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文档简介
1、数列的极限【知识概要】1. 数列极限的定义 1)数列的极限,在无限增大的变化过程中,如果数列中的项无限趋向于某个常数,那么称为数列的极限,记作. 换句话说,即:对于数列,如果存在一个常数,对于任意给定的,总存在自然数,当时,不等式恒成立,把叫做数列的极限,记为. 注: 理解数列极限的关键在于弄清什么是无限增大,什么是无限趋近; 有限项的数列不存在极限问题,只有无穷项数列才存在极限问题; 这里的常数是唯一的,每个无穷数列不一定都有极限,例如:; 研究一个数列的极限,关注的是数列后面无限项的问题,改变该数列前面任何有限多个项,都不能改变这个数列的极限; “无限趋近于”是指数列后面的项与的“距离”可
2、以无限小到“零”. 例1 判断下列结论的正误 (1)若,则越来越小; (2)若,且不是常数数列,则无限接近,但总不能达到; (3)在数列中,如果对一切总有,则没有极限; (4)若,则. 解:(1)不正确,例如:, (2)不正确,例如:,. (3)不正确,例如:,但. (4)正确2. 数列极限的运算性质 1)数列极限的运算性质 如果,那么 ; ; .特别地,如果是常数,那么2)四种常见的重要极限 (1) (2) (3) (4)例2 下列命题中正确的命题是( ) (A)若,则(B)若,则(C)若,则(D)若,则 解:选(D) 例3 已知,求. 解: 例4 求下列数列的极限 (1)若,则 , . (
3、2); (3); (4); (5) (6).3.数列极限常见的解题技巧现阶段求数列的极限,总是把被求极限的数列变形四个常见的基本极限,再依据极限的四则运算法则求解。所谓的解题“技巧”,也就是如何变形的问题。一般来说,关于的数列通项,如果仅仅只在底数的位置中含序号,往往变形为,利用求解;如果仅仅只在指数的位置中含序号,往往变形成,利用求解;如果既在底数的位置中含序号,又在指数的位置中含序号,往往变形成的形式,利用求解.同时遵循先化简再变形的原则.例5 若,求 解:根据求解,可得【课堂练习】1. 下列命题正确的是( )数列没有极限 数列的极限为0 数列的极限为 数列没有极限A. B. C. D.
4、答案:D2. 命题:单调递减的无穷数列不存在极限;常数列的极限是这个常数本身;摇摆的无穷数列不存在极限.以上命题正确的是( )A.0 B.1 C.2 D.3答案:B. 由极限的定义仅有是正确的.的反例是an=这是无穷单调递减数列,它的极限是零;的反例是an=它是摇摆的无穷数列,它的极限是零.因为|an0|=|0|=可以任意小.故选B.3. 已知,则的值是( B )A. B.C. D.不存在4. 设是无穷等比数列的前项和,若=,则首项的取值范围是( C )A. (0,) B.(0,) C.(0,)() D.(0,)(,1)5. 在数列中,若,则=_.6.设数列,均为等差数列,(公差都不为零),=
5、3,则=_.7. 已知,则=_,=_.8. 已知无穷等比数列的首项为,公比为且有(,则首项的取值范围是_. 答案: 5. 6. 7. 1 1 8. a1,且a11.9. 若,则a的取值范围是( )A B或 C D或分析:由(a为常数),知,所以由已知可得,解这个不等式就可求得a的取值范围解:由,得,所以,两边平方,得:,所以或答案 B10. 在数列中,已知,且,求. 解: 11. 已知 (x0),设,求:(1)数列的通项公式;(2) 解:(1)由an+12·f(an)=2,得an+12·=2an+12an2=4an2是以1为首项,4为公差的等差数列,an2=1+4(n1)=
6、4n3an0an=(2)原式=当|b|2,即2b2时,原式=当|b|=2,即b=±2时,原式=当|b|2,即b2或b2时,原式=b2综上,原式=12. 如图,在边长为的等边ABC中,圆为ABC的内切圆,圆与圆外切,且与AB、BC相切,圆与圆外切,且与AB、BC相切,如此无限继续下去,记圆的面积为,. ()证明是等比数列;()求的值. 解:()记rn为圆On的半径.r1=tan30°=l, =sin30°=rn=rn1(n2)a1=r12=an成等比数列.()an=()n1·a1(nN)(a1+a2+an)=.13. 设数列满足+=a2n1, 的前项和为.
7、(1)求;(2)求;(3)求证: 解:(1) a1+=a2n1a1+=a2(n1)1(n2)a2(n1)1+=a2n1an=n(a2na2n2)(n2)a1=a21当n=1时,等式亦成立.an=n(a2na2n2)nN*(2)由(1)an=n(a2na2n2)=n(a21)a2n2Sn=(a21)(1+2a2+3a4+na2n2)a2Sn=(a21)(a2+2n4+(n1)a2n2+na2n)a2SnSn=(1+a2+a4+a2n2na2n)(a21)(a21)Sn=(na2n)(a21)Sn=+na2n=(3)若要证(n+2)(n+1)an+n(n+2)an+12n(n+1)an+2,只要证2·2·=2×=(a21)·a2n2
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