材料力学能量法学习教案

1、会计学1材料力学材料力学(ci lio l xu)能量法能量法第一页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 2D FDFdDF对于(duy)一般弹性体0dWDDFFD图下方面积(2) 静载作功 静载是指从零开始逐渐地、缓慢地加载到弹性体上的载荷，静载作功属于变力作功。第1页/共152页第二页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 3对于(duy)线弹性体DFFD12DWF 2、应变能Ve弹性体因变形而储存的能量，称为应变能。 由能量守恒定律，储存在弹性体内的应变能Ve在数值上等于外力所作的功W。（忽略能

2、量损失）即 Ve =WF为广义力，D为与力对应的广义位移。第2页/共152页第三页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 4二、线弹性体的应变(yngbin)能1、轴向拉压FFDlDl22N1222F lF lVWF lEAEAeD FN为变量时2N( )d2lFxVxEAelFFllEAD F第3页/共152页第四页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 5Me2、扭 转jjMeMe22eePP1222M lT lVWMGIGIejT为变量(binling)时2P( )d2lTxVxGIeePM lG

3、Ij第4页/共152页第五页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 63、平面(pngmin)弯曲ddMxEI横力弯曲时忽略剪力对应变能的影响，如矩形截面，当l /b=10时，剪力的应变能只占弯矩应变能的3。1ddMxEI纯弯曲21dd22MxVWMEIe2( )d2lMxVxEIe横力弯曲M(x)为变量MMddx第5页/共152页第六页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 7 应变能Ve是内力（FN、T、M）的二次函数(hnsh)，应变能一般不符合叠加原理。但若几种载荷只在本身的变形上作功，而在其它

4、载荷引起的变形上不作功，则应变能可以叠加。第6页/共152页第七页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 8D DF从零逐渐增加到最终值，变形亦缓慢增加最终值。F 一、能量法 利用能量原理解决(jiju)力学问题的方法。 可用来求解变形、静不定、动载荷、稳定等问题。 第十章 能量法10.1 概 述二、外力功与应变能1、外力功W载荷在其作用点位移上所作的功，属于变力作功。第7页/共152页第八页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 9弹性体因载荷(zi h)引起的变形而储存的能量。2、应变能三、功能原理

5、条 件：（1）弹性体（线弹性、非线弹性） （2）静载荷 可忽略弹性体变形过程中的 能量损失。原 理：外力功全部转化成弹性体的应变能。 Ve = W第8页/共152页第九页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 10 x解：建立(jinl)坐标系求外力功W 和应变能VewA12AWFw222 300d() d226llMxFxxF lVEIEIEIe2 3126AF lFwEI3( )3AFlwEI列弯矩方程 M =Fx （ 0 x l ）lFBA已知：EI = 常数，用功能原理计算A点的挠度。 仅仅只能求力作用点与力相对应的位移，其它位移的求解有待

6、进一步研究功能原理。第9页/共152页第十页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 11图示对称结构，各杆抗拉刚度EA均相等。由平衡方程，通过功能原理导出变形几何方程；由平衡方程结合功能原理求出各杆内力。FABCDl解：A点的位移等于(dngy)杆的变形Dl3。由功能原理有 （1）311223311()22F lF lFlFlDD DD由平衡方程和对称条件有 （2）1212FFll D D，132cosFFF（3）（2）、（3）代入（1）得31cosllD D变形几何方程Dl1Dl32223312coscosF lF lF lF lFEAEAEAE

7、A（1）考虑物理方程得（2）、（3）代入上式并化简得得231cosFF几何方程和物理方程的联立第10页/共152页第十一页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 12Fi 为集中力，Di为该力作用(zuyng)点沿力方向的线位移；Fi为力偶，则Di为该力偶作用(zuyng)面内沿力偶转向的角位移（转角）。Di 简称为与力Fi (相)对应的位移。10.2 互等定理Fi 广义力（集中力，力偶）Di 广义位移（线位移，角位移）一、外力功的计算第11页/共152页第十二页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun)

8、13对于(duy)一般弹性体0dWDDFFD 图下方面积 静载是指从零开始逐渐地、缓慢地加载到弹性体上的载荷，静载作功属于变力作功。外力功属于静载作功。D FDFdDF对于线弹性体DFFD12DWFF为广义力，D为广义位移。第12页/共152页第十三页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 14 外力功的数值与加载顺序无关， 只与载荷与位移的最终数值有关。加载顺序： F1, F2, Fi， F2, F1, Fj， 不同时加载，加载顺序不同，外力功不变。 二、外力(wil)功与变形能的特点 如果外力功和变形能与加载顺序有关，会出现什么结果？ 按一种顺

