广东省湛江市第二高级中学2021届高三下学期3月模拟数学试题(解析版)

1、2021 年广东省湛江市第二高级中学3 月模拟数学试卷一、单项选择题（本大题共8 小题，共 40.0分）1. 已知集合0,2,4a，|2xby yxa，则ab（）a. 0，2，4b. 4c. 2 4，d. 0 1 ， ，2，4【答案】 b 【解析】【分析】先求出b，再求ab. 【详解】因为集合0,2,4a，|2xby yxa，所以1,4,16b4ab故选： b 2. 设命题2:230p xx , : 51qx , 则命题p成立是命题q成立的 ( ) a. 充分不必要条件b. 必要不充分条件c. 充要条件d. 既不充分也不必要条件【答案】 a 【解析】【分析】 解二次不等式得出x 取值范围， 比

2、较两个命题中x 范围的大小， 范围小的为范围大的充分不必要条件. 【详解】解二次不等式可得：31x，显然命题p中 x 范围小于命题q 中 x 范围，所以命题p 为命题 q的充分不必要条件. 故选 a. 【点睛】本题考查范围型充分必要条件的判断，注意小范围可以推出大范围，大范围推不出小范围. 3. 已知0.42x，2lg5y，0.425z，则下列结论正确的是（）a. xyzb. yzxc. zyxd. zxy【答案】 b 【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较x、y、 z 三个数与0、1的大小关系，由此可得出x、y、z三个数的大小关系. 【详解】0.40221x，2lglg105y，

3、0.4021525z，又0z，即01z. 因此，yzx. 故选： b. 【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数的单调性比较指数式和对数式的大小关系，一般利用中间值法来比较，属于基础题. 4. 已知三棱锥pabc的底面abc是边长为2 的等边三角形，pa平面abc，且2pa，则该三棱锥外接球的表面积为a. 683b. 20c. 48d. 283【答案】 d 【解析】【分析】 由于球中球心与球的小圆圆心的连线垂直于这个小圆，利用pa也垂直于这个小圆，即可利用球心与小圆圆心建立起直角三角形，112doopa，根据题意可求出r是底面三角形的外接圆的半径，利用22drr计算r即可，最后即可求出球的表面积

4、【详解】由已知得，作下图paabc平面，连结po，延长至圆上交于h，过o作oopa交abc平面于o，则pah为rt，所以 ，o为斜边ph的中点 ，所以 ，oo为pah的中位线，o为小圆圆心，则o为ah的中点 ，则12ooo hpaah，则2222 32133o hao，112oopa，则球的半径22421133rohooo h球的表面积为22843r答案选 d. 【点睛】本题考查计算球的表面积，关键在于利用222drr进行计算r，难点在于构造三要素相关的直角三角形进行求解，难度属于中等5. 设na为等比数列，nb为等差数列，且ns为数列nb的前n项和，若21a，1016a，且66ab，则11s

5、（）a. 20b. 30c. 44d. 88 【答案】 c 【解析】【分析】利用等差数列的性质可求出6a，再利用11611sa即可得解 . 【详解】na为等比数列，2621016aaa又4620aaq，664ba，又nb为等差数列，1111161111442aasa. 故选： c. 【点睛】本题考查了等差、等比数列性质的应用以及等差数列的求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 . 6. 7(1)(2)xx的展开式中6x的系数为（）a. 14b. 28c. 70d. 98【答案】 d 【解析】【分析】将72x展开，从而得到含6x的项为12162577122c xx c x，计算其系数，即可得

6、答案；【详解】将72x展开，得01270716257077772222c xc xc xc x，则原展开式中含6x的项为12162577122c xx c x，整理可知其系数为98故选： d【点睛】本题考查二项式定理求指定项的系数，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 7. 将函数232sin34yx图象上所有点的横坐标缩短为原来的13，纵坐标不变，再向右平移8个单位长度，得到函数yg x的图象，则下列说法正确的是a. 函数g x的一条对称轴是4xb. 函数g x的一个对称中心是,02c. 函数g x的一条对称轴是2xd. 函数g x的一个对称中心是,08【答案】 c 【解析】【分析】利用诱导公式

