高数复习大纲同济六版下册

1、精品1、向量与空间几何 向量：向量表示(ab);向量的模: 向量的大小叫做向量的模. 向量a、的模分别记为|a|、. 单位向量: 模等于1的向量叫做单位向量. 零向量: 模等于0的向量叫做零向量, 记作0或. 零向量的起点与终点重合, 它的方向可以看作是任意的. 向量的平行: 两个非零向量如果它们的方向相同或相反, 就称这两个向量平行. 向量a与b平行, 记作a / b. 零向量认为是与任何向量都平行.向量运算(向量积)；1 向量的加法2. 向量的减法3向量与数的乘法设a=(ax, ay, az), b=(bx, by, bz)即 a=axi+ayj+azk, b=bxi+byj+bzk ,

2、那么 a+b =(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k =(ax+bx, ay+by, az+bz). a-b= (ax-bx)i+(ay-by)j+(az-bz)k=(ax-bx, ay-by, az-bz). la=l(axi+ayj+azk) =(lax)i+(lay)j+(laz)k =(lax, lay, laz).向量模的坐标表示式 点A与点B间的距离为 向量的方向：向量a与b的夹角 当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时, 两个向量之间的不超过p的夹角称为向量a与b的夹角, 记作或. 如果向量a与b中有一个是零向量, 规定它们的夹角可以在0与p之间任意取值.类似地

3、, 可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角.数量积: 对于两个向量a和b, 它们的模 |a|、|b| 及它们的夹角q 的余弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作a×b, 即a·b=|a| |b| cosq . 数量积与投影: 由于|b| cosq =|b|cos(a, b), 当a¹0时, |b| cos(a, b) 是向量b在向量a的方向上的投影, 于是a·b = |a| Prj ab. 同理, 当b¹0时, a·b = |b| Prj ba. 数量积的性质: (1) a·a = |a| 2. (2) 对于两个非零向量

4、a、b, 如果 a·b =0, 那么 ab; 反之, 如果ab, 那么a·b =0. 如果认为零向量与任何向量都垂直, 那么ab Û a·b =0.两向量夹角的余弦的坐标表示: 设q=(a, b), 那么当a¹0、b¹0时, 有 向量积: 设向量c是由两个向量a与b按以下方式定出: c的模 |c|=|a|b|sin q , 其中q 为a与b间的夹角; c的方向垂直于a与b所决定的平面, c的指向按右手规那么从a转向b来确定. 那么, 向量c叫做向量a与b的向量积, 记作a´b, 即 c = a´b. 坐标表示: =

5、aybzi+azbx j+axbyk-aybxk-axbz j-azbyi = ( ay bz - az by) i + ( az bx - ax bz) j + ( ax by - ay bx) k. .向量的方向余弦: 设r=(x, y, z), 那么 x=|r|cosa, y=|r|cosb, z=|r|cosg . cosa、cosb、cosg 称为向量r的方向余弦. , , . 从而 向量的投影向量在轴上的投影 设点O及单位向量e确定u轴. 任给向量r, 作, 再过点M作与u轴垂直的平面交u轴于点M¢(点M¢叫作点M在u轴上的投影), 那么向量称为向量r在u轴上的

6、分向量. 设, 那么数l称为向量r在u轴上的投影, 记作Prjur或(r)u . 按此定义, 向量a在直角坐标系Oxyz中的坐标ax, ay, az就是a在三条坐标轴上的投影, 即 ax=Prjxa, ay=Prjya, az=Prjza. 投影的性质: 性质1 (a)u=|a|cos j (即Prjua=|a|cos j), 其中j为向量与u轴的夹角; 性质2 (a+b)u=(a)u+(b)u (即Prju(a+b)= Prjua+Prjub); 性质3 (la)u=l(a)u (即Prju(la)=lPrjua);空间方程：曲面方程(旋转曲面和垂直柱面)；(1)椭圆锥面 由方程所表示的曲面

7、称为椭圆锥面.(2)椭球面由方程所表示的曲面称为椭球面.(3)单叶双曲面由方程所表示的曲面称为单叶双曲面.(4)双叶双曲面 由方程所表示的曲面称为双叶双曲面.(5)椭圆抛物面 由方程所表示的曲面称为椭圆抛物面(6)双曲抛物面. 由方程所表示的曲面称为双曲抛物面.椭圆柱面, 双曲柱面,抛物柱面, .直线方程(参数方程和投影方程) 空间直线的一般方程空间直线L可以看作是两个平面P1和P2的交线. 如果两个相交平面P1和P2的方程分别为A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0, 那么直线L上的任一点的坐标应同时满足这两个平面的方程, 即应满足方程组.空间直线的对称式方程与参

