湖北省武汉市外国语学校高一下学期期中数学试题(解析版)

1、第 1 页 共 19 页湖北省武汉市外国语学校高一下学期期中数学试题一、单选题1式子21555nnn的结果为（）a514nb1514ncn 1514d 以上都不对【答案】 c 【解析】 直接根据等比数列的前n项和公式即可得出结果. 【详解】由等比数列前n项和公式可得2111nn，故选：c. 【点睛】本题主要考查了等比数列前n项和公式的应用，属于基础题. 2已知o，a，b是平面上的三个点，直线ab上有一点c，满足30accbuuu ruuu rr，则obuuu r（）a1233oaocuuu ruuu rb2133oaocuu u ruu u rc2133oaocu u

2、u ruuu rd1233oaocuu u ruu u r【答案】 d 【解析】 根据题意 ,画出示意图 .由平面向量的线性运算及平面向量基本定理即可表示出obuuu r. 【详解】根据题意o,a,b是平面上的三个点线,且ab上一点c满足30accbu uu ruu u rr则位置关系可用下图表示: 第 2 页 共 19 页所以b为线段ac上靠近c的三等分点则由平面向量的线性运算可得oboaabuuu ru u u ruuu r23oaacuuu ruuu r23oaocoau uu ruu u ruuu r1233oaocu u u ruu u r故选 :d 【点睛】本题考查了平面向量的线性

3、运算,平面向量基本定理的简单应用,属于基础题 . 3在abc中，角,b c所对的边分边为,b c，已知40,20,60bcc，则此三角形的解的情况是（）a有一解b有两解c无解d 有解但解的个数不确定【答案】 c 【解析】由三角形正弦定理sinsinbcbc可知4020sin3sinsin 60bbbo无解，所以三角形无解，选c. 4等差数列na的通项公式为28nan，有如下四个结论：1:p数列na是递增数列；2:p数列nna是递增数列；3:p数列nan是递增数列；4:p数列2na是递增数列其中结论正确的是（）a1,p3pb2,p4pc3,p4pd 2,p3p【答案】 a 【解析】 根据一次函数

4、的性质可判断1p；根据二次函数的性质可判断2p，4p；根据反比例类型函数的性质可判断3p. 【详解】28nan，由一次函数的单调性可知数列na是递增数列，即1p正确；228nnann，由二次函数的单调性可得，其先减后增，即2p错误；第 3 页 共 19 页82nann，反比例类型函数的单调性可得nan是递增数列，即3p正确；2243264nann，由二次函数的单调性可得，其先减后增，即4p错误，故选：a. 【点睛】本题主要考查通过数列的函数特征判断数列的单调性，属于基础题. 5 已知d，e，f分别是abc的边bc，ca，ab的中点，且bca cabuu u ruu u rrr，abcuuu r

5、r，则aduuu vbr12ar； beu uu var12br； cfuuu v12ar12br； adu uu vbeuu u vcfuuu v 0. 其中正确的等式的个数为( )a1 b2 c3 d 4【答案】 d 【解析】 本题考查的知识点是向量的加减法及其几何意义、及零向量，我们根据已知中的图形，结合向量加减法的三角形法则，对题目中的四个结论逐一进行判断，即可得到答案【详解】如图可知aduuu vacuuu vcduuu vacu uu v12cbuuu vcauu u v12bcu uu vbr12ar，故正确beu uu vbcuuu vceuuu vbcuuu v12cau u

6、u var12br，故正确cfuuu vcauu u vaeuuu vcauu u v12abu uu vbr12(arbr) 12ar12br，故正确aduuu vbeuu u vcfuuu vdauuu vbeuu u vcfuuu v (dcuuu vcau u u v)beuu u vcfuuu v (12arbr)ar12br12ar12br0，故正确第 4 页 共 19 页故选 d. 【点睛】本题考查的主要知识点是向量加减法及其几何意义，关键是要根据向量加减法及其几何意义，将未知的向量分解为已知向量6在abc中，已知2222()sin ()()sin ()abababab，则abc

7、的形状是（）a等腰三角形b直角三角形c等腰直角三角形d等腰三角形或直角三角形【答案】 b 【解析】 解：因为2222()sin ()()sin ()abababab将边化为角，利用分解因式和降幂的变形得到三角形的形状为直角三角形，选b 7已知由实数组成的等比数列na的前n项和为ns，若2021s，3049s，则10s是（）a7 b9 c63 d 7 或 63【答案】 a 【解析】 由等比数列的求和公式，结合条件， 求出102q，171aq，代入可求10s. 【详解】由题意显然可知公比1q，201201211aqsq，301301491aqsq，上述两式相除可得102q，171aq，101101