9、序加载，按另一种顺序卸载，能量还能守恒么？反证法！第13页/共152页第十四页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 15F1F2F2F1先加F1后加F2先加F2后加F1不同加载次序外力功均相同，若按比例同时加载，外力同时达到(d do)最终值，即比例加载，外力功不变。第14页/共152页第十五页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 16即 D1= d11F1+d12F2+ +d1iFi + +d1nFnDi= di1F1+di2F2+ +diiFi + +dinFn其中dij 是与载荷无关的常数。注

10、意：各载荷和位移都是指最终(zu zhn)值，所以是常数。三、克拉贝依隆（Clapeyron)原理线弹性体上，作用有载荷F1,F2 , Fi, Fn与外力方向相应的位移为D1, D2, Di, Dn 由线弹性体的叠加原理，各位移是载荷的线性函数第15页/共152页第十六页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 17设各外载荷有一增量，于是(ysh)位移亦有一增量。载荷在位移增量上所作的元功为： dW=F1*dD1*+Fi*dDi*+Fn*dDn* =lF1d(lD1)+lFid(lDi)+lFnd(lDn) =(F1D1+FiDi+FnDn)ldl

11、外力作的总功为：1110111(+ ) d111+ 22212iinniinnniiiWFFFFFFFDDDll DDD D第16页/共152页第十七页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 18设各外载荷按相同的比例，从零开始缓慢增加到最终值。即任一时刻(shk)各载荷的大小为：F1*=lF1, F2*=lF2 , Fi*=lFi ,Fn*=lFn 其中 l从0缓慢增加到1，说明加载完毕。加载过程中 ，任一时刻的位移为：D1*= d11F1* +d12 F2 * + +d1iFi * +d1nFn *=lD1Di*= di1F1 * +di2 F

12、2 * + +diiFi * +dinFn *= lDi注意：带星号上标的载荷和位移都是中间值，所以是变数，随着l的变化而变化。第17页/共152页第十八页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 19112niiiVWFeD 线弹性体的外力(wil)功或变形能等于每一外力(wil)与其对应位移乘积之半的总和。F1F2FiD1D2Di图示挠曲线为所有力共同作用下的挠曲线，各点位移都不是单个力引起的，是所有力共同作用下的位移。D1既有F1的作用，也有F2 ， Fi 的作用。所以Clapeyron原理不符合叠加原理。第18页/共152页第十九页，共153

13、页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 20注 意1、Clapeyron原理只适用于线弹性，小变形体； 2、Di 尽管是Fi 作用点的位移，但它不只是Fi 一 个力引起的，而是所有力共同作用的结果，即 它是 i 点实际的总位移；3、Di 是Fi 对应的位移，Fi为集中力，Di则为线位 移，Fi为集中力偶，Di则为角位移； 4、Fi Di 为正时，表明Fi作正功，Di 与Fi 方向 （或转向）相同；为负则表示Di 与Fi 方向 （或转向）相反。第19页/共152页第二十页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 21

14、据Clapeyron原理，微段dx上dxTFNM()N222NP111ddddd222ddd222VWFlMTFxMxTxEAEIGIejD 组合(zh)变形整个杆件的应变能为( )( )( )222NPddd222lllFxMxTxVxxxEAEIGIe第20页/共152页第二十一页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 22位移命名位移D的第一个下标表示某点处的位移，第二个下标表示由那点的力引起的位移。FiijDiiDjiFjijDijDjjDii和 Dij第一个下标i表示i点的位移(wiy)，第二个下标i和j分别表示是由i点和j点的力引起的位

15、移(wiy)， Dji和 Djj亦可以类推得到。四、功的互等定理(线弹性体)第21页/共152页第二十二页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 2312iiiWFD12jjjiijFFDD先加Fi后加FjjFiiDiiDji外力(wil)功为 外力功W 与加载顺序无关，改变加载顺序可得到相同的外力功。DiiFiDijDjiDiFiODjFjOFjDjjFjDijDjj第22页/共152页第二十三页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 24先加FjjFjiDijDjj外力(wil)功为12jjjWF

