金融工程6(期权)

1、武汉理工大学武汉理工大学武汉理工大学2武汉理工大学武汉理工大学3 （一）期权的定义（一）期权的定义期权是指一种合约，该合约赋予持有人在某一特定日期或该日之前的任何时间期权是指一种合约，该合约赋予持有人在某一特定日期或该日之前的任何时间以以固定价格购进或售出一种资产的权利固定价格购进或售出一种资产的权利。期权定义的要点如下：期权定义的要点如下：（1）期权是一种权利）期权是一种权利期权赋予持有人做某件事情的权利，但他不承担必须履行的义务。期权赋予持有人做某件事情的权利，但他不承担必须履行的义务。（2）期权的标的资产）期权的标的资产期权的标的资产是选择购买或出售的资产。包括股票、政府债券、货币、股票

2、期权的标的资产是选择购买或出售的资产。包括股票、政府债券、货币、股票指数、商品期货等。期权是这些标的物衍生的，因此称为指数、商品期货等。期权是这些标的物衍生的，因此称为“衍生金融工具衍生金融工具”。武汉理工大学武汉理工大学4【注意注意】期权出售人不一定拥有标的资产，期权购买方也不一定真的想购期权出售人不一定拥有标的资产，期权购买方也不一定真的想购买标的资产。因此，期权到期时双方不一定进行标的物的实物交割，而只需按价买标的资产。因此，期权到期时双方不一定进行标的物的实物交割，而只需按价差补足价款即可。差补足价款即可。（3）到期日）到期日双方约定期权到期的那一天称为双方约定期权到期的那一天称为“到

3、期日到期日”。在那一天之后，期权失效。在那一天之后，期权失效。【注意注意】按照期权执行时间，分为欧式期权和美式期权。如果期权只能在到按照期权执行时间，分为欧式期权和美式期权。如果期权只能在到期日执行，称为欧式期权；如果期权可以在到期日或到期日之前的任何时候执行，期日执行，称为欧式期权；如果期权可以在到期日或到期日之前的任何时候执行，则称为则称为“美式期权美式期权”。（4）期权的执行）期权的执行双方依照合约规定，购进或出售标的资产的行为称为双方依照合约规定，购进或出售标的资产的行为称为“执行执行”。在合约中规。在合约中规定的购进或出售标的资产的固定价格，称为定的购进或出售标的资产的固定价格，称为

4、“执行价格执行价格”。 武汉理工大学武汉理工大学5（二）看涨期权和看跌期权（二）看涨期权和看跌期权 分类标志类别含义买方的权利看涨期权（择购期权、买入期权，买权）看涨期权是指期权赋予持有人在到期日或到期日之前，以固定价格购买标的资产的权利。其授予权利的特征是“购买”。看跌期权（择售期权、卖出期权、卖权）看跌期权是指期权赋予持有人在到期日或到期日之前，以固定价格出售标的资产的权利。其授予权利的特征是“出售”。武汉理工大学武汉理工大学6【快速掌握技巧】持有看涨期权未来购买资产（买涨不买跌）越涨越有利持有看跌期权未来出售资产越跌越有利 武汉理工大学武汉理工大学7（三）期权市场（三）期权市场期权报价的

5、规律：到期日相同的期权，执行价格越高，看涨期权的价格越低，而看跌期权的价格越高。执行价格相同的期权，到期时间越长，期权的价格越高，无论看涨期权和看跌期权都如此。 武汉理工大学武汉理工大学8【例 单选题】1 美式看涨期权允许持有者（）。 A.在到期日或到期日前卖出标的资产 B.在到期日或到期日前购买标的资产 C.在到期日卖出标的资产 D.以上均不对【答案】B【解析】美式期权是指可以在到期日或到期日之前的任何时间执行的期权。看涨期权是购买标的资产的权利。因此，美式看涨期权允许持有者在到期日或到期日前购买标的资产。武汉理工大学武汉理工大学92 看涨期权的买方具有在约定期限内按（）买入一定数量金融资产

6、的权利。A.市场价格B.买入价格C.卖出价格D.约定价格【答案】D【解析】看涨期权是指期权赋予持有人在到期日或到期日之前，以固定价格购买标的资产的权利。这里的“固定价格”，也就是指约定价格。武汉理工大学武汉理工大学103 到期日相同的期权，执行价格越高（）。 A.看涨期权的价格越低B.看跌期权的价格越低C.看涨期权的价格越高D.看涨期权与看跌期权的价格均越低 【答案】A【解析】到期日相同的期权，执行价格越高，看涨期权的价格越低，而看跌期权的价格越高。 武汉理工大学武汉理工大学114 执行价格相同的期权，到期时间越长（）。A.看涨期权的价格越低B.看跌期权的价格越低C.看涨期权的价格越高D.看涨

7、期权与看跌期权的价格均越高 【答案】D【解析】执行价格相同的期权，到期时间越长，期权的价格越高，无论看涨期权还是看跌期权都如此。注意本题是单项选择题，只能选出一个最佳答案，尽管选项C也是正确的，但最佳的答案应该是选项D，因为选项D提供的信息量更大，包括的内容更全面。 武汉理工大学武汉理工大学12【例 多选题】按期权合约赋予其持有者行使权力的时间，可将期权划分为（）。A.看涨期权B.看跌期权C.欧式期权D.美式期权 【答案】CD【解析】按照期权执行时间分为欧式期权和美式期权。 武汉理工大学武汉理工大学13二、期权的到期日价值二、期权的到期日价值 期权的到期日价值，是指到期执行时期权可以获得的净收