8、71aqsq，故选：a. 【点睛】本题主要考查了等比数列的求和公式，考查学生的计算能力，属于中档题. 8 数学九章 中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，虽与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，第 5 页 共 19 页其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即222222142cabsc a （s，a，b，c分别表示三角形的面积及三边长）现有周长为4 22 5的abcv，满足sin:sin: sin( 21):5 :( 21)abc，

9、试用以上给出的公式，求得abcv的面积为（）a3b2 3c5d 2 5【答案】 a 【解析】 根据正弦定理可得：:(21) :5 :(21)a b c，周长为4 22 5，可得a，b，c的值，代入公式可得答案；【详解】由题意sin:sin:sin( 21):5 : ( 21)abc，根据正弦定理：可得:( 21):5 :(21)a b c，周长为4 22 5，即4 22 5abc，可得2 22a，b=2 5，2 22c，由2222221342cabsc a，故选：a. 【点睛】本题考查三角形的正弦定理的运用，考查了学生的运算能力，求出三边的长是解题的关键，属于基础题. 9abcv中，6ac，

10、点p为ac中点若11bp，3abbc， 则ab（）a4 b2 5c6 d 3 5【答案】 c 【解析】 设bcx，则33abbcx，在abcv和abp中分别运用余弦定理即可求出x，进而可求得结果. 【详解】第 6 页 共 19 页设bcx，则33abbcx，由余弦定理可得：在abcv中，222292cos29acabbcxaac abx，在abp中，222292cos218abapbpxaab apx，所以229292918xxxx，解得2x或2x（舍去）所以36abx，故选：c. 【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了学生的计算能力，属于基础题. 10 已知abcv是长为

11、2 的等边三角形，p为平面abc内一点，则()papbpcuu u vuu u vuuu v的最小值是 ( )a2b32c43d 1【答案】 b 【解析】 以bc为x轴，bc的垂直平分线da为y轴，d为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出向量pauu u r，pbuuu r，pcuuu r，得到2()22 (3)uu u ru u u ruuu rpapbpcxyy，进而可求出结果 . 【详解】如图，以bc为x轴，bc的垂直平分线da为y轴，d为坐标原点建立平面直角坐标系，第 7 页 共 19 页则(0,3)a，( 1,0)b，(1,0)c，设( , )p x y，所以(,3)paxyu uu

12、r，( 1,)pbxyu uu r，(1,)pcxyuu u r，所以( 2 , 2 )pbpcxyu uu ru uu r，222333()22 ( 3)22()222uu u ruu u ruuu rpapbpcxyyxy，当3(0,)2p时，所求的最小值为32. 故选： b 【点睛】本题主要考查求向量数量积的最值，通过建系的方法处理，熟记向量数量积的坐标运算即可，属于常考题型. 11 已知abc的外接圆半径为1，圆心为点o，且3450uu u ruuu ruu u rroaoboc，则oc abuuu r uuu r的值为（）a85b75c15d 45【答案】 c 【解析】【详解】因为3

13、450uu u ru uu ruuu rroaoboc，所以453obocoau uu ruu u ruuu r，所以2221640259obob ococoau uu ru uu r uuu ruu u ruuu r，又因为1oaobocuuu ruuu ruuu r，所以45ob ocuuu r uuu r，同理可求35oa ocuu u r uuu r，所以431555oc abocoboauuu r uuu ruuu ruuu ruu u r，故选 c. 12 已知等差数列na的前n项和为ns， 若33323,aa32019201921aa，则有（）第 8 页 共 19 页a32019

14、aa且20212021sb32019aa且20212021sc32019aa且20214042sd32019aa且20214042s【答案】 c 【解析】 对已知等式进行构造为333122aa和320192019212aa，通过提取公因式可得32019aa，两式相加因式分解可得201934aa，最后根据等差数列前n项和公式即可得结果. 【详解】33323aa，333122aa，即23321102aa，易知320a，即32a，又32019201921aa，320192019212aa，即22019201921201aa，易知201920a，即20192a，故而32019aa. 可得3201932