16、D后加Fi12iiijjiFFD D先加Fi 后加Fj外力功为1122iiijjjiijWFFFDDDWW iijjjiFFD DDiFiODjFjOFjDjjDijDiiFiDjiFiDiiDji第23页/共152页第二十四页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 251122iiijjjiijWFFFD D DiijjjiFFD D11112222iiijjjiijiijFFFFD D D D11112222iiijjjiijjjiFFFFD D D D11()()22iiiijjjjjiFFD DD DClapeyron原理1122iijjF

17、FD D外力功和变形(bin xng)能不符合叠加原理第24页/共152页第二十五页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 26线弹性体上甲力在乙力引起的位移(wiy)上作的功，等于乙力在甲力引起的位移(wiy)上作的功。一般地，第一组力在第二组力引起的相应位移(wiy)上所作的功，等于第二组力在第一组力引起的相应位移(wiy)上所作的功。FiijDiiDjiFjijDijDjj功的互等定理注：力系、位移均为广义的。iijjjiFFD D第25页/共152页第二十六页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun

18、) 27抗弯刚度为EI的简支梁承受均布载荷q，已知其跨中挠度 ，如图所示。试用功的互等定理求该梁承受跨中载荷F时，梁挠曲线与原始轴线所围成的面积。 CqlwEI45=384解：设第一组力为F，梁上各点的挠度(nod)为w(x)。挠曲线与原始轴线围成的面积 ( )dwlAw xx第二组力q作用时，它在梁跨中引起的挠度为wC 。 45384CwFwFlAqEI d( )CwlFwq x w xqA由功的互等定理第26页/共152页第二十七页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 28 装有尾顶针的工件可简化为静不定梁。试利用互等定理求C处的约束力。AB

19、CFal解：解除C处约束的工件可简化为悬臂梁，F、FC作为(zuwi)第一组力。悬臂梁在C处加单位力1作为(zuwi)第二组力。FCABC1alwBwC()2323()326Bla aala awEIEIEI33ClwEI第一组力在第二组力引起的位移上所作的功等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功为零（C为铰支）。0BCCFwF w()2332CFaFlal第27页/共152页第二十八页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 29图示静不定结构由于铰链A的装配误差，使A，B两点分别有位移dA 和dB 。在结构A点的新位置（无装配应力位置）重新安

20、装铰链后， 在B点作用一向下的载荷 F，求此时铰链A的约束力（设结构保持线弹性）。 ABdAdBFABFAFA1解：第一种情况(qngkung)下，A处的约束力为FA1， 第二种情况(qngkung)下，A处的约束力为FA。由功的互等定理有100AABAFFFddAABFFdd第28页/共152页第二十九页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 30若 Fi = Fj =F则 Di j = Dj i线弹性体上作用在 j 处的一个力引起 i 处的位移(wiy)，等于它作用在 i 处引起 j 处的位移(wiy)。五、位移互等定理功的互等定理iijjji

21、FFD DlbhFFlbhFF图示杆件在中央受一对大小相等，方向相反的力作用，材料处于线弹性状态，求杆件的伸长Dl。解：沿杆件轴线加相同的一对力FhFhhEEbhbED FlhbED D 下图中第29页/共152页第三十页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 31D i j =D j iFijDij力F作用在 j点FijDji力F作用在 i点位移互等定理第30页/共152页第三十一页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 32位移(wiy)互等定理 单位力FiDi j =FjDj id i j =d

22、j i1ijdij单位力1作用在 j点1ijdji单位力1作用在 i点若 Fi = Fj =1(无量纲) 称为单位力第31页/共152页第三十二页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 33位移(wiy)互等定理注意：(功、位移)互等定理只适用于线弹性小变形体。 作用在j 处的单位力引起 i 处的位移，等于作用在 i 处的单位力引起 j 处的位移。d i j = d j iAB1llAB122BABlEId1力力22ABAlwEId1力力dBAdAB第32页/共152页第三十三页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院

23、(xuyun) 34广义力1作用在中点ABC1AClABC1wCAl广义力1作用在端点216ACAClEId216CACAlwEId第33页/共152页第三十四页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 35关于(guny)互等定理 BA = AB第34页/共152页第三十五页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 36关于(guny)互等定理FiA =MAi功的互等第35页/共152页第三十六页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 37讨论(toln)百分