8、入，它依赖于标的股票的到期日价格和执行价格。期权分为看涨期权和看跌期权，每类期权又有买入和卖出两种。武汉理工大学武汉理工大学14（一）买入看涨期权（多头看涨期权）（一）买入看涨期权（多头看涨期权）买入看涨期权，获得在到期日或之前按照执行价格购买某种资产的权利。 武汉理工大学武汉理工大学15损益平衡点：净损益等于0时的到期日股价（损益平衡时，到期日价值一定大于0）（股票市价-执行价格）-期权价格=0股票市价=期权价格+执行价格=5+100=105元。 武汉理工大学武汉理工大学16(二二) 卖出看涨期权（空头看涨期权）卖出看涨期权（空头看涨期权）看涨期权的出售者，收取期权费，成为或有负债的持有人。

9、 武汉理工大学武汉理工大学17损益平衡点：损益平衡时，股票市价大于执行价格-（股票市价-执行价格）+期权价格=0损益平衡点=执行价格+期权价格武汉理工大学武汉理工大学18（三）买入看跌期权（三）买入看跌期权看跌期权买方，拥有以执行价格出售股票的权利。 武汉理工大学武汉理工大学19损益平衡点：到期日价值大于0，即执行价格大于股票市价执行价格-股票市价-期权价格=0损益平衡点=执行价格-期权价格 武汉理工大学武汉理工大学20（四）卖出看跌期权（四）卖出看跌期权看跌期权的出售者，收取期权费，成为或有负债的持有人，负债的金额不确定。 武汉理工大学武汉理工大学21损益平衡点：到期日价值期权购买成本(P+

10、C)，才有净收益。最坏结果：股价没有变动，白白损失最坏结果：股价没有变动，白白损失看涨期权和看跌期权的购买成本看涨期权和看跌期权的购买成本。 武汉理工大学武汉理工大学39【例】股票加看跌期权组合，称为（）。A.抛补看涨期权B.保护性看跌期权C.多头对敲D.空头对敲 答案：B【解析】股票加看跌期权组合，称为保护性看跌期权。因为单独投资于股票风险很大，如果同时增加看跌期权，可以降低投资的风险。 武汉理工大学武汉理工大学40 如果预计市场价格将发生剧烈变动，但是不知道变动的方向是升高还是降低，此时，对投资者非常有用的一种投资策略是（）。A.抛补看涨期权B.保护性看跌期权C.对敲D.回避风险策略 答案

11、：C【解析】如果预计市场价格将发生剧烈变动，但是不知道变动的方向是升高还是降低，此时，对投资者非常有用的一种投资策略是对敲。因为无论将来价格的变动方向如何，采用这种策略都会取得收益 单选题下列关于期权投资策略的表述中，正确的是( )。（2010年） A.保护性看跌期权可以锁定最低净收入和最低净损益，但不改变净损益的预期值 B.抛补看涨期权可以锁定最低净收入和最低净损益，是机构投资者常用的投资策略 C.多头对敲组合策略可以锁定最低净收入和最低净损益，其最坏的结果是损失期权的购买成本 D.空头对敲组合策略可以锁定最低净收入和最低净损益，其最低收益是出售期权收取的期权费武汉理工大学41 【答案】C【

12、解析】保护性看跌期权可以锁定最低净收入和最低净损益，但净损益的预期也因此降低了,选项A错误；抛补看涨期权可以锁定最高净收入和最高净损益，选项B错误；空头对敲组合策略可以锁定最高净收入和最高净损益，其最高收益是出售期权收取的期权费，选项D错误。武汉理工大学42总结武汉理工大学43特点期权多头期权锁定最低到期净收入（0）和最低净损益（-期权价格）空头期权锁定最高到期净收入（0）和最高净收益（期权价格）投资策略保护性看跌期权锁定最低到期净收入（X）和最低净损益 (X-S0-P跌)抛补看涨期权锁定最高到期净收入（X）和最高净损益 (X-S0+C涨)多头对敲锁定最低到期净收入（0）和最低净损益 (-C涨

13、-P跌)空头对敲锁定最高到期净收入（0）锁定最高净收益（C涨+P跌）武汉理工大学武汉理工大学44四、期权的内在价值和时间价值四、期权的内在价值和时间价值 1.期权的内在价值期权的内在价值，是指期权立即执行产生的经济价值。内在价值的大小，取决于期权标的资产的现行市价与期权执行价格的高低。看涨期权：MAX（现行价格-执行价，0）看跌期权：Max（执行价-现行价格，0）【注意】内在价值不同于到期日价值。期权的到期日价值取决于“到期日”标的股票市价与执行价格的高低。如果是目前到期，则内在价值与到期日价值相同。 武汉理工大学武汉理工大学452.期权的时间溢价期权的时间溢价，是指期权价值超过内在价值的部分

14、。时间溢价=期权价值-内在价值对于美式期权在其他条件不变的情况下，离到期时间越远，价值波动的可能性越大，期权的时间溢价越大。如果已经到了到期时间，期权的价值（价格）就只剩下内在价值（时间溢价为0）了。【注意】 时间溢价有时也称为“期权的时间价值”，但它和“货币的时间价值”是不同的概念。时间溢价是“波动的价值”，时间越长，股价出现波动的可能性越大，时间溢价越大。而货币的时间价值是时间的“延续价值”，时间延续得越长，货币的时间价值越大。武汉理工大学46武汉理工大学武汉理工大学47 【例】某看跌期权资产现行市价为40元，执行价格为50元，则该期权处于（）。A.实值状态 B.虚值状态C.平值状态 D.