7、、函数yasin（ x+ ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，判断各个选项是否正确，从而得出结论【详解】将函数23234ysinx图象上所有点的横坐标缩短为原来的13，可得 y 2sin（2x34）的图象 ，然后纵坐标不变，再向右平移8个单位长度，得到函数yg（ x） 2sin（2x344） 2cos2x的图象 ，令 x4，求得 g（x） 0，可得（4，0）是 g（x）的一个对称中心，故排除a；令 x2，求得 g（x） 1，可得 x2是 g（x）的图象的一条对称轴，故排除b，故 c 正确；令 x8，求得 g（x）2，可得 x8不是 g（x）的图象的对称中心，故排除d，故选 c【

8、点睛】本题主要考查诱导公式、函数y asin（ x+ ）的图象变换规律，以及正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于基础题8. 已知1f，2f分别是双曲线2222:1(0,0)xycabab的左、 右焦点， 直线l为双曲线c的一条渐近线，1f关于直线l的对称点1f在以2f为圆心，以半焦距c为半径的圆上，则双曲线c的离心率为（）a. 2b. 3c. 2d. 3 【答案】 c 【解析】【分析】根据对称性可得11221ofofoff fc ，可得02160f of，011120fof，渐近线的倾斜角为060，即可得3ba，即可求离心率【详解】解：如图，根据对称性可得11221ofofoff fc，21

9、60f of，11120fof，所以渐近线的倾斜角为60 ，3ba，则双曲线c的离心率为2212ba. 故选 :c. 【点睛】本题考查了双曲线的性质、离心率，考查转化能力二、多项选择题（本大题共4 小题，共 20.0分）9. 2020年的 “金九银十 ”变成 “ 铜九铁十 ”， 全国各地房价 “跳水 ”严重，但某地二手房交易却“逆市 ”而行 .下图是该地某小区2019年12月至2020年12月间，当月在售二手房均价(单位：万元 /平方米 )的散点图.(图中月份代码113分别对应2019年12月2020年12月) 根据散点图选择yabx和lnycdx两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两个回归方

10、程分别为0.93690.0285yx和0.95540.0306lnyx，并得到以下一些统计量的值：0.93690.0285yx0.95540.0306lnyx2r0.9230.973注：x是样本数据中x的平均数，y是样本数据中y的平均数，则下列说法正确的是（）a. 当月在售二手房均价y与月份代码x呈负相关关系b. 由0.93690.0285yx预测2021年3月在售二手房均价约为1.0509万元 /平方米c. 曲线0.93690.0285yx与0.95540.0306lnyx都经过点,x yd. 模型0.9554 0.0306lnyx回归曲线的拟合效果比模型0.93690.0285yx的好【答

11、案】 bd 【解析】【分析】根据散点图的分布可判断a 选项的正误；将16x代入回归方程0.93690.0285yx可判断 b 选项的正误；根据非线性回归曲线不一定经过, x y可判断c 选项的正误；根据回归模型的拟合效果与2r的大小关系可判断d 选项的正误 . 【详解】对于a，散点从左下到右上分布，所以当月在售二手房均价y与月份代码x呈正相关关系，故a不正确；对于 b，令16x，由，0.93690.0285 161.0509y所以可以预测2021 年 2 月在售二手房均价约为1.0509万元 /平方米，故b 正确；对于 c，非线性回归曲线不一定经过,x y，故 c 错误；对于 d，2r越大，拟

12、合效果越好，由00.973.923，故 d 正确 . 故选： bd 10. 下列命题中，真命题的是（）a. 若 z 为实数，则zzb. 若 zz ，则 z 为实数c. 若z 为实数，则z z 为实数d. 若 z z 为实数，则z 为实数【答案】 abc 【解析】分析】根据复数相关定义和概念，结合选项进行逐一分析即可. 【详解】不妨设,zabi ar br，故可得zabi，若 z 为实数，则za，故za，故a正确；若zz，故可得abiabi，故可得0b，则zar，故b正确；若 z 为实数，故可得,za za，显然2z zar，故c正确；若z zr，即22abr，无法得到0b，故d错误 . 故选：

13、 abc. 【点睛】本题考查复数以及共轭复数的定义和概念，涉及复数的乘法运算，属基础题. 11. 已知抛物线24xy的焦点为f，a、b是抛物线上两动点，2,2p是平面内一定点，下列说法正确的有（）a. 抛物线准线方程为1xb. 若8afbf，则线段ab中点到x轴距离为3c. apf的周长的最小为53d. 以线段ab为直径的圆与准线相切【答案】 bc 【解析】【分析】求出抛物线的准线方程，可判断a 选项的正误；求出线段ab中点的纵坐标，可判断b 选项的正误；利用抛物线的定义可判断c 选项的正误；利用点a、b没有任何限制可判断d 选项的正误 . 【详解】对于a 选项，抛物线24xy的准线方程为1y