24、表 悬臂梁受力如图示。现用百分表测量 梁在各处的挠度，请设计一实验方案。移动百分表？固定百分表？关于互等定理百分表固定在B处，移动载荷。第36页/共152页第三十七页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 38dFDWCFFDW0dFCCVWFD显然(xinrn) 余功 WC = WC ( F ) 余能 VC = VC ( F )FD图上方面积一、余功及余能10.3 余能定理与卡氏定理定义与外力功及应变能互补的余功及余能余功和余能均为广义载荷的函数。第37页/共152页第三十八页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院

25、(xuyun) 39D1D2DiF1F2Fi二、余能定理(dngl) 设任意弹性体（可以是非线性弹性体，）上作用广义载荷 F1，F2， Fi , 对应点的位移为 D1，D2， Di ， 无刚性位移。余能 VC = VC ( F1，F2 Fi ) 是载荷的函数。如果只有广义载荷 Fi 有一个增量dFi , 余功增量为 dWC = D i dFi第38页/共152页第三十九页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 40FdFDdWC D余能增量为ddCCiiVVFFddCiiiiVFFFDCiiVFD dWC = dVC 余能（Crotti-Enges

26、ser）定理(dngl) 弹性体（线性和非线性）某载荷作用点处的位移，等于弹性体的余能对该载荷的一阶偏导数。第39页/共152页第四十页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 41Di为正，表示位移方向（转向）和力Fi 的方向D（转向）一致，反之(fnzh)，则相反。iiVFeD CiiVFD 线弹性体某外力作用点处沿力作用方向的位移等于结构的应变能对该力的偏导数。对线弹性体 Ve = VC三、卡氏第二定理D FVeVC意大利工程师 阿尔伯托卡斯提格里安诺 (Alberto Castigliano， 18471884)第40页/共152页第四十一页

27、，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 42注意1、卡氏第二定理只适用于线弹性小变形体； 2、所求位移处必须要有与位移对应的广义 力作用；3、所求位移处广义力必须与其它载荷F1， F2， Fi ，要用不同的符号加以区别；4、静定结构的约束力要表示为所有各外载荷 的函数。第41页/共152页第四十二页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 43注意5、若构件不同两点i、j处的两个载荷符号F 相同，则令i处F=Fi 、j处F=Fj ；若只求某点处位移，该点处载荷在求约束力前必须(bx)与其它各处载荷用不同的

28、符号区别！ddddjiijijFVVFVFFFFFeee D D 第42页/共152页第四十三页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 446、若所求位移处无外载荷作用，则人 为附加一个与所求位移对应的载荷， 计算系统在原载荷和附加载荷共同 作用下的应变能，应变能对附加载 荷求完偏导数后，再令附加载荷为 零，即可求得该处的位移。注意第43页/共152页第四十四页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 45对线弹性(tnxng)杆系结构( )( )( )( )( )( )NNpdddiiiillliFxF

29、xM xM xT xT xxxxEAFEVFIFGIFeD ( )( )( )222NPddd222lllFxMxTxVxxxEAEIGIe（对线弹性结构）卡氏定理的应用计算载荷作用点的位移；计算无载荷作用点的位移，此时需在所求点沿 所求方向加一虚力，求导后再令虚力为零；计算两点相对位移，可在此两点分别加一等值 反向共线力，求导后再令其为零；同样可以计算角位移及相对角位移。第44页/共152页第四十五页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 46轴线为水平面内四分之一圆周的曲杆如图所示，在自由端B作用竖直载荷F。设EI和GIp已知，试用卡氏定理求截

30、面B在竖直方向的位移。解：在极坐标系中截面mn上的弯矩和扭矩分别为：()sin1 cos，MFRTFR2200p( d )( d )BMMTTRREIFGIFD 由卡氏定理()23232200P33P11sind1 cosd(38)44FRFREIGIFRFREIGI 第45页/共152页第四十六页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 47解：(1)求A点挠度(nod)梁的弯矩方程为 M =Fx （0 xl）0dlAVMMwxFEIFe01()()dlFxxxEI3( )3FlEI 线弹性材料悬臂梁受力如图，已知载荷F，刚度EI及l 。用卡氏定理