15、不确定状态 【答案】A【解析】对于看跌期权来说，资产现行市价低于执行价格时，称期权处于“实值状态”（或溢价状态）或称此时的期权为“实值期权”（溢价期权）。 武汉理工大学武汉理工大学48 如果已知期权的价值为5元，期权的内在价值为4元，则该期权的时间溢价为（）元。A.0 B.9 C.1D.-1【答案】C【解析】期权价值=内在价值+时间溢价，由此可知，时间溢价=期权价值-内在价值=5-4=1元 武汉理工大学武汉理工大学49【例】下列关于时间溢价的表述，错误的有（）。A.时间溢价有时也称为“期权的时间价值”B.期权的时间溢价与货币时间价值是相同的概念C.时间溢价是“波动的价值”D.如果期权已经到了到

16、期时间，则时间溢价为0 【答案】B【解析】时间溢价也称为“期权的时间价值”，但它和“货币的时间价值”是不同的概念，时间溢价是“波动的价值”，时间越长，出现波动的可能性越大，时间溢价越大。而货币的时间价值是时间“延续的价值”，时间延续得越长，货币的时间价值越大。 武汉理工大学武汉理工大学50五、影响期权价值的因素五、影响期权价值的因素 一个变量增加（其他变量不变）对期权价格的影响 。变量欧式看涨期权欧式看跌期权美式看涨期权美式看跌期权股票的市价+-+-执行价格-+-+到期期限不一定不一定+股价波动率+无风险利率+-+-红利-+-+武汉理工大学武汉理工大学51 这些变量之间的关系如下图所示： 武汉

17、理工大学武汉理工大学52 【例】当下列变量中（）增加时，看涨期权价值会增加。A.股票市价 B.执行价格C.股价波动率 D.红利 【答案】AC【解析】如果看涨期权在将来某一时间执行，其收入为股票市价与执行价格的差额。如果其他因素不变，股票市价上升，看涨期权的价值也上升；执行价格上升，看涨期权价值下降。因此，选项A正确，选项B错误。对于看涨期权持有者来说，股价上升可以获利，股价下降时最大损失以期权费为限，两者不会抵消，因此，股价的波动率增加会使看涨期权的价值增加，选项C正确。在除息日之后，红利的发放引起股票价格降低，看涨期权价格降低，因此，选项D错误。 多选题在其他因素不变的情况下,下列事项中,会

18、导致欧式看涨期权价值增加的有( )。(2011年)A.期权执行价格提高B.期权到期期限延长C.股票价格波动率增加D.无风险利率提高武汉理工大学53【答案】CD【解析】选项B的结论对于欧式看涨期权不一定，对美式期权结论才成立。选项A说反了。武汉理工大学54对于看涨期权来说，期权价格随着股票价格的上涨而上涨，当股价足够高时( )。A.期权价格可能会等于股票价格B.期权价格可能会超过股票价格C.期权价格不会超过股票价格D.期权价格会等于执行价格武汉理工大学55【答案】C【解析】期权价格如果等于股票价格，无论未来股价高低（只要它不为零），购买股票总比购买期权有利。在这种情况下，投资人必定抛出期权，购入

19、股票，迫使期权价格下降。所以，期权的价值不会超过股价。武汉理工大学56总结武汉理工大学57影响因素影响方向股票市价与看涨期权价值同向变动，看跌期权价值反向变动。执行价格与看涨期权价值反向变动，看跌期权价值同向变动。到期期限对于美式看涨期权来说，到期期限越长，其价值越大；对于欧式看涨期权来说，较长的时间不一定能增加期权价值。股价波动率股价的波动率增加会使期权价值增加。无风险利率无风险利率越高，执行价格的现值越低。所以，无风险利率与看涨期权价值同向变动，与看跌期权价值反向变动。预期红利预期红利发放，会降低股价。所以，预期红利与看涨期权价值与成反方向变动，与看跌期权价值成正方向变动。武汉理工大学武汉

20、理工大学58第二节 期权价值的评估方法一、期权估价原理一、期权估价原理 （一）复制原理（一）复制原理复制原理的基本思想是：构造一个股票和借款的适当组合，使得无论股价如何变动，投资组合的损益都与期权相同，那么创建该投资组合的成本就是期权的价值。 武汉理工大学武汉理工大学59【例】假设ABC公司的股票现在的市价为50元。有1股以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为52.08元。到期时间是6个月。6个月后股价有两种可能：上升33.33%，或者降低25%。无风险利率为每年4%。 武汉理工大学武汉理工大学601.确定6个月后可能的股票价格。 S0表示当前股票价格，Su表示上升后的股价，Sd表示下降后的

21、股价，u为股价上行乘数，d为股价下行乘数。 武汉理工大学武汉理工大学612.确定看涨期权的到期日价值 武汉理工大学武汉理工大学623.建立对冲组合股票与借款的组合：0.5股的股票+18.38元借款（半年利率2%）该组合的到期日净收入分布与购入看涨期权一样。看涨期权的价值=该投资组合成本=购买股票的支出-借款=500.5-18.38=6.62（元）。 股票到期日价格66.6637.5组合中股票到期日收入66.660.5=33.3337.50.5=18.75减：组合中借款本利和偿还18.381.02=18.7518.75（本利和）到期日收入合计14.580武汉理工大学武汉理工大学63（二）套期保值

