求向量组的极大无关组向量组极大无关组例题学习教案

1、会计学1求向量组的极大求向量组的极大(j d)无关组向量组极大无关组向量组极大(j d)无关组例题无关组例题第一页，共20页。思路(sl)之一: 定义法.(2) 向量组 中含向量个数最多的线性无关部分组都是向量组的极大无关组;12,m (1) 假定 是某向量组中的 r 个向量, 如果 线性无关, 且向量组中任一向量都可由 线性表示, 则 是向量组的一个极大无关组;12,r 12,r 12,r 12,r 此方法比较(bjio)烦琐, 较少用求向量组的极大无关(wgun)组的方法总结第1页/共19页第二页，共20页。思路(sl)之二: 初等行变换法.(1) 将向量组中的各向量作为(zuwi)矩阵A

2、的各列;(2) 对A施行初等(chdng)行变换(注意仅限初等(chdng)行变换);(3) 化A为阶梯形, 在每一阶梯中取一列为代表, 则所得向量组即为原向量组得一个极大无关组.用初等行变换求极大无关组是最基本的方法.第2页/共19页第三页，共20页。思路之三: 利用(lyng)等价性.设 为某向量组的一个极大无关组, 则任意 r 个线性无关的部分组均为极大无关组.12,r 第3页/共19页第四页，共20页。例1 求下列向量组的一个(y )极大无关组1(2,1,3, 1), 3(4,2,6, 2), 4(4, 3,1,1). 2(3, 1,2,0), 分析(fnx): 按定义向量个数最多的线

3、性无关部分组都是向量组的极大无关组.第4页/共19页第五页，共20页。思想(sxing):(i) 通过观察找出一个(y )无关组;(ii) 往前面找出的无关组中增加一个向量(xingling), 若得到新的向量(xingling)组仍然线性无关, 则得到了新的线性无关组, 否则, 继续考虑下一个向量(xingling)(iii) 重复步骤(ii)直到考虑完所有的向量为止, 这样最后得到的线性无关组便是原向量组的一个最大无关组.第5页/共19页第六页，共20页。解:1(2,1,3, 1)0, 1 线性无关.1)2)因为 的对应分量不成比例, 12, 所以 线性无关. 12, 3)下面考虑向量组1

4、23,. 3112220, 123, 线性相关.4)下面考虑向量组124,. 设存在一组数 使得124,k k k1122440.kkk 即124(2,1,3, 1)(3, 1,2,0)(4, 3,1,1)(0,0,0,0).kkk 第6页/共19页第七页，共20页。从而(cng r)124124124142340,30,320,0,kkkkkkkkkkk 解得1231,2,1.kkk 即12420, 也即4122. 所以 是向量组 的一个极大无关组.12, 1234, 第7页/共19页第八页，共20页。例2考虑(kol)向量组112,12 52243 210,31 321,01 421,22

5、 求此向量组的一个极大线性无关组, 并把其余(qy)向量分别用该极大无关组线性表示.第8页/共19页第九页，共20页。解:用这些向量作为(zuwi)矩阵A的列向量，并对矩阵A作初等行变换11222201121302421123A 11222025320224201321第9页/共19页第十页，共20页。1122201321001100088011222013210011000000可见, 为一个极大无关组.123, 135,; 124,; 145,. 事实上,均为极大(j d)无关组.第10页/共19页第十一页，共20页。进一步有11002010110011000000A10011010110

6、011000000 所以(suy)有4123, 51230. 注: 这里用到初等(chdng)行变换不改变列向量之间的线性关系.第11页/共19页第十二页，共20页。分析(fnx): 若能证明向量组 例3 试证: 若 n 维单位向量 可以由 n 维向量 线性表示, 则 线性无关.12,n 12,n 12,n 12,n I:12,n II:等价, 则 又 从而(I)(II),RR (I),Rn (II),Rn 因此, 线性无关. 12,n 第12页/共19页第十三页，共20页。证明(zhngmng):由于 n 维单位向量 可以由12,n 故向量(xingling)组n 维向量 线性表示,12,n

7、 又显然(xinrn)有 n 维向量 可以由 n 维单位向量12,n 12,n 线性表示,12,n I:12,n II:等价, 则 又 从而(I)(II),RR (I),Rn (II),Rn 因此, 线性无关. 12,n 第13页/共19页第十四页，共20页。 例4 设 为齐次线性方程组 的基础解系, 试判别下述向量组是否仍是的基础解系.123, 0Ax 11232123323(1)3,3,;112321233123(2),2,23.分析: 本题实际上已知 为 的解空间的极大无关组, 要求证明 是否仍是 的解空间的极大无关组. 由于已知极大无关组为三个向量, 所以任意三个线性无关向量均为极大无

8、关组, 这只要证明 与 是否等价即可. 注意: 作为基础解系, 应说明 为解向量. 123,123, 0Ax 0Ax 123, 123,123,第14页/共19页第十五页，共20页。解:只需证明 线性无关即可, 123,显然 均为 的解, 0Ax 123,而这又转化为证明 与 等价.123, 123,(1)由112321233233,3,. 知123123110(,)(,)131 .311 记为A第15页/共19页第十六页，共20页。又1101310,311A 从而(cng r)()2,R A 因此秩123,2. (注: )()min ( ),( ).R ABR A R B 即 线性相关, 故

9、 不是 的基础解系.0Ax 123,123,第16页/共19页第十七页，共20页。(2)由112321233123,2,23. 知123123112(,)(,) 111 .123 记为B又11211110,123B 从而(cng r)()3,R B 所以(suy)矩阵B可逆, 且第17页/共19页第十八页，共20页。所以 线性无关, 123,1123123112(,)(,) 111.123 故向量组 与 可以相互线性表示,123,123, 即向量组 与 等价.123,123, 从而秩 秩123, 123,3. 故 为 的基础解系.123,0Ax 第18页/共19页第十九页，共20页。NoImage内容(nirng)总结会计学。思路(sl)之一: 定义法.。求向量组的极大无关