31、求：(1)加力点A处的挠度；(2)梁中点B处的挠度。FxABC2l2l第46页/共152页第四十七页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 48 在B处施加与所求挠度(nod)方向相同的力F1 ,弯矩方程为F1M1=Fx （0 xl /2）21()()22llMFxF xxl 1122202111ddlllBVMMMMwxxFEIFEIFe121() () d22llllFxF xxxEIF1=0(2)求梁中点(非加载点)B的挠度FxABC2l2l第47页/共152页第四十八页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(

32、xuyun) 4935( )48FlEI21()d2lllFx xxEI说明 结果为正，表明B点位移(wiy)方向与虚力F1一致, 即向下。 虚力F1应在弯矩求完偏导以后再令其为零。 虚力的符号应与其它力的符号有所区别，否 则会得出错误的结果。121() () d22llllFxF xxxEIF1=0第48页/共152页第四十九页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 502223311002 32212dd23312()2324318llFFVxxxxEIFF lFkkEIke( )342439CVFlFwFEIke解：系统(xtng)变形能C截

33、面的挠度抗弯刚度为EI的梁，B端弹簧刚度为k，试用卡氏定理求力F作用点的挠度。 3l2 3lABCkFxx1第49页/共152页第五十页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 51解：求A处挠度(nod)时 令A处集中力qa=F ，其它不变M(x)=Fxqx2 / 2qa20daAVMMwxFEIFe2420123()()d( )224aqxqaqaxqaxxEIEI弯矩对F 求完偏导后，再用qa 代回F 如何用卡氏定理求A端的挠度和转角？qqa2qaaAx第50页/共152页第五十一页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木

34、建筑学院(xuyun) 52求A处转角时令(shlng) A处集中力偶 qa2=M1M(x)=qaxqx2 / 2M1011daAVMMxMEIMe232015()( 1)d23aqxqaqaxqaxEIEI( )qqa2qaaAx第51页/共152页第五十二页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 5322NN12112221.365mm1313ni iiyiiiVF lFFlFlFE AFEAEAeD 用几何法求解需作变形图，借助(jizh)几何关系求位移。本题求铅直位移，直接用卡氏定理求解较简，若求水平位移用卡氏定理较麻烦，可用莫尔定理求解较

35、方便。图示结构已知F=35kN，d1=12mm，d2=15mm，E=210GPa。求A点的垂直位移。 C B450 3001m A0.8m F解：由平衡方程求得两杆的轴力分别为N1N2221313FFFF，N1N2221313FFFF ，对F求偏导第52页/共152页第五十三页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 54车床主轴如图所示，其抗弯刚度EI可视为常量。试求在载荷F作用下截面B的转角。a4aABCFx2ABCFMx1解：在截面(jimin)B处附加力偶矩M并求支座约束力 FA4AFaMFa列外伸梁各段的弯矩方程及其对M的偏导数 111(

36、)4AFaMM xF xxa 11( )4M xxMa AB段 22)(FxxM2()0M xMCB段 求截面B的转角 根据卡氏定理，截面B的转角为 第53页/共152页第五十四页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 550|( )( )dMBlM xM xxEIM 41210120200()()11()|d()|daaMMM xM xM xxM xxEIMEIM24111014()()d0443axFaFaxxEIaaEI111( )4AFaMM xF xxa 11( )4M xxMa AB段 22)(FxxM2()0M xMCB段 a4aAB

37、CF按叠加原理，外伸梁可转化为简支梁在B处受力偶MB=Fa作用，由卡氏定理有4aAB MBBBVMex40( )daBM xMxEIM4021() ()d44(4 )433aBBMxxxEIaaMaFaEIEI 第54页/共152页第五十五页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 56aABCFDaaF外伸梁受两个大小均为F的集中力作用，梁的EI及a已知，求D的挠度。解：求支座(zh zu)约束力，令D点的载荷为F1，这时支座(zh zu)约束力为 11322ABFFFFFF，FAFBF1=列出刚架各段的弯矩方程及其对F1的偏导数x1x2x3AC段

38、111111( )22AFFxMM xF xxF ，CB段11222221()()222AFFFFaxMM xF axFxaxF ，DB段31331()MM xFxxF ，计算D点挠度1322233300113()()d()()d( )|24aaDFFVaxFawFxxFxxxFEIEIe第55页/共152页第五十六页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 57弯曲刚度均为EI的静定组合梁 ABC，在 AB段上受均布载荷q作用，梁材料为线弹性体。试用卡氏第二定理求梁中间铰B两侧截面的相对转角。 ABCqll解：在中间(zhngjin)铰B两侧 虚设