22、原理（二）套期保值原理 前面通过复制组合的股票数量和借款数量，使投资组合的投资成本与看涨期权的价值相等。如何确定股票与期权的比例？如何确定借款的数量？在上例中，两个方案在经济上是等效的。如果调整一个方案的方向购入0.5股股票，卖空一股看涨期权，就应该能够实现完全的套期保值。（关于借款，由于是无风险利率借款，因此，这里只是起一个数字上的平衡作用） 武汉理工大学武汉理工大学64交易策略当前（0时刻） 到期日Su=66.66到期日Sd=37.5购入0.5股股票-HSo=-0.550=-25HSu=0.566.66=33.33HSd=0.537.5=18.75抛出1股看涨期权+Co-Cu=-14.58

23、-Cd=0合计净现金流量+Co-2518.7518.75武汉理工大学武汉理工大学65由于实现了完全的套期保值，因此：股价上行时的现金流量=股价下行时的现金流量HSu-Cu=HSd-Cd将上例数字代入，可以计算出H=0.5 武汉理工大学武汉理工大学66第一个问题解决了，借款数量怎么确定？由于看涨期权在股价下跌时不会被执行，组合的现金流量仅为股票出售收入，在归还借款后，组合的最终现金流量（净收入）为0，因此，股价下行时的股票出售收入，即为借款的本利和。借款数额=（0.537.5）/1.02=18.38 复制组合原理计算期权价值的基本步骤（针对看涨期权） 武汉理工大学武汉理工大学67 （1）确定可能

24、的到期日股票价格上行股价=股票现价上行乘数下行股价=股票现价下行乘数（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值股价上行时期权到期日价值=上行价格-执行价格股价下行时期权到期日价值=0（3）计算套期保值比率套期保值比率=期权价值变化/股价变化（4）计算投资组合成本（期权价值）购买股票支出=套期保值比率股票现价借款=（到期日下行股价套期保值比率）/（1+无风险利率）期权价值=投资组合成本=购买股票支出-借款【以上方法必须掌握】 武汉理工大学武汉理工大学68【例】ABC公司的股票现在的市价是100元，有1股以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为102元，到期时间为3个月。3个月以后股价有两种可能：上

25、升10%，或者降低10%。无风险利率为4%。要求，根据复制组合定价原理计算该期权的价值。 武汉理工大学武汉理工大学69【答案】（1）确定可能的到期日股价上行股价=100（1+10%）=110（元）下行股价=100（1-10%）=90（元）（2）根据执行价格确定到期日期权价值股价上行时到期日价值=上行股价-执行价格=110-102=8（元）股价下行时到期日价值=0（3）计算套期保值比率=（8-0）/（110-90）=0.4（4）计算期权价值购买股票支出=0.4100=40（元）借款=（到期日下行股价套期保值比率）/（1+无风险利率）=（900.4）/（1+1%）=35.64（元）期权价值=投资组

26、合成本=40-35.64=4.36（元） 计算题假设甲公司的股票现在的市价为20元。有1份以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为21元，到期时间是1年。1年以后股价有两种可能：上升40% ，或者降低30%。无风险利率为每年4%。 拟利用复制原理，建立一个投资组合，包括购进适量的股票以及借入必要的款项，使得该组合1年后的价值与购进该看涨期权相等.要求：（1）计算利用复制原理所建组合中股票的数量为多少？（2）计算利用复制原理所建组合中借款的数额为多少？（3）期权的价值为多少？（4）若期权价格为4元，建立一个套利组合。（5）若期权价格为3元，建立一个套利组合。武汉理工大学70【答案】（1）上行股价

27、=20（1+40%）=28（元）下行股价=20（1-30%）=14（元）股价上行时期权到期价值=28-21=7（元）股价下行时期权到期价值=0组合中股票的数量（套期保值率）= =0.5（股）（2）借款数额= = =6.73（元）武汉理工大学71142807股价变化期权价值变化持有期无风险利率套期保值率到期日下行股价1%415 . 014（3）期权价值=投资组合成本=购买股票支出-借款=0.520-6.73=3.27（元）（4）由于目前看涨期权价格为4元高于3.27元，所以存在套利空间。套利组合应为：出售一份看涨期权，借入6.73元，买入0.5股股票，可套利0.73元。（5）由于目前看涨期权售价

28、为3元低于3.27元，所以存在套利空间。套利组合应为：卖空0.5股股票，买入无风险债券6.73元，买入1股看涨期权进行套利，可套利0.27元。武汉理工大学72武汉理工大学武汉理工大学73(三三) 风险中性原理风险中性原理(risk-neutrality) 风险中性原理是指：假设投资者对待风险的态度是中性的，所有证券的预期收益率都应当是无风险利率。风险中性的投资者不需要额外的收益补偿其承担的风险。在风险中性的世界里，将期望值用无风险利率折现，可以获得现金流量的现值。在这种情况下，期望报酬率应符合下列公式：期望报酬率=（上行概率上行时收益率）+（下行概率下行时收益率）假设股票不派发红利，股票价格的

29、上升百分比就是股票投资的收益率，因此：期望报酬率=（上行概率股价上升百分比）+（下行概率股价下降百分比）根据这个原理，在期权定价时，只要先求出期权执行日的期望值，然后，使用无风险利率折现，就可以求出期权的现值。武汉理工大学74武汉理工大学武汉理工大学75风险中性原理计算期权价值的基本步骤1.确定可能的到期日股票价格2.根据执行价格计算确定到期日期权价值3.计算上行概率和下行概率期望报酬率=（上行概率股价上升百分比）+（下行概率股价下降百分比）4.计算期权价值期权价值=（上行概率上行时的到期日价值+下行概率下行时的到期日价值）/（1+r）【以上方法必须掌握】 武汉理工大学武汉理工大学76 【例】