14、，焦点0,1f，故 a 错；对于 b 选项，设点11,a xy、22,b xy，由抛物线的定义可得1228afbfyy，可得126yy，所以，线段ab中点到x轴的距离为1232yy，故 b 对；对于 c 选项，设a在准线上投影为1a，22202 15pf，11213afapaaappa，当p、a、1a三点共线时取最小值，所以apf的周长的最小值为53，故c对；对于 d 选项，因为点a、b没有任何限制条件，可以是抛物线上任意两点，所以以线段ab为直径的圆与准线不一定相切，故d 错. 故选： bc. 【点睛】方法点睛：抛物线定义的两种应用：（1）实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦

15、点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线的定义可实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题；（2）解决最值问题， 在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题. 12. 已知函数yfx在r上可导且01f，其导函数fx满足(1)( )( )0 xfxf x，对于函数( )( )xf xg xe，下列结论正确的是（）a. 函数g x在, 1上为增函数b. 1x是函数g x的极小值点c. 函数g x必有 2 个零点d. 2( )(2)ee f ee f【答案】 bd 【解析】【分析】对函数( )g x求导，求出单调区间和极值，可判断选项

16、a，b；根据极小值的大小可得函数的零点个数，判断选项 c；利用( )g x在1,上为增函数，比较2g与g e的大小关系，判断出选项d【详解】函数( )( )xf xg xe，则xfxfxgxe，当1x时，0fxfx，故( )g x在1,上为增函数，a 错误；当1x时，0fxfx，故( )g x在, 1单调递减，故1x是函数g(x)的极小值点， b 正确；若10g，则( )yg x有两个零点，若10g，则( )yg x有一个零点，若10g，则( )yg x没有零点，故c 错误；( )g x在1,上为增函数，则2gg e，即22effeee，化简得2( )(2)ee f ee f， d 正确；故选

17、： bd 【点睛】本题考查导数在单调性中的应用，考查函数的极值，考查函数的零点问题，考查利用单调性比较大小，属于中档题三、填空题（本大题共4 小题，共 20.0分）13. 已知函数22xxfx，则不等式2110fxf （）的解集是 _【答案】1，【解析】【分析】易得函数fx为奇函数，再由导数法得到函数在r 上为增函数，然后将2110fxf （）转化为211fxf求解 . 【详解】根据题意，函数22xxfx，因为2222xxxxfxfx，所以函数fx为奇函数，又因为22222220 xxxxfxlnlnln，所以函数fx在 r 上为增函数；因为2110fxf （），所以211fxf （），即21

18、1fxf，所以211x，解得1x；所以不等式的解集为1 ，故答案为：1，14. 在直角三角形abc 中，90c，4ab，2ac，若32adab，则cd cb_【答案】 18 【解析】【分析】在直角三角形abc 中，由已知条件可得1cos2accabab，将,ab ac作为基底，表示,cd cb，然后利用数量积的运算律求解即可【详解】解：在直角三角形abc 中，90c，4ab，2ac1cos2accabab若32adabcd cbadacabac，则2223322ad abad acac abacabab acac abac3511642418222，故答案为： 18 15. 若7,cos 22

19、5,2，则sin3sin2_. 【答案】34【解析】【分析】由7,cos 225,2得2271tan251tan，进而得3tan4，再根据诱导公式化简求解即可 . 【详解】解：因为2222227cossin1tan,cos2225cossin1tan，整理可得29tan16，可得3tan4，则sin3tancsin3sin42os故答案为：3416. 红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的病毒感染风险，为防控新冠肺炎，某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布2(0.1,0.3 )n，从已经生产出的测温门中随机取出一件，则其测量体温误差在区间(0.4,0