39、一对外力偶MB。MBMB各约束力如图 222BqlM BMqllBMlx122111( )222BBqxqlMM xqlxMlAB段弯矩方程CB段弯矩方程x222()BMM xxl 第56页/共152页第五十七页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 58由卡氏第二(d r)定理得0( )( )dBlBM xM xxEIMD MB2211122()222()BBBqxqlMM xqlxMlM xM xl 2231111017()(2)d2224lqxxqlqlqlxxEIlEI 结果符号为正，说明相对转角DB的转向与图中虚加外力偶MB的转向一致。按

40、照叠加原理，相对转角DB等于悬臂梁B的转角及B的挠度引起的BC转角的和。ABCqll33478624BBBwqlqlqllEIlEIEID若计算悬臂梁的转角和挠度会更简单。第57页/共152页第五十八页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 59FRFjR(1-cosj )弯曲刚度为EI的等截面开口圆环受一对集中力F作用，环的材料为线弹性的。试用卡氏第二定理求圆环的张开位移D和相对转角 。解：张开(zhn ki)位移)cos1 ()()cos1 ()(jjjjRFMFRM()033201( )2( )(d )231 cosd()MVMRFEIFFF

41、RREIEIejjjjj D FRFjR(1-cosj )M1M1求相对转角，虚加一对力偶M1。 1( )(1 cos )MFRMjj1220001( )( )22d2(1 cos )dMMMFRFRREIMEIEIjjjjj第58页/共152页第五十九页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 60说明下图中的含义VFe讨 论12VFe D DD1D2FF第59页/共152页第六十页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 61若仅求D1或D2又如何(rh)计算？先计算A、B支座约束力；再令C 处F=FC

42、 ，或D处F=FD ;分段列弯矩方程；由卡氏定理求D1或D2 。方法一先令C 处F=FC ，或D处F=FD ;再计算A、B支座约束力；分段列弯矩方程；由卡氏定理求D1或D2 。方法二D1D2FFFFABCD第60页/共152页第六十一页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 62解：求支座约束力 由图可知(k zh)，A、D点载荷同为F，为便于区分起见，令A点载荷为F1，D点载荷为F2，这时支座约束力为 2221FFqlFE12()GxFFF1222GyFFqlF试用卡氏定理求图所示刚架A点的水平位移，设各杆抗弯刚度均为EI。（计算中可略去轴力和剪

43、力的影响）Fqll2l2l2FFlABCDEGl2l2l2F2F1lABCDEGqFEFGyFGx列出刚架各段的弯矩方程及其对F1的偏导数。由于是求A点的水平位移，则应该对该位移方向的力F1求偏导数。 第61页/共152页第六十二页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 630M01FMED段 12xFM 01FMDC段 21222212222FFqllMxFqx221xFMCB段 ()313212xFlxFFM21lFMAB段 12()G xFFF1222G yFFqlF1222EFFqlFl2l2l2F2F1lABCDEGqFEFGyFGxx1

44、x2x3x4()421xFFM41xFMGA段 计算A点水平(shupng)位移 注意求完导后，可令F1=F2=F。根据卡氏定理A点水平(shupng)位移为 ( )( )1dDAlMxMxxEIF()3203222220d21d22221xlFxEIxxqxFlxqlEIllEIFl63第62页/共152页第六十三页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 64 所求位移处载荷要在求支座约束力前与其它载荷区分所求位移处若无载荷作用要人为附加一个载荷，弯矩求完偏导后再令附加载荷为零。 卡氏定理计算位移的不便之处？如何消除(xioch)消除(xioch

45、)不便之处？第63页/共152页第六十四页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 65iiVFeD以弯矩为例，探讨弯矩对某广义(gungy)力求偏导的含义。式中M(x)是所有载荷共同作用下的弯矩方程。线弹性小变形情况下，内力符合叠加原理。M(x) = M(F1 ， F2 ， Fi ， Fn ) =M1(x) + + Mi(x) + Mn(x)其中Mi(x) 是Fi 单独作用于结构时引起的弯矩对线弹性杆系结构( )( )( )222NPddd222lllFxMxTxVxxxEAEIGIe( )( )dliM xM xxEIF 第64页/共152页第六

