求概率解题技巧

1、求概率解题技巧概率这个章的主要内容就是求随机事件的概率问题。包括两种基本类型：1、古典 概型：2、几何概型。它们相同点：基本事件发生的可能性相等求概率公式和求法步骤 相似。不同点：古典概型要求基本事件的个数有限，而几何概型要求基本事件的个数无限。 一、古典概型。求它的概率基本方法：列举法、列表法，树图法、排除法。例1： 一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上1,2,3,45678910这十个数字， 现随机地抽取两个小球。（1）小球是不放回的，求两个小球上的数字为相邻整数的概率。（2）小球是放回的，求两个小球上的数字为相邻整数的概率。分析：小球是放回与不放回，基本事件的总数是不同的。有放回的

2、抽取标号数字能够重 复出现，而不放回抽取标号数字不能够重复出现。解：方法一（列举法）：记事件A为“两个小球上的数字为相邻整数”，可能的结果为（1,2），(2,3), (3,4), (4,5), (5.6), (6,7),(7,8),(8,9), (9,10), (2,1), (3,2), (4,3), (5,4), (6,5),(7,6), (8,7), (9,8), (10.9)共 18 种。1 Q 1（1） 小球是不放回的，可列举出基本事件的总数90种，故P（A）=1=189（2） 小球是放回的，可列举出基本事件的总数100种，故P（A） = =一100 50方法二（列表法）：1 Q 1（

3、1）如下表所示，基本事件的总数90种,事件A包含基本事件为18种，故P（A） =|数字123456789101XV2VXV3VXV4VXV5VXV6XV7XV8XV9VXV10VX注：打“表示事件A包含基本事件，10X10方格总格数去掉打“X”的为基本事件的总数。（2）如下表所示，基本事件的总数100种，事件A包含基本事件为18种，故189P(A)=100 50数字123456789101V2VV3VV4VV5V6910V注：打“ 表示事件A包含基本事件，10X10方格总格数为基本事件的总数。2.113324445551 Q法三（树图法）：（1）卜62,636 ，P(A) = - = -90

4、577788899910*10101112223334445551891N2<,3<606100 5077788899910 .1010剖析：有放回与不放回对基本事件的总数是有影响的，有放回的抽样必须考虑顺序，不 放回的抽样，能够考虑顺序，也可不考虑顺序，但概率公式中的分子和分母必须一致， 即分子和分母要么都考虑顺序，要么都不考虑顺序。例2：甲，乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题 4道，甲，乙两人依次各抽一题。（1）甲抽到选择题乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲，乙两人中至少一人抽到选择题的概率是多少？（1） 分析：把10道题目编号,选择题为和/，

5、/，0/，工6,判断题若考虑顺序由树图法得基本事件的总数为90,记“甲抽到选择题乙抽到判断题”为事 件A,则事件A包含基本事件的个数为24 （若不考虑顺序，则基本事件的总数为45,事件A包含基本事件的个数12）解:n A 24P(A)=90415124或 P(A) = = 45 15剖析：本题是不放回的抽样问题，考虑顺序和不考虑顺序均可.（2）分析：若从正面入手，则需要分三类，即甲抽到选择题乙抽到判断题乙抽到选 择题甲抽到判断题甲，乙均抽到选择题.但其对立事件就只有一类，即甲，乙均抽到判断题。所以从反而入手，利用排除法解比较简单.122解：记“甲，乙均抽到判断题”为事件B.由(1)问中列举结果

6、可得P(8) = = -：213故所求=1一尸(8) = 1 -二=上15 15剖析：正难则反，解部分从正而入手困难的概率问题能够考虑先求对立事件的概率，然后用 排除法来解。像题目中有“至少”，“至多”等字眼常用此法。例3：袋中有12个小球，分别为红球、黑球，黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是1,得到黑球或黄球的概率是3,得到绿球或黄球的概率也是2,试求得到黑球、31212黄球、绿球的概率各是多少？分析：题目中任取一球“得到红球”，“得到黑球”，“得到黄球”，“得到绿球”这四个事件彼 此互斥，可据题意列出这四个事件概率的方程，从而使问题得到解决。解：从袋中任取一球，记事件“得到红球”，

