九年级数学上圆周角实用教案

1、探索圆周角和圆心角的关系理解(lji)圆周角和圆心角的概念及性质体会分类归纳等数学方法第1页/共62页第一页，共63页。一、旧知(ji zh)回放:.OBC答：相等(xingdng).1.圆心角的度数(d shu)和它所对的弧的度数(d shu)的关系? B2、(05年茂名)下列命题是真命题的是( )1)垂直弦的直径平分这条弦2)相等的圆心角所对的弧相等3)圆既是轴对称图形,还是中心对称图形A 1) 2) B 1) 3) C 2) 3) D 1) 2) 3)第2页/共62页第二页，共63页。课前热身课前热身1、如图， O中，AOB=100，则AB弧的度数(d shu)为_，AnB弧的度数(d

2、shu)为_。AOB n100 260 2、判断题： (1)相等的圆心角所对的弧相等 。 (2)等弦对等弧 。 (3)等弧对等弦 。 (4)长度相等的两条弧是等弧 。 (5)平分(pngfn)弦的直径垂直于弦 。第3页/共62页第三页，共63页。1.圆心角的定义(dngy)?.OBC答:顶点(dngdin)在圆心的角叫圆心角.第4页/共62页第四页，共63页。.OBCA特征(tzhng)： 角的顶点(dngdin)在圆上. 角的两边(lingbin)都与圆相交.圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.第5页/共62页第五页，共63页。辩一辩 图中的CDE是圆周角吗?CDECD

3、ECDECDE第6页/共62页第六页，共63页。辨别是非如图所示的角，哪些如图所示的角，哪些(nxi)是圆是圆周角周角第7页/共62页第七页，共63页。有没有圆周角？有没有圆心角？它们(t men)有什么共同的特点？它们(t men)都对着同一条弧第8页/共62页第八页，共63页。 下列下列(xili)(xili)图形中，哪些图形中的圆心图形中，哪些图形中的圆心角角BOCBOC和圆周角和圆周角AA是同对一条弧。是同对一条弧。 第9页/共62页第九页，共63页。问题：圆周角的度数与相应(xingyng)的圆心角度数有 什么关系？(1)当圆心在圆周角的一边(ybin)上时,证明:(圆心在圆周角上)

4、 结论：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.COBABACCOCOA BOCBAC 21CBACBOC 第10页/共62页第十页，共63页。2.当圆心(yunxn)在圆周角外部时结论:一条(y tio)弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半. 提示提示:能否能否(nn fu)转化为转化为1的情况的情况?n过点过点B B作直径作直径BD.BD.由由1 1可得可得: : ABC = AOC. ABC = AOC.21nABD = AOD,CBD = COD,ABD = AOD,CBD = COD,2121ODABC第11页/共62页第十一页，共63页。3.当圆心(yunxn)在圆周角内部时提示

5、(tsh):能否转化为1的情况?n过点过点B作直径作直径(zhjng)BD.由由1可得可得: ABC = AOC. ABC = AOC.21nABD = AOD,CBD = COD,ABD = AOD,CBD = COD,2121OABCD结论:一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半. 第12页/共62页第十二页，共63页。结论(jiln):圆周角的定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于(dngy)这条弧所对的圆心角的一半。第13页/共62页第十三页，共63页。ABCO如图，已知在如图，已知在 O O 中，中，BOC =150BOC =150，求，求A A第14页/共62

6、页第十四页，共63页。2 2、如图，A A是圆O O的圆周角， A=40A=40，求OBCOBC的度数(d shu)(d shu)。 第15页/共62页第十五页，共63页。练习练习(linx)：2.如图，圆心角AOB=100，则ACB=_。OABCBAO.70 x1.求圆中角X的度数(d shu)130AO.X120 C C D B3、 如图，在直径(zhjng)为AB的半圆中，O为圆心，C、D为半圆上的两点，COD=500，则CAD=_25第16页/共62页第十六页，共63页。做做看，收获做做看，收获(shuhu)知多知多少？少？一、判断一、判断1 1、顶点在圆上的角叫圆周角。、顶点在圆上的