30、ABC公司的股票现在的市价是100元，有1股以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为102元，到期时间为3个月。3个月以后股价有两种可能：上升10%，或者降低10%。无风险利率为4%。要求，根据风险中性原理计算该期权的价值。 武汉理工大学武汉理工大学77【答案】（1）确定可能的到期日股价上行股价=100（1+10%）=110（元）下行股价=100（1-10%）=90（元）（2）根据执行价格确定到期日期权价值股价上行时到期日价值=上行股价-执行价格=110-102=8（元）股价下行时到期日价值=0（3）计算上行概率期望报酬率=1%=上行概率10%+（1-上行概率）（-10%）上行概率=0.55下

31、行概率=0.45（4）计算3个月后的期望价值期望价值=0.558+0.450=4.4（元）（5）计算期权价值期权价值=4.4/（1+1%）=4.36（元） 武汉理工大学武汉理工大学78二、二叉树期权定价模型二、二叉树期权定价模型 (一一) 单期二叉树定价模型单期二叉树定价模型关于单期二叉树模型，其计算结果与前面介绍的复制组合原理和风险中性原理是一样的。举例假设一种股票目前价格是100元，到期日股价有两种可能，上升10%或下降10%，执行价格是102元，如果上升达到110元，如果下降达到90元，这就是股价二叉树。用C0表示期权，上行时到期日价值是110-102=8（元），下行时股价低于执行价格，

32、到期日价值=0，这就是期权二叉树。 武汉理工大学武汉理工大学79答案：要想确定期权价值，首先要计套期保值比率。套期保值比率=期权价值变化/股价变化=（8-0）/（110-90）=0.4。（1）按照复制组合原理确定期权价值：期权价值=购买股票的支出-借款的现金流入=套期保值比率股票目前价格-（套期保值比率到期日下行股价）/（1+无风险利率）本题的期权价值=0.4100-0.490/（1+无风险利率） 武汉理工大学武汉理工大学80（2）按照风险中性原理确定期权价值：第一步：根据“期望报酬率=上行概率上行收益率+下行概率下行收益率=无风险利率”计算得出上行概率和下行概率，其中，下行概率=1-上行概率

33、，上行收益率、下行收益率和无风险利率都是已知的。第二步：根据“（上行到期日价值上行概率+下行到期日价值下行概率）/（1+无风险利率）”计算得出期权价值。武汉理工大学武汉理工大学81（二）两期二叉树模型（二）两期二叉树模型如果把单期二叉树模型的到期时间分割成两部分，就形成了两期二叉树模型。由单期模型向两期模型的扩展，不过是单期模型的两次应用。【例】继续使用例11-9的数据，把6个月的时间分为2期，每期3个月。变动后的数据如下：ABC公司股票的现在市价50元，看涨期权的执行价格52.08元，每期股价有两种可能：上升22.56%，或下降18.4%；无风险利率为3个月1%。 武汉理工大学武汉理工大学8

34、2武汉理工大学武汉理工大学83第一步，计算Cu、Cd的价值【采用复制组合定价】套期保值比率=期权价值变化/股价变化=（23.02-0）/（75.10-50）=0.9171购买股票支出=套期保值比率股票现价=0.917161.28=56.20借款数额=（到期日下行股价套期保值比率）/（1+利率）=500.9171/1.01=45.40Cu=56.2-45.4=10.80元由于Cud、Cdd均为0，因此，Cd=0 【采用风险中性定价】1%=上行概率22.56%+（1-上行概率）（-18.4%）上行概率=0.47363期权价值6个月后的期望值=23.020.47363+(1-0.47363)0 =1

35、0.9030Cu=10.9030/1.01=10.80（元）由于Cud、Cdd均为0，因此，Cd=0 武汉理工大学84武汉理工大学武汉理工大学85第二步，根据Cu、Cd计算Co的价值。【采用复制组合定价】套期保值比率=10.80/（61.28-40.80）=0.5273购买股票支出=0.527350=26.365借款数额=（40.80.5273）/1.01=21.3008Co=26.365-21.3008=5.06（元） 【采用风险中性定价】利用风险中性假设多期欧式看涨期权定价公式一期风险中性定价模型：rCdppCuC11二期风险中性定价模型:222111C= 1p Cuupp Cudpp C

36、dupCddrn期风险中性定价模型:01max 0,C=1nn kkkkn knknC ppu dSXr武汉理工大学武汉理工大学87（三）多期二叉树模型（三）多期二叉树模型 【尚未解决的问题】上行乘数和下行乘数是如何确定的？与股价波动率（标准差）有关。其中：e=自然常数，约等于2.7183=标的资产连续复利收益率的标准差t=以年表示的时间长度 武汉理工大学武汉理工大学88 例11-9采用的标准差=0.4068 武汉理工大学武汉理工大学89 如果时间间隔为1/4年，则u=1.2256，即上升22.56%；d=0.816，即下降18.4%做题程序：（1）根据标准差确定每期股价变动乘数（应用上述的两