8、数方程方向向量: 如果一个非零向量平行于一条直线, 这个向量就叫做这条直线的方向向量. 容易知道, 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量. 确定直线的条件: 当直线L上一点M 0(x0, y0, x0)和它的一方向向量s = (m, n, p)为时, 直线L的位置就完全确定了. 直线方程确实定: 直线L通过点M0(x0, y0, x0), 且直线的方向向量为s = (m, n, p), 求直线L的方程. 设M (x, y, z)在直线L上的任一点, 那么 (x-x0, y-y0, z-z0)/s , 从而有 . 这就是直线L的方程, 叫做直线的对称式方程或点向式方程直线L1和L2的夹角j可由

9、直线与平面的夹角设直线的方向向量s=(m, n, p), 平面的法线向量为n=(A, B, C), 直线与平面的夹角为j , 那么, 因此. 按两向量夹角余弦的坐标表示式, 有平面方程：点法式(法向量)、一般式、任一平面都可以用三元一次方程来表示 . Ax+By+Cz+D=0.其中x, y, z的系数就是该平面的一个法线向量n的坐标, 即 n=(A, B, C).提示: D=0, 平面过原点. n=(0, B, C), 法线向量垂直于x轴, 平面平行于x轴. n=(A, 0, C), 法线向量垂直于y轴, 平面平行于y轴.n=(A, B, 0), 法线向量垂直于z轴, 平面平行于z轴.n=(0

10、, 0, C), 法线向量垂直于x轴和y轴, 平面平行于xOy平面.n=(A, 0, 0), 法线向量垂直于y轴和z轴, 平面平行于yOz平面.n=(0, B, 0), 法线向量垂直于x轴和z轴, 平面平行于zOx平面.截距式；平面夹角和距离 两平面的夹角: 两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角. 设平面P1和P2的法线向量分别为n1=(A1, B1, C1)和n2=(A2, B2, C2), 那么平面P1和P2的夹角q 应是和两者中的锐角, 因此, . 按两向量夹角余弦的坐标表示式, 平面P1和P2的夹角q 可由 .来确定. 从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得以下结论:

11、 平面P1和P2垂直相当于A1 A2 +B1B2 +C1C2=0; 平面P 1和P 2平行或重合相当于空间曲线的一般方程空间曲线可以看作两个曲面的交线. 设F(x, y, z)=0和G(x, y, z)=0是两个曲面方程, 它们的交线为C. 因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个方程, 所以应满足方程组空间曲线的参数方程33空间曲线C的方程除了一般方程之外, 也可以用参数形式表示, 只要将C上动点的坐标x、y、z表示为参数t的函数: . 当给定t=t1时, 就得到C上的一个点(x1, y1, z1); 随着t的变动便得曲线C上的全部点. 方程组(2)叫做空间曲线的参数方程.切平面和切线：切

12、线与法平面；设空间曲线的参数方程为 曲线在点处的切线方程为 =向量 就是曲线在点处的一个切向量法平面的方程为切平面与法线 隐式给出曲面方程 () 法向量为：切平面的方程是 法线方程是 在点如果用、表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与轴的正向所成的角是一锐角，那么法向量的方向余弦为 2、多元函数微分学 多元函数极限：简单复习讲解 偏微分全微分：如果三元函数可以微分，那么它的全微分就等于它的三个偏微分之和， =+第二次课3、重积分 二重积分：利用直角坐标计算二重积分我们用几何观点来讨论二重积分的计算问题。讨论中,我们假定 ；假定积分区域可用不等式 表示,其中, 在上连续

13、。据二重积分的几何意义可知,的值等于以为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积。在区间上任意取定一个点,作平行于面的平面,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为一般地,过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为利用计算平行截面面积为的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为从而有 (1)上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把看作常数,只看作的函数,对计算从到的定积分,然后把所得的结果( 它是的函数 )再对从到计算定积分。这个先对, 后对的二次积分也常记作重积分化二次积分时应注意的问题1、积分区域的形状前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:对于I型(或II型)区域, 用平行于轴(轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点。如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并集。2、积分限确实定二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键。这里,我们介绍配置二次积分限的方法 - 几何法。极坐标：极坐标系中的二重积分, 同样可以化归为二次积分来计算。【情形一】积分区域可表示成下述形式其中函数, 在上连续。那么 【情形二】积分区域为下述形式显