15、0193322220aaaa，2019201922233301922222210aaaaaa，由于201922332019222210aaaa恒成立，20139220aa，即201934aa，2021132020211920212021422024aaaaas. 故选： c. 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质及其前n项和， 考查了学生的计算能力，利用立方和公式进行因式分解是解题的关键，属于中档题二、填空题13 已知abcv角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若5a，8b，60co，则bc cauuu r uur_第 9 页 共 19 页【答案】20【解析】 直接利用数量积的定义即可得出结

16、果. 【详解】1cos 18058202bc cabccacouuu r u uu ruuu ruu u r，故答案为：20. 【点睛】本题考查了数量积的定义，考查了计算能力，理解向量夹角的概念是解题的关键，属于属于题 . 14 已知等比数列an的前n项和为sn，若a332，s392，则a1的值为 _【答案】32或 6 【解析】 由题意，要分公比1,1qq两种情况分类讨论，当q1 时，s33a1即可求解，当q1 时，根据求和公式求解. 【详解】当q 1 时，s33a13a333292，符合题意，所以a132；当q 1 时，s33111aqqa1(1qq2)92，又a3a1q232得a1232q

17、，代入上式，得232q(1qq2)92，即21q1q20，解得1q 2 或1q1(舍去 )因为q12，所以a1231226，综上可得a132或 6. 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质及等比数列的求和公式，涉及分类讨论的思想，属于中档题 . 第 10 页 共 19 页15 abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c已知sinsin(sincos)0bacc，2a，2c，则c=_【答案】6【解析】 由()bac代入方程消去一个未知数，转化成关于,a c的方程，再利用正弦定理求c的正弦值 . 【详解】由题可得sincoscossinsinsinacacacsincos0ac，即sin(sinc

18、os)caa2 sinsin()04ca，所以34a由正弦定理sinsinacac可得223sinsin4c，即1sin2c，因为ca，所以ca，所以6c【点睛】本题由于给定边,a c的长， 所以三角方程中选择消去b这一未知数， 为正弦定理的使用做铺垫 . 16 数列na满足113a， 且对任意*nn，21nnnaaa， 若11nnca， 数列nc前n项和为ns，则2019s的整数部分是 _【答案】 2 【解析】 由已知可得1nnaa，计算出41a，即4n时，10 1na，对已知等式取倒数可得：11111nnnaaa，即111nnncaa，利用“裂项求和”方法即可得出. 【详解】21nnnaa

19、a，113a，1nnaa，2114939a，2345298149a，2452526916181816561a，4n时，10 1na，第 11 页 共 19 页21nnnaaa，11111nnnaaa，可得：11111nnnaaa，111nnncaa，数列nc的前n项和231211111111111nnnnsaaaaaaaa，201912020202011132 3saaa，其整数部分为2，故答案为： 2. 【点睛】本题考查了数列递推关系、裂项求和方法、数列的单调性、实数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 三、解答题17 若平面向量ar、br满足| 1abrr，( 2, 1)br（

20、1）若abrr平行于x轴，求向量ar的坐标；（ 2）若| 4ar，求|2|rrab的值【答案】（1）3,1ar或1,1ar； （2）109【解析】（1）设出, yaxr，根据平行关系及模长列出方程组，求出方程组的解即可得结果；（ 2）通过对| 1abrr两边同时平方可求出a brr，然后求出|2|rrab的平方再开方即可 . 【详解】（ 1）设, yaxr，| 1abrr，abrr平行于x轴，( 2, 1)br，2,1abxyrr，2221110 xyy，解得31xy或11xy，3,1ar或1,1ar第 12 页 共 19 页（ 2）( 2, 1)br，5br，又| 1abrr，|4ar，22

21、21aba brrrr，即16521a brr，解得10a brr，222|2|4464405109abaa bbrrrrrr，|2|109abrr. 【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的坐标表示、模、夹角, 平面向量共线（平行）的坐标表示，考查了学生的计算能力，属于基础题. 18 abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c.已知2cos( coscos )c abbac.（ 1）求角 c； （2）若7c，3 32abcs，求abc的周长 .【答案】（1）3c（2）57【解析】【详解】试题分析： （1）根据正弦定理把2cos( coscos )c abbac化成2cos(sincossin

22、cos )sincabbac，利用和角公式可得1cos,2c从而求得角c；（ 2）根据三角形的面积和角c的值求得6ab，由余弦定理求得边a得到abc的周长 . 试题解析：（1）由已知可得2cos(sincossincos )sincabbac12cossin()sincos23cabccc（ 2）1313sin362222abcsabcabab又2222cosababccq2213ab，2()255abababc的周长为57【考点】 正余弦定理解三角形. 19 在abc中，,a b c的对边分别是, ,a b c，已知1a，平面向量(sin(),)mccoscr，(sin(),sin)2nbb