7、角叫圆周角。2 2、圆周角的度数等于、圆周角的度数等于(dngy)(dngy)所对弧上的圆心角度数的所对弧上的圆心角度数的一半。一半。 .O3636或或1441442 2 、如图，已知圆心角如图，已知圆心角AOB=100AOB=100，求圆周角，求圆周角ACB=_ACB=_、ADB=_ADB=_。DAOCB1、半径为R的圆中，有一弦分圆周(yunzhu)成1：4两部分，则弦所对的圆周(yunzhu)角的度数是 。 二、计算二、计算1301305050第17页/共62页第十七页，共63页。3.3.已知OO中弦ABAB的等于半径(bnjng),(bnjng),求弦ABAB所对 的圆心角和圆周角的度

8、数. .OAB圆心角为60圆周角为30或150.第18页/共62页第十八页，共63页。 OCAB1 1、已知、已知AOBAOB7575， 求：求：ACB= ACB= 。OCAB 2 2、已知、已知AOBAOB120120， 求：求： ACB = ACB = ODBAC3 3、已知、已知ACDACD3030，求：求：AOB =AOB =OBAC4 4、已知、已知AOBAOB110110， 求：求：ACB =ACB =第19页/共62页第十九页，共63页。2.如图，圆心角AOB=100，则ACB=_。OABC3、如图，AB是 O的直径(zhjng)，AOD是圆心角， BCD是圆周角，若BCD=25

9、，则AOD= 。130第20页/共62页第二十页，共63页。例例1.如图：如图：OA、OB、OC都是都是 O的半径的半径(bnjng) AOB=2BOC. 求证：求证：ACB=2BAC.AOB=2BOCAOBCACB=2BAC证明(zhngmng)： 规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后(rnhu)再灵活运用圆周角定理 分析:AB所对圆周角是ACB, 圆心角是AOB.则ACB= AOB. BC所对圆周角是 BAC , 圆心角是BOC, 则 BAC= BOC 2121ACB= AOB21BAC= BOC21第21页/共62页第二十一页，共63页。 第

10、二(d r)课时第22页/共62页第二十二页，共63页。n圆周角: ABC, ADC, : ABC, ADC, AEC.AEC.n这三个角的大小有什么(shn me)(shn me)关系?. ?. 圆周角圆周角 当球员在当球员在B,D,EB,D,E处射门时处射门时, ,他所处他所处(su ch)(su ch)的位置对的位置对球门球门ACAC分别形成三个张角分别形成三个张角ABC, ADC,AEC.ABC, ADC,AEC.这这三个角的大小有什么关系三个角的大小有什么关系?.?.BACBACBACBACBACBACBACDEDOE第23页/共62页第二十三页，共63页。如图是一个圆柱形的海洋馆的

11、横截面的示意图如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图, ,人们可以通过人们可以通过其中的圆弧形玻璃其中的圆弧形玻璃AB AB 观看窗内的海洋动物观看窗内的海洋动物, ,同学甲站在圆心同学甲站在圆心的的O O 位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C C，他们的，他们的视角（视角（AOB AOB 和和ACBACB）有什么关系）有什么关系(gun x)(gun x)？如果同学？如果同学丙、丁分别站在他靠墙的位置丙、丁分别站在他靠墙的位置D D和和E E，他们的视角（，他们的视角（ ADB ADB 和和AEB AEB ）和同学乙的视角相同吗？）和同学乙的视

12、角相同吗？探 究第24页/共62页第二十四页，共63页。试找出下图中所有(suyu)相等的圆周角。 第25页/共62页第二十五页，共63页。 同弧或等弧所对的圆周角相等同弧或等弧所对的圆周角相等(xingdng)(xingdng)；同圆或等圆中，相等同圆或等圆中，相等(xingdng)(xingdng)的圆周角所对的弧相等的圆周角所对的弧相等(xingdng)(xingdng)。OCBAFED思考：思考：1 1、“同圆或等圆同圆或等圆”的条件能否去掉？的条件能否去掉？2 2、判断正误、判断正误(zhngw)(zhngw)：在同圆或等圆中，如果两个圆：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、心角、两条弧

13、、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。 推推 论论 1第26页/共62页第二十六页，共63页。4、如图，AB是 O的直径(zhjng) = ，A=30，则BOD= 。5、如图，OA、OB、OC都是 O的半径，AOB=2BOC，ACB与BAC的大小(dxio)有什么关系？为什么？60第27页/共62页第二十七页，共63页。OABC2.90的圆周角所对的弦是否是直径？画板3第28页/共62页第二十八页，共63页。 推推 论论 2 半圆半圆(bnyun)(bnyun)（