37、个公式）（2）建立股票价格二叉树模型（3）根据股票价格二叉树和执行价格，构建期权价值的二叉树。构建顺序由后向前，逐级推进。复制组合定价或者风险中性定价。（4）确定期权的现值 武汉理工大学武汉理工大学90【例】利用例11-9的数据，将半年的时间划分为6期，即每月1期。已知：股票价格So=50元，执行价格52.08元，年无风险利率4%，股价波动率（标准差）0.4068.到期时间6个月，划分期数为6期。1.确定每期股价变动乘数【注意】计算中注意t必须为年数，这里由于每期为1个月，所以t=1/12年。u=e0.4068 =e0.1174=1.1246d=11.1246=0.889212/1武汉理工大学

38、武汉理工大学912.建立股票价格二叉树 【填表规律】以当前股价50为基础，先按照下行乘数计算对角线的数字；对角线数字确定之后，各行该数字右边的其他数字均按照上行乘数计算。 武汉理工大学武汉理工大学923.按照股票价格二叉树和执行价格，构建期权价值二叉树。（1）确定第6期的各种情况下的期权价值7个数字中有三个大于执行价格，可以据此计算出三个期权价值（49.07=101.15-52.08；27.9=79.98-52.08；11.16=63.24-52.08），后 四个数字小于执行价格，期权价值为0.（2）确定第5期的期权价值（风险中性原理）上行百分比=u-1=1.1246-1=12.46%下行百分

39、比=d-1=-(1-0.8892)=-11.08%4%/12=上行概率12.46%+（1-上行概率）（-11.08%）上行概率=0.4848下行概率=1-0.4848=0.5152 武汉理工大学武汉理工大学93接下来，根据第6期的期权价值数字和上行下行概率计算第5期的期权价值数字。例如，第5期的第一个期权价值数字计算如下： 其他数字计算同前。期权现值=5.30元。 计算分析题(2009老)D公司是一家上市公司，其股票于2009年8月1日的收盘价为每股40元。有一种以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为42元，到期时间是3个月。3个月以内公司不会派发股利，3个月以后股价有2种变动的可能：上升到

40、46元或者下降到30元。3个月到期的国库券利率为4(年名义利率)。要求：（1）利用风险中性原理，计算D公司股价的上行概率和下行概率，以及看涨期权的价值。（2）如果该看涨期权的现行价格为2.5元，请根据套利原理，构建一个投资组合进行套利。武汉理工大学94【答案】（1）上行概率: P=0.65，下行概率:（1-P）=0.35 Cu=46-42=4,Cd=0 武汉理工大学95%)25()1 (%15%1%14%4%25404030%15404046PP期利率下降变动率上升百分比4 0.652.571 1%看涨期权价值（元）（2）购买股票的股数H=（4-0）/（46-30）=0.25借款额=0.253

41、0/（1+1%）=7.43元按照复制原理看涨期权的内在价值=0.2540-7.43=2.57元由于目前看涨期权价值为2.5低于2.57元，所以存在套利空间。套利组合应为：卖空0.25股股票，买入无风险债券7.43元，买入1股看涨期权进行套利，可套利0.07元。武汉理工大学96武汉理工大学武汉理工大学97三、布莱克三、布莱克斯科尔斯期权定价模型斯科尔斯期权定价模型（Black-Scholes model） （一）布莱克（一）布莱克斯科尔斯期权定价模型假设斯科尔斯期权定价模型假设（1）在期权寿命期内，买方期权标的股票不发放股利，也不做其他分配；（2）股票或期权的买卖没有交易成本（3）短期的无风险利

42、率是已知的，并且在期权寿命期内保持不变；（4）任何证券购买者能以短期的无风险利率借得任何数量的资金；（5）允许卖空，卖空者将立即得到卖空股票当天价格的资金；（6）看涨期权只能在到期日执行；（7）所有者证券交易都是连续发生的，股票价格随机游走。 武汉理工大学武汉理工大学98（二）布莱克（二）布莱克斯科尔斯期权定价模型斯科尔斯期权定价模型布莱克斯科尔斯期权定价模型，包括三个公式：其中：C0=看涨期权的当前价值S0=标的股票的当前价格N（d）=标准正态分布中离差小于d的概率X=期权的执行价格e2.7183rc=无风险利率 t=期权到期日前的时间（年）F=Perct P=Fe-rct 武汉理工大学武汉

43、理工大学99其中：ln（S0/X）= S0/X的自然对数2=股票回报率的方差五个因素：S0、X、r、t（注意多选）。 武汉理工大学武汉理工大学100 【例】ABC公司股票的当前市价25元，以该股票为标的资产的欧式看涨期权的执行价格为23元，期权合约为6个月。已知该股票收益率的方差为0.25，市场无风险利率为6%。要求：根据以上资料，应用布莱克斯科尔斯模型计算该看涨期权的价格。 武汉理工大学武汉理工大学101【答案】（1）计算d1和d2 （2）查表确定N（d1）和N（d2） N（d1）=0.6915N（d2）=0.5596（3）计算看涨期权的价格 武汉理工大学武汉理工大学102（三）模型参数估计

44、（三）模型参数估计布莱克斯科尔斯期权定价模型有5个参数。其中，现行股票价格和执行价格容易取得。至到期日的剩余年限计算，一般按自然日（一年365天或为简便使用360天）计算，也比较容易确定。比较难估计的是无风险利率和股票收益率的方差。1.无风险收益率估计（1）选择与期权到期日相同的国库券利率，如果没有时间相同的，应选择时间最接近的国库券利率。（2）国库券的利率是指其市场利率（根据市场价格计算的到期收益率），并且是按照连续复利计算的。武汉理工大学103武汉理工大学武汉理工大学104【例】假设t=0.5年，F=105元，P=100元，则： 武汉理工大学武汉理工大学1052.收益率标准差的估计股票收益

