北师大版高中数学选修4-5本册综合检测

1、奋斗没有终点任何时候都是一个起点本册综合检测一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 .已知：a+b>0, b<0,那么（）A. a>b>a>bB. a>a>b>bC. a> b>b>aD. a>b>a>b解析：.a+b>0, .1. a>- b, b>a.,. b<0,b>0>b.a>-b>b>- a.答案： C2 .若不等式|2x3|>4与不等式x2+px+q>0的解集相同，则

2、 p： q等于（）A. 12 ： 7B, 7 ： 12C. （ -12） ： 7D. （ 3） ： 47 ,、17 1一解析： |2x3|>4? 2x3>4 或 2x3< 4? x>2或 x< 2,2-2= P，P=3,7、,172x -2 =q, q=_4,p ： q= 12 ： 7.答案： Aax1 + bx2ax1 + ax23 .已知 a, b, xb x2为互不相等的正数，y1=, y2=,则 y1与y2的大a+ba十b小关系为（）A. yi>y2B. yi<y2C. yi=y2D.不能确定X2 ba斛析： , yi- y2=-t,a+ b又

3、.a, b, xi, X2为互不相等的正数, yi与y2的关系不确定，故选 D.答案： D4.若不等式 x2+ax+ 1>0对一切xC10, 2恒成立，则a的取小值为（A. 0B. 2-5C.二D. 32解析：x2+ ax+ 1 > 0一15又一x+x的取大值为-2,. 一5 Amin 2答案： C5.如果P= 匹，Q= 1+ 炉,R=木+币,那么有（）A. P>Q>RB, F>P>QC. Q>R>PD. R>Q>P解析：P2= 17, c2= 16+2yr5,F2= 12 + 2/35,.C2-F2 = 2>/T5- 1>

4、;0,F2- P2= 2/35-5>0, 1- P最小.Q-F2=2炉+4-2病，又（2 而+4）2=16+60+16寸15 =76+16和<76 + 1616= 140,（2V35）2=4X 35= 140, . 2，35>255 + 4,. QW, . QR，选D.答案： D nn c n，1116.用数学归纳法证明 “对于任意x>0和正整数n,者B有x +x x "+ fd+ f x x x>n+1”时，需验证的使命题成立的最小正整数值n0应为（）A. no= 1B. no= 2C. no= 1,2D.以上答案均不正确解析：n°=1时，x

5、 + 1>1+1成立，再用数学归纳法证明.x答案： A，17 .函数 y=log2x + x +5（x>1）的取小值为（）B. 3D. - 4A. 3C. 4解析：x>1,x- 1>0,y= log 2 x 1 +> log 2 2、J x 11x- 1信达=log 28= 3,，一，1-一一 一当且仅当x1 = 一时等号成立，又x>°,，x=2时，y有最小值3,选B.答案： B8 . “|x1|<2 ” 是 x<3 的（）B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件A.充分不必要条件C.充分必要条件解析： - | x-1|<2 ?

6、 -2<x- 1<2? - 1<x<3.1<x<3? x<3,反之不成立.从而得出“ |x 1|<2”是“x<3”的充分不必要条件.答案： A1一.9.用数学归纳法证明 2 + cos oc + cos3 a + cos(2 n 1) a =2n+12n- 1kC Z, nC N+）,在验证n=1时，左边计算所得的项是sin -2- a , cos -2- a:(aw k 兀， sin aA.C.1，C2+ cos 0C + cos3 aD. -+ cosoc + COS2 a + 3COS aB. F cos a21解析： 首项 2，末项

7、 cos(2 x 1 1) a = cos a .答案： B10.设实数x1, X2,，xn的算术平均值是 x, aw x(aCR),并记p=(x-x)2+十 (xn x)2, q= (x1 a)2+ + (xna)2,则 p 与 q 的大小关系是()A. p>qB. p<qC. p=qD.不确定解析： : p= (x2 + x2+ + xnn) 2(必+ x2+ xn) x + n - x 2= (x2 +x2+ + x2)-2-n x ,q=(x2 + x2+ x2) 2a(xd x2+ xn) + na2,1. q- p= - 2a n x + na2+ n x 2，、2=(

8、x - a) - n>0,q>p.答案：B11.已知实数 x, y 满足 x2+y2=1,则(1xy)(1 +*丫)有()1 ，一3 ，-A.取小值2和取大值1B.取小值；和取大值113C.取小值2和取大值4D.取小值1解析：1 = x2+y2 > |2 xy| ,，一1 |xy| <2,2(1 xy) - (1 + xy) = 1 (xy),2 232 21 -x y 北且 1 x y w 1.答案： B一一.，1 12.在数列an中，日=a，且Sn= n(2 n 1) an,通过求a2, a3,a%猜想an的表达式为()31_1A.B. n- 1 n+12n2n+1