23、r，且sin2m narr.第 13 页 共 19 页（ 1）求 abc 外接圆的面积；（ 2）已知 o 为 abc 的外心，由o 向边 bc 、ca、 ab 引垂线，垂足分别为d、e、f，求coscoscosodoeofabcuuu ruuu ru uu r的值 .【答案】（1）3； （ 2）【解析】【详解】（ 1）由题意，sin2sincossincosacbbc得2sincossin()sinaabca由于abc中sin0a，2cos1a，1cos2a23sin1cos2aa2r=21,sin333arsa（ 2）因为 o 为 abc 的外心，由o 向边 bc 、ca、 ab 引垂线，垂

24、足分别为d、e、f，延长 co 交圆于 g 点，cg 为圆的直径，20 已知数列na是等差数列，1(1)af x，20a，3(1)af x，其中第 14 页 共 19 页2( )42f xxx（ 1）求数列na的通项公式na；（ 2）若na是递增数列，数列nb是以p为首项，p为公比的等比数列（其中p为非零实常数） ，求数列42nnab的n项和nt【答案】（1）24nan或24nan，*nn； （2）121,111,12nnpnpnppptn np【解析】（1）由13220110aaafxfx，即2430 xx，解出x，从而可得首项和公差，即得结果；（ 2）由（1）以及等比数列的定义可得42nn

25、nabn p，分为1p和1p两种情形，结合错位相减法即可得其前n项和nt. 【详解】（ 1）21121afxxx，20a，23167afxxx，130aa，2430 xx，1x或 3，当1x时，12a，2d，即24nan，*nn；当3x时，12a，2d，即24nan，*nn；综上可得数列na的通项公式为24nan，*nn或24nan，*nn. （ 2）由于na是递增数列，数列nb是以p为首项，p为公比的等比数列24nan，nnbp，42nnnabn p，第 15 页 共 19 页当1p时，42nnabn，则12nn nt；当1p时，2323nntpppnpl，234123nnptpppnpl，

26、由得2311111nnnnnppp tppppnpnppl，化简解：1211nnpnpnptp，综上可得：121,111,12nnpnpnppptn np【点睛】本题主要考查了数列的递推式，考查了利用错位相减法求和，属于中档题. 21 如图，某学校拟建一块五边形区域的“读书角”，三角形区域abe为书籍摆放区，沿着ab、ae处摆放折线形书架（书架宽度不计），四边形区域为bcde为阅读区，若bae60 ，bcdcde120 ，de3bc3cd3 3m（ 1）求两区域边界be的长度；（ 2）若区域abe为锐角三角形，求书架总长度ab+ae的取值范围【答案】（1）6bem（ 2）6 3,12【解析】（

27、1）连接bd，由余弦定理可得bd，由已知可求cdbcbd 30 ，cde120 ，可得bde 90 ，利用勾股定理即可得解be的值； （2） 设abe，由正弦定理，可得ab43sin （120 ） ，ae 43sin ，利用三角函数恒等变换的应用化简可得ab+ae12sin （+30 ） ，结合范围60 +30 第 16 页 共 19 页120 ，利用正弦函数的性质可求ab+ae的最大值，从而得解【详解】连接 bd ，在 bdc 中，3bccd， bcd=120，由余弦定理2222cosbdbccdbc cdbcd, 得222332 33cos120bd，得3bdm又 bc=cd ， bcd=

28、120，30bdc，90bde. abe 中，bd=3 ，3 3de，由勾股定理2222233 336bebdde. 故6bem. 设abe，则18060120aeb, 在 abe 中，由正弦定理64 3sin 120sin60sin32abbeae. 4 3sin 120ab，4 3sinae，故4 3 sinsin 120abae=4 3 sinsin120 coscos120sin334 3sincos12sin3022， abe 为锐角三角形，故3090，6030120，3sin3012，6 312abae所以暑假的总长度ab+ae的取值范围是6 3,12，【点睛】本题考查余弦定理，考查正弦定理，考查三角函数的化简，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题此类函数的实际应用题，我们要经过析题建模解模还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x 取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考第 17 页 共 19 页虑将实际的最大（小）化问题，利用函数模型