（1） 说一个函数是无穷小，必须指明白自变量的变化趋势，如是当的无穷小，而当趋向其他数值时，就不是无穷小；（2） 常数中只有“0”可以看成无穷小，其他无论绝对值多么小的常数都不是无穷小。 无穷小具有如下性质：（1）有界函数与无穷小的乘积为无穷小；（2）有限个无穷小的代数和为无穷小；（3）有限个无穷小的乘积为无穷小。例7 求解 因，即是当时的无穷小，是有界函数，所以根据无穷小的性质知，仍为当时的无穷小，即2. 无穷小与极

16、限的关系定理1.4 在自变量的某一变化过程中，函数的极限为的充要条件可以表示成一个同一变化过程中的无穷小量之和。即3. 无穷大定义1.11 在自变量的某一变化过程中，函数的绝对值无限增大，而且可以任意地大，则函数称为在自变量的这一变化过程中的无穷大量，简称无穷大，记为这里采用极限记号只为方便起见，并不表明极限存在。例如当时，无限增大，所以是当时的无穷大，记作；当时，总取正值而无限增大，所以是当时的无穷大，记作；当时，取负值而绝对值无限增大，所以是当时的无穷大记作。4. 无穷小与无穷大的关系在自变量的同一变化过程中，若为无穷大，则为无穷小；反之，若为不恒等于零的无穷小，则为无穷大。例8 求解 因

17、为 所以 结合本节的例5、例6，并可以证明：3、 无穷小的比较 定义1.12 设与是自变量在同一变化过程中的两个无穷小。 （1）若，则称是较的高阶无穷小，记作； （2）若，则称与是同阶无穷小，特别地。若,则称与是等价无穷小，记作。例9 下列函数是当时的无穷小，试与相比较，哪个是高阶无穷小？哪个是同阶无穷小？哪个是等价无穷小？（1） （2） （3）解 因为所以当时 是与等价的无穷小，是与同阶的无穷小，是较高阶的无穷小。习题1-31. 求下列函数的极限： （1） （2） （3） （4） （5） （6）2. 求无穷递缩等比数列的所有项之和。3. 试比较下列各组无穷小阶的高低：（1）（2）（3）

18、67;1-4 两个重要极限一、极限存在准则我们不加证明地给出以下两个极限存在准则：准则1 如果函数，在有而且，则。准则2 如果数列单调有界，则极限一定存在。2、 两个重要极限1.这个极限的正确性可用准则1来证明。这里我们仅列表考察当时，的变化趋势。0.84147100.95885110.99833420.99998330.9999998从上表可以看出当时，的值无限趋近于1，所以例1 求解 令，则时，所以此例还可以用正弦的二倍角公式来解：例2 求。解 令，则当时，所以例3 证明证 例4 求。解 实际上，这个重要极限还可以推广到一般情况：当时，若，则有例5 求解 例6 求解2.这个极限的正确性可用

19、极限存在准则2来证明，在此从略，仅列表考察当时，函数的变化趋势。1010010001000010000010000002.593742.704812.716922.718152.718272.71828-10-100-1000-10000-100000-10000002.867972.732002.719642.718422.718302.71828从上表可以看出，当时，的值都无限趋近于无理数所以若令，则当时，所以上式也可改写成：一般地，当时，若，则有例7 求解 例8 求解 例9 求解 习题1-41. 求下列各极限：（1） （2）（3） （4）（5） （6）2. 求下列各极限：（1） （2）（

20、3） （4）§1-5 函数的连续性在许多实际问题中，变量的变化往往是“连续”不断的。例如，气温的变化、物体的运动等，其特点是时间变化很小时，这些变量的变化也很小。变量的这种现象体现在函数关系上，就是函数的连续性。本节我们将用极限来定义函数的连续性。1、 函数的连续与间断1.函数的改变量设变量从初值变到终值与初值的差称为变量的改变量也称为增量，记作即变量的改变量可以是正的，也可以是负的。当为正时。变量是增加的；当为负时。变量是减少的。现设函数在内有定义，当自变量在该领域内从变到时，函数相应地从变到，所以函数相应的改变量为这个关系式的几何解释如图1-14所示。 （1） （2） （3） （

21、4）图1-14例1 已知函数，当自变量有下列变化时，求相应的函数改变量。（1） 从-1变到1；（2） 从1变到0；（3） 从1变到.解 （1） （2） （3）2. 函数在点处的连续性由图1-14可以看出，如果函数的图形在的某一邻域内没有断开，那么当保持不变，而让时，曲线上的点,即，从而函数改变量因此有如下定义：定义1.13 设函数在内有定义，若当自变量在出的改变量趋近于零时，相应的函数改变量也趋近于零，即则称函数在点处连续，称点为函数的连续点。例2 试用定义1.13证明：函数在点处连续。证明 显然函数在点的邻域内有定义。现设自变量在处有改变量，则由例1，当时，相应的函数改变量的极限所以根据定义

22、1.13，函数在点处连续。在定义1.13中，若令，则就是，就是，即就是。因此，函数在点的连续定义也可叙述如下：定义1.14 设函数在内有定义，若当时，函数的极限存在，而且极限值就等于在点处的函数值，即则称函数在点处连续。例3 根据定义1.14证明：函数在点处连续。证明 显然在的邻域内有定义，由无穷小的性质可知，即所以由定义1.14可知，函数在处连续。3. 函数在区间内的连续性若函数在开区间内的每一点处都连续，则称函数在开区间内连续。若函数在有定义，且，则称函数在处左连续。若函数在有定义，且，则称函数在处右连续。显然函数在处连续的充要条件是：函数在该点既是左连续，又是右连续。若函数在开区间内连续

23、，且在左连续，则称函数在闭区间上连续。4. 函数的间断点由定义1.14可知，函数在点处连续必须同时满足下列条件：（1） 函数在点处有定义；（2） 当时，的极限存在；（3） 极限等于在点处的函数值，即上述三个条件只要有一个不满足，函数在点处就不连续。若函数在点处不连续，则称函数在处间断，称点为函数的间断点。定义1.15 设为的一个间断点，如果与均存在，则称为函数的第一类间断点（特别地，当，为函数的可去间断点），否则，称为的第二类间断点。2、 初等函数的连续性我们不加证明地给出如下重要事实：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。这样，求初等函数的连续区间就是求初等函数的定义区间。关于分段函数的连续性，除按上述结论考虑每一分段区间内的连续性外，必须讨论分界点的连续性。例4 求下列函数的连续区间和间断点，并指出间断点的类型。（1） （2）解 （1）其连续区间即为定义区间：是它的两个间断点。因为，所以是第二类间断点。因为，所以是第一类可去间断点。（2） 显然在分段区间内连续，现考察分界点的极限。 所以是间断点，且是第一类间断点。；所以是连续点，故函数的连续区间是。3、 闭区间上连续函数的性质定理1.5（最大值、最小值定理） 若函数在闭区间上连续，则函数在区间上必然存在最大值与最小值。如图1-15所示，函数在区间上连续，则在闭区间上至很