46、十五页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 66111222( )( )( )( )( )( )iiiMxF MxMxF MxMxF Mx其中 是Fi =1，即i处单独作用一个单位力时引起的弯矩。( )iM x因为Mi(x) 是Fi 单独(dnd)作用于结构时引起的弯矩于是( )(00)( )(010)iiiMxMFM xM，111( )( )( )( )iiiM xMxMxFMFM x( )( )iiM xMxF( )M x简记为所以第65页/共152页第六十六页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun

47、) 67( )( )( )( )ddlliM xM xM x M xxxEIFEI 是所求位移处单独作用一个与位移对应的单位力时引起的弯矩( )M x莫尔积分(jfn)若K 处无载荷作用，附加一个载荷FK ，附加载荷后的弯矩*( )( )kMM xF M xKKVFeD( )( )*dlKMxMxxEIFFk =0即无论所求位移处是否有载荷，只要在原结构单独加一个与所求位移对应的单位力，单位力作用下求得的内力方程便是原所有载荷作用下的内力方程对广义力的偏导数。第66页/共152页第六十七页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 68虚位移约束允许(

48、ynx)的（满足约束条件）；满足连续条件的 ； 在平衡位置上增加的（不是唯一的）；任意微小位移。真实位移AB10.4 虚功原理第67页/共152页第六十八页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 69（1） 可以是与真实位移有关(yugun)的位移，也可以与真实位移无关； 虚位移真实位移虚位移与真实位移无关AB（2）可以是真实位移的增量；（3）可以是另外一个与之相关系统的真实位移；第68页/共152页第六十九页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 70w1(x)可作为(zuwi)集中力作用下的虚位移，

49、w2(x)也可作为(zuwi)分布载荷作用下的虚位移。w1(x)w2(x) 总之，虚位移是指有可能发生的无限小位移, 它与载荷无必然关系。因此，它不是唯一的。虚位移过程中，物体原有外力和内力保持不变。 “虚位移” 一词，用以区别物体自身原有外力引 起的真实位移。第69页/共152页第七十页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 71式中Di是与Fi对应(duyng)的虚位移。二、虚功W力在虚位移上所作的功。 一般计算虚功是在一个平衡力系上给一个虚位移，这时各力作功是常力作功，因此iiWFD三、虚变形能Ve* 弹性体在虚位移过程中增加的变形能。其数值

50、等于内力虚功第70页/共152页第七十一页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 72dFNFNd() lDMMdxdxTdjNd()ddVFlMTejD四、变形体虚功原理 处于平衡状态(zhungti)的变形体在虚位移中，外力所作的虚功等于弹性体的虚变形能。第71页/共152页第七十二页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 73F1FiF2 D D1 D D2 D Di以梁为例变形体虚功原理()()NdddiilFFlMTjD D（1）虚功原理与材料性能无关(wgun) 适用线弹性、非线弹性材料；（

51、2）不要求结构位移与力呈线性关系 也适用位移与力呈非线性的结构。第72页/共152页第七十三页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 74以梁为例证明(zhngmng)功的互等定理i1D DiF1i2D DiF2ikFikD D第一组力j1D DjF1j2D DjF2jkFjkD D第二组力第二组力引起的变形作为第一组力的虚位移Njd()ddjiijijilFFlMTjD D第一组力引起的变形作为第二组力的虚位移由虚功原理Nd()ddijijijijlFFlMTjD D第73页/共152页第七十四页，共153页。材料力学(ci lio l xu)

52、中南大学土木建筑学院(xuyun) 75FNFNd() lDNdd()FxlEADdMMdxddM xEIdxTdjPddT xGIjNNNpNd()dd()dd()ddjjjijijijiiijijijiFMTFlMTFMTxEAEIGIFlMTjjD D得到(d do)功的互等定理。第74页/共152页第七十五页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 7610.5 单位载荷(zi h)法与莫尔积分一、单位载荷法1、用途：计算任意点处位移（广义）2、方法：利用虚功原理 第一步 构造一虚力状态： （1）去掉结构全部载荷； （2）在结构所求位移处施加

53、一个对应的 单位力（无量纲）； （3）计算结构只在此单位力作用下各截 面的内力 。NFMT，第75页/共152页第七十六页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 77D原载荷作用下的实际位移状态 作为单位力作用下的虚位移所求位移处加单位力的虚力状态KAB1F1原问题KFiF2实际位移ABD第二步 取结构原载荷作用下的实际位移(wiy)状态 作为虚力状态的虚位移(wiy)。第76页/共152页第七十七页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 78()N1dddFlMTjD D虚功原理NFMT，单位力引起的