14、或直径）所对的圆周（或直径）所对的圆周角是角是9090； 90 90的圆周角所对的弦是直径。的圆周角所对的弦是直径。 如果三角形一边上的中线如果三角形一边上的中线(zhngxin)(zhngxin)等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。角形。 推推 论论 3什么时候什么时候(sh hou)(sh hou)圆周角圆周角是直角？反过来呢？是直角？反过来呢？直角三角形斜边中线有什么直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？性质？反过来呢？第29页/共62页第二十九页，共63页。例题:如图，AB为 O的直径(zhjng)， A=70，求ABC的度数。ABC

15、O解：AB为 O的直径(zhjng)C=90，又A=70 B=20 第30页/共62页第三十页，共63页。AB是 O的直径(zhjng),BCD=300,则ABD=_ODCAB300第31页/共62页第三十一页，共63页。例 如图， O直径(zhjng)AB为10cm，弦AC为6cm，ACB的平分线交 O于D，求BC、AD、BD的长86102222ACABBC又在RtABD中，AD2+BD2=AB2，221052(cm)22ADBDAB解：AB是直径(zhjng)， ACB= ADB=90在RtABC中，CD平分(pngfn)ACB，AD=BD.ACDBCD 例题例题第32页/共62页第三十二

16、页，共63页。1.如图, 内接于O, , , BD是O的直径(zhjng), BD交AC于点E, 连接DC, 则 （ ）. A. B. C. D. 050A060ABCAEB07001100900120第33页/共62页第三十三页，共63页。.如图AB是 O的直径(zhjng), C ,D是圆上的两点,若 ABD=40,则BCD=.ABOCD40提示(tsh):连接AD50第34页/共62页第三十四页，共63页。 2.如图所示,O为 的外接圆, CE是O的直径(zhjng), 于D, 求证： .ABCABCD BCEACD第35页/共62页第三十五页，共63页。练习练习(linx)：2.如图，

17、圆心角AOB=100，则ACB=_。OABCBAO.70 x1.求圆中角X的度数(d shu)AO.X120AO.X120 C C D B3.半圆(bnyun)（或直径）所对的圆周角是_，90的圆周角所对的弦是_。第36页/共62页第三十六页，共63页。4.如图, 内接于O, , AB=AC, BD为O的直径(zhjng), AD=6, 则BC= .0120BAC第37页/共62页第三十七页，共63页。如图 AB是 O的直径(zhjng), C ,D是圆上的两点,若ABD=40,则BCD=.ABOCD40练习练习3第38页/共62页第三十八页，共63页。3 3、若圆的一条弦把圆分成度数的比为1

18、 1：3 3的两条弧，则劣弧(lih)(lih)所对的圆周角等于多少度。 4 4、如图，BCBC为圆O O的直径，F F是半圆上异于B B、C C的一点，A A是BFBF的中点ADBCADBC，垂足为D D，BFBF交ADAD于点E E。 说明：AE=BE AE=BE 第39页/共62页第三十九页，共63页。 6.如图所示, BC为O的直径, G是半圆(bnyun)上任意一点, 点A为 的中点, 求证：BE=AE=EF.BCAD 第40页/共62页第四十页，共63页。5.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学(tng xu)交流一下DABCOOO方法(fngf)一方法(

19、fngf)二方法三方法四AB练练 习习第41页/共62页第四十一页，共63页。 2.如图所示,O为 的外接圆, CE是O的直径(zhjng), 于D, 求证： .ABCABCD BCEACD第42页/共62页第四十二页，共63页。 5、如图，在 O中，BC=2DE， BOC=84，求 A的度数。 4、AB、AC为 O的两条弦，延长(ynchng)CA到D，使AD=AB，如果ADB=35，求BOC的度数。解AB=ACABD=ADB=35BAC=ABD+ADB=70BOC=2BAC=140解:连接CDBOC=84BDC= BOC=42BOC=84BDC= BOC=42BC=2DEDEBC=2DED

20、E为4242的弧DCE=42DCE=42 =21 =21A=BDC-DCE=42-21=21A=BDC-DCE=42-21=212121第43页/共62页第四十三页，共63页。第44页/共62页第四十四页，共63页。1、如图，、如图，ABC叫叫 O的的_三角形三角形 ， O叫叫ABC的的 _ 圆圆.2、 如图如图1，若弧，若弧BC的度数的度数(d shu)为为1000， 则则BOC=_，A=_ _. 复习(fx)回顾 内接 外接 100 50 第45页/共62页第四十五页，共63页。OOC CA AB BD D如图，四边形如图，四边形ABCDABCD为圆为圆内接四边形；内接四边形；OO为四为四