9、C.12n1 2n + 1D.12n+1 2n+2一、，1一，1斛析：经过a1 = 3可算出a-3375，1 一a3=，所以选C答案： C二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）13.若不等式|x-1|< a成立的充分条件是 0<x<4,则实数a的取值范围是 解析： | x- 1|< a? 1 - a<x<1 + a1 aw 0.1 + a>4故 a>3.答案： 3 , +8 )14 .如果x>0, y>0, x + y+xy=2,则x + y的最小值为 解析： 由 x+y + xy=2 得 2(x +

10、 y) =xy,x+y 22，即(x + y)2+ 4(x+y) - 8>0,.-x+y<- 2 2，3或 x+ y>2m2,又x>0, y>0,.1. (x + y)min=2 百2.答案： 2 3-215 .若 f (n) = "n2 + 1 n, g( n) = 2, nC N+,则 f ( n)与 g(n)的大小关系为 .解析：f(n) =/n-n=qn1+n借=2n=g(n) .答案：g(n)>f (n)16 .已知 f (n) =1 + 1 + 1+ 1(nC Nj ,用数学归纳法证明f(2n)>n 时，f (2 k+1) -f

11、(2 k)2 3 n21 11斛析： = f ( n) = 1+ 二+二+ 2 3n,k 111-f(2 )=1+ 大+ 7，2 32k+1、_1i,，1，_JL_ , _1_f(2) = 1+ 2+3+ 2k +2卜+1+ 2k+2+ + 2k+1， k+1. k 111- f(2) -f(2 ) =277+22 + 厂.111答案：21+ 1 + 2k + 2 +2三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤)17. (12 分)设函数 f(x) = |x 4|十|x1|.(1)求f(x)的最小值.(2)若f(x) <5,求x的取值范围.解

12、析：f(x) =| x-4| +| x- 1|2x5 x>4=3 1<x<4 ,5 2x x< 1作出y=f(x)的图象，如图所示.则(1) f(x)的最小值为3.(2)若 f(x)W5,则 2x-5< 5,4<x<5,，3W5,1<x<4.由 5 2xW 5,0w xW 1,，x的取值范围为0,5.1418. (12 分)已知 0<a<1,求证：a+=a>9.证明： (3a1)2>0,29a 6a+ 10,. 1 + 3a > 9a(1 a).0<a<1,1 + 3a> 9,a 1 a口 1

13、 a+4a1即>9,即 a+7：>9.1 a19. (12 分)若 0<a<2,0< b<2,0< c<2,求证：(2a)b,(2b)c, (2 - c) a,不能同时大证明：假设三数同时大于 1,即(2a)b>1, (2 b)c>1, (2c)a>1,不2 - a + b it：-那么2>j 2-a b>1,2 c + a、 >1.2由+得 3>3,上式显然是错误的,.该假设不成立.(2a)b, (2-b)c, (2 - c) a 不能同日大于 1.20. （12分）若n是不小于2的正整数，试证:4&l

14、t;11 +1.1+一，L虚7 1 2 3 42n1 2n 2 .1 1 1证明：1一 + 一一一+ +2 3 4=(1 + ) 2(一 + 一 + )=2n-1 2n '2 32n'2 42n n+111+ + n+2十十2n，所以求证式等价于41.1.-<+ +7 n+1 n+21<_22n 2 .由柯西不等式，有111n+1n+22n2(n+ 1) + (n+ 2) + (2 n)> n ,7+-+- + n+ 1 n+212n2n>n+ 1 + n+ 2 + 2n 3n+ 122>1 13+- 3+- n2又由柯西不等式，有1.1. . 1

15、+ < n+1+n+2+ 十 2n故不等式得证.21. （12分）某自来水厂要制作容积为 500m3的无盖长方体水箱， 现有三种不同规格的长 方形金属制箱材料（单位：m）： 19X19; 30X10；25X12,请你选择其中的一种规格材料，并设计出相应的制作方案（要求：用料最省；简便易行）.解析：设无盖长方体水箱的长、宽、高分别为 a、b、c,由题意，可得 abc= 500,长方体水箱的表面积为：S= 2bc+ 2ac+ ab.由均值不等式，知 S= 2bc+ 2ac+ab> 33/2bc - 2ac - ab = 33/4X5002= 300.当且仅当2bc=2ca=ab,即 a

16、 = b=10, c= 5 时，S= 2bc+ 2ca+ ab= 300 为最小，这表明将无盖长方体的尺寸设计为10X 10X 5（即2 ： 2 ： 1）时，其用料最省.如何选择材料并设计制作方案？就要研究三种供选择的材料，哪一种更易制作成长方体水箱的平面展开图.逆向思维，先将无盖长方体展开成平面图：如图 （1）,进一步剪拼成图（2）的长30项宽 10m（长：宽=3 ： 1）的长方形.因此，应选择规格30X 10的制作材料，制作方案如图 （3）.可以看出，图（3）这种“先割后补”的方案不但可使用料最省，而且简便易行.22. (14分)已知数列an满足ai = 2, a+1=2a2, a3,并求数列an的通项公式;(2)设Cn=-,求证:ci+ C2+ C3+7Cn一10解析:(1) . a = 2,an+121 + n 2 an(n C Nl+),a2= 21 21 + 1,