54、虚内力；d(Dl)，dq，dj 真实载荷引起的微段变形；适用(shyng)：线性、非线性结构。D原载荷作用下的实际位移状态 作为单位力作用下的虚位移所求位移处加单位力的虚力状态KAB1第77页/共152页第七十八页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 79对线弹性结构(jigu)，取微段dx计算图中 FN，M，T为真实载荷引起的内力二、莫尔积分（Mohr 1874）dxTFNMFNFNd() lDNdd()FxlEADdMMdxddM xEIdxTdjPddT xGIj第78页/共152页第七十九页，共153页。材料力学(ci lio l xu)

55、 中南大学土木建筑学院(xuyun) 80NNPdddF FMMTTxxxEAEIGID 将真实载荷(zi h)引起的变形代入上式，得Mohr定理，式中积分称为Mohr积分。计算Mohr积分步骤： 1、计算原结构在真实载荷作用下的内力 方程 FN，M，T； 2、计算原结构只在沿所求位移方向加单 位力(广义)作用下的内力方程 NFMT，()N1dddFlMTjD D虚功原理第79页/共152页第八十页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 81必须保证：“分段一致，坐标一致， 内力(nil)正负规定一致”。特别注意：计算原载荷和加单位载荷内力方程FN

56、 ，M，T 和NFMT，计算Mohr积分步骤： 3、计算Mohr 积分(遍及全部杆件，刚架略FN，FS)； 4、结果为正，位移方向与单位力相同，负则相反。计算A ，B 两点之间的相对位移，在A，B 两点分别加一对共线反向单位力ABq(x)AB11第80页/共152页第八十一页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 823、加单位力并求单位力引起 内力(nil)方程sinMRj （0j2）4、求AB22320011( d )sindABMM RFREIEIjj jD3FREI（沿载荷方向分开）（0j2）M =FRsinj2、求载荷引起的内力方程FFB

57、A已知：EI = 常数求A，B 之间的相对线位移。解：1、建立坐标系Rj11BARj第81页/共152页第八十二页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 83解：画单位(dnwi)载荷图2( )2qxMxqax( )(0)2xM xxa； 求内力1xAaaCBBqxAaaC求等截面直梁C点的挠度和转角。求变形2400( )( )252d()d2224aaCM x M xqxxqaxqaxxEIEIEID对称结构承受对称外力对称轴处对称位移不等于零。第82页/共152页第八十三页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(

58、xuyun) 84求转角(zhunjio)，重建坐标系（如图）2111102222201()d221()d022aCaqxxqaxxEIaqxxqaxxEIa 211: ( )2qxACM xqax1 ( )2xM xa 222: ( ) 2qxBCM xqax2( )2xM xaB1x1AaaCx2对称结构承受对称外力对称轴处反对称位移等于零。Bqx2AaaCx1第83页/共152页第八十四页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 85( )BAMxFx ( )BAMxx 解：画单位(dnwi)载荷图求内力1()0.3ACTxF 1()0.3AC

59、Tx 拐杆如图，A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动， 已知：E=210GPa，G=0.4E，求B点的垂直位移。510 20300F=60NBx500Cx1A3001Bx500Cx1A第84页/共152页第八十五页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 86111() ()( )( ) d dBABCAPT x T xM x M xxxEIGID20.30.5100P0.30.3ddFxFxxEIGI3P()3ABACABABFllFllEIGI3333460 0.31260 0.3 0.5 32100.3103 210 5 100.421020

60、求变形(bin xng)mm22. 8( )( )BAMxFx ( )BAMxx 1()0.3ACTxF 1()0.3ACTx 第85页/共152页第八十六页，共153页。材料力学(ci lio l xu) 中南大学土木建筑学院(xuyun) 87解：1、计算A点的竖直(sh zh)位移在A点加一竖直方向的单位力，列出各段的弯矩方程AB段 2111( )2M xqx 11()M xx BC段 2221)(qaxM2()M xa 用莫尔定理求wA( )( )dAlM x M x xwEIEIqaxEIaqaxEIxqxaa85d)(21(d)(21(402210121如图所示刚架，AB段受均布载