45、率的标准差可以根据历史收益率来估计。 指收益率的连续复利值其中：t12R)(11nttRRn期的股利。是期的价格；是期的价格；是时期的收益率；指股票在其中：连续复利的股票收益率tD1- tPttRPDPlnRt1ttitttttP【教材例9-14】 ABC公司过去11年的股价如表9-12第2列所示，假设各年均没有发放股利，据此计算的连续复利收益率和年复利收益率如第3列和第4列所示。武汉理工大学106连续复利和年复利的标准差连续复利和年复利的标准差 武汉理工大学107年份股价（元）连续复利收益率（%）年复利收益率（%）110.0011213.4429.5734.40321.3346.1958.7

46、1443.6771.65104.74533.32-27.05-23.70632.01-4.01-3.93727.45-15.37-14.25835.1624.7528.09932.14-8.98-8.591054.0351.9468.111144.11-20.29-18.36平均值31.5114.8422.52标准差134.5243.65计算分析题（2009新）2009年8月15日，甲公司股票价格为每股50元，以甲公司股票为标的的代号为甲49的看涨期权的收盘价格为每股5元，甲49表示此项看涨期权的行权价格为每股49元。截至2009年8月15日，看涨期权还有l99天到期。甲公司股票收益的波动率预

47、计为每年30，资本市场的无风险利率为（有效）年利率7。要求：（1）使用布莱克-斯科尔斯模型计算该项期权的价值(dl和d2的计算结果取两位小数，其他结果取四位小数，一年按365天计算)。（2）如果你是一位投资经理并相信布莱克-斯科尔斯模型计算出的期权价值的可靠性，简要说明如何作出投资决策。武汉理工大学108【答案】（1）执行价格的现值为PV(X)=49/(1+7%)199/365=47.2244将以上参数代入布莱克斯科尔斯公式中得到， C0=SN（d1）-PV(X) N(d2)=500.6443-47.22440.5596=5.79(元) 武汉理工大学10915. 03651993 . 037.

48、 037. 022215. 02215. 00583. 023651993 . 03651993 . 02244.47/50ln2)(/ln121TddTTXPVSd1652.4749)(36519907. 0eXPV（2）由于该看涨期权的收盘价格为每股5元，小于计算得出的期权的价值5.79元，因此可以买入该项看涨期权。武汉理工大学110武汉理工大学武汉理工大学111（四）看跌期权估价（四）看跌期权估价 对于欧式期权，假定看涨期权和看跌期权有相同的执行价格和到期日，则下述等式成立：看涨期权价格-看跌期权价格=标的资产的价格-执行价格的现值这种关系，被称为看涨期权看跌期权平价定理，利用该等式中的

49、4个数据中的3个，就可以求出另外一个。【例】两种期权的执行价格均为30元，6个月到期，6个月的无风险利率为4%，股票的现行价格为35元，看涨期权的价格为9.20元，则看跌期权的价格为：9.20-看跌期权价格=35-看跌期权价格=3（元）04. 130计算分析题A公司的普通股最近一个月来交易价格变动很小，投资者确信三个月后其价格将会有很大变化，但是不知道它是上涨还是下跌。股票现价为每股100元，执行价格为100元的三个月看涨期权售价为10元（预期股票不支付红利）。（1）如果无风险实际利率为每年10%，执行价格100元的三个月的A公司股票的看跌期权售价是多少（精确到0.0001元）？（2）投资者对

50、该股票价格未来走势的预期，会构建一个什么样的简单期权策略？价格需要变动多少（精确到0.01元），投资者的最初投资才能获利？武汉理工大学112【答案】（1）根据看涨-看跌期权关系公式：看跌期权价格=看涨期权价格-股票现价+执行价格/（1+R）t=10-100+100/（1.10）0.25=-90+100/1.0241137=-90+97.6454=7.6454（元） （2）购买一对敲组合，即1股看跌期权和1股看张期权总成本=10+7.6454=17.6454（元）股票价格变动=17.6454（1.10）0.25=18.07（元）武汉理工大学113武汉理工大学武汉理工大学114（五）派发股利的期权

51、定价（五）派发股利的期权定价股利的现值是股票价值的一部分，但是只有股东可以享有该收益，期权持有人不能享有。因此，在期权估价时要从股价中扣除期权到期前所派发的全部股利的现值。也就是说，把所有到期日前预期发放的未来股利视同已经发放，将这些股利的现值从现行股票价格中扣除。此时，模型建立在调整后的股票价格而不是实际价格的基础上。公式见教材P254. 处理方法：考虑派发股利的期权定价公式如下： C0S0e-tN（d1）Xe-rctN（d2） 其中： 武汉理工大学115武汉理工大学武汉理工大学116(六六) 美式期权估价美式期权估价美式期权的价值至少等于相应欧式期权的价值，在某些情况下，比欧式期权的价值更