21、边形边形ABCDABCD外接圆外接圆. . 问题(wnt)1第46页/共62页第四十六页，共63页。6、如图，A、B、C、D是O上的四个点，且BCD=100，求BOD（ 所对的圆心角）和BAD的大小(dxio)。如图,AB是直径(zhjng),则ACB=ABOC第47页/共62页第四十七页，共63页。 若一个(y )多边形各顶点都在同一个(y )圆上，那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。OBCDEFAOACDEB问题(wnt)2第48页/共62页第四十八页，共63页。COODBA 如图：圆内接四边形ABCD中， A的度数(d shu)等于弧BCD的一半，BCD的度数

22、(d shu)等于弧BAD的一半，又弧BCD+弧BAD 度数(d shu)为360， AC180. 同理BD180.圆内接四边形的对角圆内接四边形的对角(du (du jio)jio)互补。互补。问题(wnt)3第49页/共62页第四十九页，共63页。 如果如果(rgu)(rgu)延长延长BCBC到到E E，那么那么DCEDCEBCD BCD 180. A ADCE.DCE.又又 A A BCDBCD 180180，C COOD DB BA AE第50页/共62页第五十页，共63页。因为A是与DCE相邻的内角(ni jio)DCB的对角，我们把A叫做DCE的内对角。圆内接四边形的一个圆内接四边

23、形的一个外角外角(wi jio)(wi jio)等于它的等于它的内对角。内对角。C COOD DB BA AEA ADCEDCE第51页/共62页第五十一页，共63页。探索(tn su)结论 先根据图形讨论先根据图形讨论(toln)，然后用语言归纳为，然后用语言归纳为 :圆的内接四边形的对角圆的内接四边形的对角(du jio)互补，并且任何一互补，并且任何一个外角个外角都等于它的内对角都等于它的内对角(du jio)。 几何表达式：四边形ABCD内接于 O， A+C=180且B=1 .n性质定理：性质定理：第52页/共62页第五十二页，共63页。1、如图，四边形ABCD为O的内接四边形，已知B

24、OD=100，则BAD= BCD=反馈(fnku)练习：ABCDO2、圆内接四边形ABCD中,A:B:C=2:3:4,则A= B= C= D=501306090120903、如图，四边形ABCD内接于O， DCE=75，则BOD=150ABCDOE第53页/共62页第五十三页，共63页。应用(yngyng)举例例例 如图如图O1O1与与O2O2都经过都经过A A、B B两点，经两点，经过点过点A A的直线的直线(zhxin)CD(zhxin)CD与与O1 O1 交于点交于点C C，与，与O2 O2 交于点交于点D D。经过点。经过点B B的直线的直线(zhxin)EF(zhxin)EF与与O1

25、 O1 交于点交于点E E，与，与O2 O2 交交于点于点F F。求证：求证：CEDFCEDF1 12 2OOFABECD第54页/共62页第五十四页，共63页。 CEDF EF180 E1180、1FABEC是O1的内接四边形ABFD是O2的内接四边形连结(lin ji)AB1 12 2OOFABECD1 思路(sl)分析 第55页/共62页第五十五页，共63页。证明(zhngmng)：连结AB例1： 如图4， O1和 O2都经过(jnggu)A、B两点， 经过(jnggu)点A的直线CD与 O1相交于点C，与 O2相交于点D，经过(jnggu)点B的直线EF与 O1 相交于点E，与 O2相

26、交于点F。求证：CEDFABEC是 O1的内接四边形 1+E =1800 又ADFB是 O2的内接四边形 1=F. E+F=1800 CEDF 1第56页/共62页第五十六页，共63页。反思(fn s)与拓展 证明两条直线平行的方法很多，但常用的还是通过证明两条直线平行的方法很多，但常用的还是通过(tnggu)证证明同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等方法。刚才我们通过明同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等方法。刚才我们通过(tnggu)同旁内角互补证明了同旁内角互补证明了CE DF，想一想还能否通过，想一想还能否通过(tnggu)同位角相等或者内错角相等证明结果？同位角相等或者内错角相等证明结果？ 1）延长）延长(ynchng)EF,是否有是否有E=BAD 1 ？ 2) 延长DF,能否证明E3？ 第57页/共62页第五十七页，共63页。变式1：如图，O1和O2都经过(jnggu)A、B两点，过A点的直线CD与O1交于点C，与O2交于点D，过B点的直线EF与O1交于点