几何直观解决问题

1、几何直观 解决问题讲义稿各位评委、各位老师：大家下午好！我是来自麓山国际实验小学的叶俊。今天我要讲的是题目是“平面上有10个角，最多把平面分成多少个区域。”通过对于题目的分析，我们可以找到几个关键的信息，“平面”，是无限大的。“区域”它就好比我们平常说的一块，两块，三块。“最多”这两个字是题目中最关键的信息，那么怎样才是最多呢？它又跟什么有关系呢？看来这道题有点难度。华罗庚先生曾说过：当你遇到数学难题的时候，要学会知难而退，退到“最简单”的地方，那么，我们就要从10个角退到1个角，甚至是没有角的情况。由于平面是无限大的，我们不能在无限大的平面里划分区域，所以这里用一个圆来表示。此时，我们已经退

2、到没有角的时候，也就是角数为0时，总区域只有1个，也就是它本身。现在，出现了一个角，那么，它会使得平面新增几个区域呢？是2个吗？众所周知，角是由一点引出的两条射线组成，所以它的两边可以无限延伸，而平面又是无限大的。所以， 2号区域和3号区域其实是同一个区域。那么此图当中新增区域只有1个。所以，1个角最多可以把平面分成1+1=2个区域。接着，第二个角来了，那么两个角最多能把平面分成几个区域呢？请看动画演示。到此，两个角最多能把平面分成7个区域。通过刚才的动画演示，我们不难发现：交点越多，区域也就越多。那么区域的增多到底与交点数有怎样的联系呢？下面，我们具体来分析一下。当第二个角出现之前，平面被第

3、一个角分成了1号和2号两个区域。现在，第二个角出现了，它的一条边与原来1个角的2条边相交，得到2个交点，被分割成了3段，段数比点数多1。每一段对应新增1个区域，所以每一条边对应新增3个区域。同样的，第二个角的另一边也被分割成3段，对应新增3个区域。一条边新增3个区域，两条边总共新增6个。那么新增区域是不是就是3×2呢？根据前面经验，我们知道6号区域和2号区域是同一个区域。所以此图当中新增区域为3×2-1。所以两个角最多把一个平面分成原来的两个区域2+刚才新增的区域5=7个区域。 根据我们刚才分析两个角的方法，我们继续来看三个角的情况。第三个角的一条边与原来2个角的4条边相交

4、，得到4个交点，被分割成了5段，段数比点数多1。每一段对应增加一个区域，所以这一条边对应新增了5个区域，即区域8区域12。同样，第三个角的另一边也被分割成了5段，对应新增了5个区域，即区域13区域17，一共是10个区域，根据刚才分析两个角的经验，那么三个角的时候是不是也会出现重复区域呢？区域13和区域1是同一个区域，所以，实际新增的区域只有9个。即5×2-1=9。所以，三个角最多将一个平面分成原来的区域7+刚才新增的区域9=16个区域。通过刚才对于的1个角、2个角和3个角的分析，我们很容易求得4个角到9个角的情况。这样，我们就可以解决今天的问题了，当第10个出现时，已有多少个角呢？9

5、个。多少条边呢？18条（一个角2条边，9个角18条边。）第10个角的一条边与已有的9个角的18条边都相交，得到18个交点，同时，这一条边就会被18个交点分割成19段，段数比点数多1。每一段对应新增1个区域，所以这一条边就对应新增了19个区域。一条边新增19个，两条边就增加38个区域，再减去1个重复区域，那么，实际新增区域为37个。所以，10个角最多可以把平面分成原来的154个+现在新增的37个=191个。 10个角最多可以把平面分成191个区域，如果还有更多角出现，我们还是只有一个一个的去计算吗？有没有规律可以找到一个通项公式呢？当第n个角出现时，那么，原有多少个角呢？n-1个，原有多少条边呢

6、？（n-1）×2条。那么第n个角的每边就会与原来的所有边相交，得到（n-1）×2个交点，根据段数比点数多1，得出段数为（n-1）×2+1，化简为2n1，对应新增了2n1个区域。这是一条边增加的，那么两条边总共新增区域为（2n1）×2-1，即 4n3。而同时，通过对新增区域的观察，发现，它是一个等差数列，根据等差数列的求和公式，an=1+1+5+9+13+4n-3=2n2-n+1. 各位评委，各位老师，今天我们运用了几何直观来解决问题。通过画图递推归纳来找到解决问题的方法。 那么，解决这道题是不是只有这一种方法呢？我们回忆下，之前我们研究过直线分平面。如果直线的交点作为角的顶点，那么一个角把平面划分的最多区域就是两条直线把平面划分的最多区域-2。那么，我们就可以通过这种关系来找寻解决这道题的另一种方法。此外，如果我们把新增角看做是一条完整的折线，那么它与原有角两两相交得到的4个交