52、大。对于不派发股利的美式看涨期权，不应当提前执行，可以直接应用布莱克斯科尔斯模型进行估价。对于派发股利的美式期权，有时候提前执行更有利，按道理不能用布莱克斯科尔斯模型进行估价，不过通常情况下使用布莱克斯科尔斯模型进行估价误差并不大，仍然具有参考价值。 武汉理工大学武汉理工大学117第三节第三节 实物期权实物期权 一、实物期权的含义与特点一、实物期权的含义与特点1.含义:投资于实物资产，经常可以增加投资人的选择权，这种未来可以采取某种行动的权利而非义务是有价值的。它们被称为实物期权。2.特点:实物期权隐含在投资项目中，有的项目期权价值很小，有的项目期权价值很大。这要看项目不确定性的大小，不确定性

53、越大则期权价值越大。 3 种类: （1）扩张期权（2）时机选择期权（3）放弃期权二、扩张期权二、扩张期权1.含义：扩张期权是指后续投资机会的权利。2.决策原则一期项目本身的净现值后续扩张选择权的价值0，一期项目可行。3.分析方法通常用布莱克斯科尔斯期权定价模型。4.关键变量的确定武汉理工大学118武汉理工大学武汉理工大学119【例9-16】参见教材256257页。 4.关键变量的确定武汉理工大学120优盘项目第一期计划 单位：万元武汉理工大学121时间（年末后营业现金流量200300400400400折现率（20%）0.8333 0.6944 0.578

54、70.48230.4019各年营业现金流量现值166.67 208.33 231.48192.90160.75营业现金流量现值合计960.13投资1000净现值-39.87第二期计划武汉理工大学122时间（年末）2000200320042005200620072008税后经营现金流量800800800800800折现率（i=20%）0.8333 0.6944 0.5787 0.4238 0.4019各年经营现金流量现值666.67 555.56 462.96 385.80 321.50经营现金流量现值合计1384.542392.49投资（i=10%）1502.632000净现值-118.09计

55、算扩张期权价值的相关数据如下：（1）假设第二期项目的决策必须在203年年底决定，即这是一项到期时间为3年的期权。（2）第二期项目的投资额为2000万元，折算到0时点使用10%作为折现率，是因为它是确定的现金流量，在201203年中并未投入风险项目。该投资额折现到200年为1502.63万元。它是期权的执行价格。（3）预计未来营业现金流量的现值2392.49万元，折算到200年为1384.54万元。这是期权标的资产的当前价格。武汉理工大学123（4）如果营业现金流量超过投资，就选择执行（实施第二期项目计划）；如果投资超过现金流量现值合计，就选择放弃。因此，这是一个看涨期权问题。（5）计算机行业风

56、险很大，未来现金流量不确定，可比公司的股票价格标准差为35%，可以作为项目现金流量的标准差。（6）无风险的报酬率为10%。武汉理工大学124武汉理工大学武汉理工大学125【注意】1. 净现值计算中未来各年税后经营现金流量的折现率采用包含风险的折现率，投资额的折现率采用无风险折现率。2.注意B-S模型中相关参数的确定以及如何查表的问题。 武汉理工大学武汉理工大学126 S0=标的资产的当前价格=1384.54万元PV（X）=执行价格的现值=1502.63万元t=期权到期日前的时间=3年=标的资产的标准差=35%d1=0.1682d2=-0.438查表得出：N（d1）=0.5668N（d2）=0.

57、3306 武汉理工大学武汉理工大学127【教材附表6查表说明】（1）当d0时，可与插补法结合使用。例如：N（0.6287）=N（0.62）+0.87 N（0.63）-N（0.62）（2）当d0， 因此，投资第一期项目是有利的。武汉理工大学128三、时机选择期权三、时机选择期权1.含义从时间选择来看，任何投资项目都具有期权的性质。如果一个项目在时间上不能延迟，只能立即投资或者永远放弃，那么它就是马上到期的看涨期权。如果一个项目在时间上可以延迟，那么它就是未到期的看涨期权。2.评价原理如果延期执行的期权价值大于立即执行的净现值，要考虑延期。武汉理工大学1293.决策原则选择立即执行净现值和延期执行

58、期权价值中较大的方案为优。4.分析方法时机选择期权分析通常用二叉树定价模型。武汉理工大学130武汉理工大学武汉理工大学1315.与股票期权有关参数之间的对应关系武汉理工大学武汉理工大学132武汉理工大学武汉理工大学133【例】DEF公司拟投资一个新产品，预计投资需要1000万元，每年现金流量为105万元（税后，可持续），项目的资本成本为10%（无风险利率5%，风险补偿率5%）。 净现值=105/10%-1000=50（万元）每年的现金流量105万元是平均的预期，并不确定。如果新产品受顾客欢迎，预计现金流量为131.25万元，如果不受欢迎，预计现金流量为84万元。由于未来现金流量具有不确定性，应

59、当考虑期权的影响。武汉理工大学武汉理工大学134利用二叉树方法进行分析的主要步骤如下：1.构造现金流量和项目价值（标的资产价格）二叉树项目价值=永续现金流量/折现率上行项目价值=131.25/10%=1312.5万元下行项目价值=84/10%=840万元2.期权价值二叉树模型（1）确定第一年末期权价值上行时期权价值=1312.5-1000=312.5万元下行时期权价值=Max（840-1000，0）=0 武汉理工大学武汉理工大学135武汉理工大学武汉理工大学136（2）根据风险中性原理计算上行概率 武汉理工大学武汉理工大学137（3）计算期权价值期权到期日价值=0.2424312.5+（1-0.2424）0=75.75万元期权价值=75.75/1.05=72.14万元（4）判断是否应延迟投资如果立即进行该项目，可以得到净现值50万元，如果等待，期权的价值为72.14万元，大于立即执行的收益，因此应当等待。 武汉理工大学