7、“得到黑球”，“得到黄球”，“得到绿球”分别为A.BC.D,则事件ABC.D彼此互斥，由题意得尸(8UC) = P(8) + P(C) = 3 1251 2P(CU») = P(C) + P(D) = P(3UCUO) = 1-P(A) = 1-1二123 32111即 P(8) + P(C) + P(。)= 一由得 P(B) = 一,P(C) = ,P(D)=-3464故得到黑球，黄球、绿球的概率分别是4 6 4剖析：本题所求事件较多，可使用方程的思想来解决问题。二、几何概型。例4：如图所示，在等腰直角三角形ABC中，(1) 过直角顶点C在NAC3内部作一条射线CM,与线段AB交于

8、点M,求AM < AC的概率。(2) 在斜边AB上任取一点M,求AM > AC的概率。分析：第(1)问AM的长度取决于NACM的度数，故本题是 与角度相关的几何概型问题。而第(2)问点M在斜边AB上任取，使AM > AC的点M落点区域为线段8C',它是与长度相关的几何概型问题。解：(1)在AB边上取AC= AC1 ,则ZACC180°-45记“在Z4C8内部作一条射线CM,与线段AB交于点M,使AM < AC”为事件A,则所有可能结果的区域角度是90°,事件A的 aZ区域角度是67.5°故P(A) = 四=三 904(2)记“在斜边

9、AB上任取一点M, AM>AC的概率”为事件B,则所有可能结果是线段AB.事件B包含的结果是线段设8C'，设AC=BC=1,则 = BC' =V2-1 P（B） = 2-2AB 叵 2剖析：当涉及射线的转动，扇形中相关落点问题时，常以角的大小作为区域度量来计算 概率，切不可用线段长度来代替。本题第（1）很容易与第（2）问混淆。例5、甲，乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻 到达是等可能的。（1）如果甲，乙两艇轮船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一 条船不需要等待码头空出的概率。（2）如果甲船的停泊时间是4小时，乙船的停泊时间是2小时，求

10、它们中的任何一条 船不需要等待码头空出的概率。（1）分析：因为甲，乙两艘轮船停泊时间都是4小时，所以任何一条船不需要等待码头空出的充要条件是打一），|>40 < x < 24解：设甲，乙两艘轮船到达时间分别是应乂则一0 < y < 24由题意,一），|>4,建立直角坐标系如图，作出可行域，则辟* p_阴影部分面积_ 2X；*20x20 _ 25概率一正方形面积 2424360 < X < 240 < a < 24解：若甲先到则，0 < y < 24 ,若乙先到则w0 < y < 24 ty - x > 4

11、x-y >2（2）分析：因为甲，乙两胺轮船在码头停泊时间不一样，所以必须要考虑谁先到的问题。作 出 可 行 域， 则 概 率p _阴影部分面积_920x20 + *2x22 =也"正方形面积-24x24288剖析：第（1）问甲，乙两艘轮船在码头停泊时间一样，可不 考虑谁先到，用|x - y|>4来解决，但第（2）甲，乙两艘轮船在码头停泊时间不一样，必须要考虑谁先到的问题。本题难点是把x,y构造平面内的点 （x,y）,转化为线性规划问题，进而转化为面积型几何概型问题。精选习一、选择题。1、1升水中有一只微生物，任取0.1升水，则有微生物的概率是（）A 0.1 B 0.2 C

12、 0.3 D 0.4答案：A2、从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母顺序恰好相邻的概率是（）2137A B - C D 551010答案：A3、为了估计水库中鱼的尾数，能够使用以下方法：先从水库中捕捞2000尾鱼，给每一 尾鱼做上记号，不影响其存活，然后放入水库。经过一定的时间，让其和水库中的其它 鱼充分混合后再从水库中捕捞500尾鱼,发现其中有记号的有40尾，估计水库在有（ ） 尾鱼。A15000 B 180000 C 20000 D 25000答案：D 二、填空题。1、若以连续抛掷两枚骰子分别得到的点数nin作为点P的坐标（mm）,则点P落在圆x2 + y2 = 16内的概率为 2答案：一92、设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地取一点与A相连，则弦长超过半径的倍的概率是答案：0.53、一个路口的信号灯，红灯的时间间隔为30秒，绿灯的时间间隔为40秒，如果你到达2路口时，遇到红灯的概率是一，那么黄灯的时间间隔为秒。5答案：5三、解答题。1、某公共汽车站，每隔15分钟有一辆车发出，并且发出前在车站停靠3分钟。（1）求乘客到站候车时间大于10分钟的概率。（2）