20、.7)内的概率为 _. （附： 若随机变量服从正态分布2( ,)n，则()68.27%,(22 )95.45%pp）【答案】 13.59%【解析】【分 析 】 由 题 意 可 知0.1,0.3， 结 合 题 意 得 出( 0.20.4)68.27%p，( 0.50.7)95.45%p，再由( 0.50.7)( 0.20.4)0.40.72ppp，即可得出答案 . 【详解】由红外线自动测温门测量体温误差服从正态分布20.1,0.3n，得0.1，0.3测量体温误差在区间0.4,0.7内的概率为：1(0.40.7)(2 )(22)()13.59%2pppp故答案为： 13.59% 四、解答题（本大题

21、共6 小题，共 72.0分）17. 设各项都是正整数的无穷数列na满足：对任意*nn，有1nnaa 记nnaba（1）若数列na是首项11a，公比2q的等比数列，求数列nb的通项公式；（2）若3nbn，证明：12a；（3）若数列na的首项11a，1nnaca，nc是公差为1的等差数列记2nnnda，121nnnsdddd，问：使1250nnsn成立的最小正整数n 是否存在？并说明理由【答案】（ 1）1212nnb； （ 2）证明见解析； （3）存在； 5【解析】【分析】（ 1）根据题意求出等比数列na的通项公式即可解出；（2）根据反证法，排除11a和13a，即可证得12a；（3） 先根据利用夹

22、逼原理可证11nnaa， 从而求得数列na的通项公式， 再根据错位相减法可求出ns，即可求解出使1250nnsn成立的最小正整数n【详解】（ 1）数列na是首项11a，公比2q的等比数列，12nna，111abaa，112122nnnnabaa；（2）根据反证法排除11a和13a证明：假设12a，11a和13a当11a时，1111abaa与13b矛盾，11a；当13a时，即1113aaba，又1nnaa，11a与13a矛盾；由可知12a（3）首先na是公差为1 的等差数列，证明如下：1nnaa，2n时，1nnaa，11nnaa，()nmaanmmn，111111nnaannaaaa即11nnn

23、nccaa，即11nnaa，又11nnaa，11nnaa，即na是等差数列又na的首项11a，nan，2322 23 22nnsn，对此式两边乘以2，得2341222 23 22nnsn，两式相减得231111122222222222nnnnnnnnsnnsn，1250nnsn，即1252n，当5n时，126452n，即存在最小正整数5 使得1250nnsn成立【点睛】本题第二问解题关键是反证法的应用，第三问主要是利用数列na的单调性累加，再由夹逼原理证得数列na为等差数列，从而根据错位相减法求出ns，解出本问，此问思考难度较大，较好地考查了学生综合运用知识的能力18. 在abc中，a，b，c

24、分别为角a，b，c对边，且abc同时满足下列四个条件中的三个：2222 33acbac；21cos22sin2aa；3a； 2b. （1）满足abc有解的序号组合有哪些？（2）在（ 1）的组合中任选一组，求abc的面积 . 【答案】（1） 或 ； （2）答案不唯一，具体见解析. 【解析】【分析】（ 1）利用余弦定理由条件得3cos3b，由条件 得3a，由于233ab，与ab矛盾，所以abc不能同时满足 ，经验证 作为条件和 作为条件，abc都有解，（2） 若选择组合 ， 由cos b计算出sin b， 再利用三角形面积公式即可求出结果，若选择组合 ，因为2b，利用勾股定理求出c的值，再利用三角

25、形面积公式即可求出结果【详解】（1）由条件 得2222 313cos2323acbbacacac，由条件 得212cos11cosaa，即22coscos10aa，解得1cos2a或cos1a（舍），因为(0, )a，所以3a. 因为312coscos323b，(0, )b，而cosyx在(0, )单减，所以23b. 于是233ab，与ab矛盾 . 所以abc不能同时满足 .当 作为条件时：有2222cosbacacb，即221cc，解得21c. 所以abc有解 . 当 作为条件时：有sinsinabab，即32sin32b.解得sin1b. 因为(0, )b，所以2b，abc为直角三角形，所

26、以abc有解 . 综上所述，满足有解三角形的所有组合为： 或.（2）若选择组合 ：因为(0, )b，所以2236sin1 cos133bb. 所以abc的面积11622sin3(21)2232sacb. 若选择组合 ：因为2b，所以222( 3)1c所以abc的面积131322s. 【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的运用，考查了考生的计算能力和解决问题的能力，属于中档题19. 在一段时间内，分5 次测得某种商品的价格x( 万元 ) 和需求量y(t) 之间的一组数据为：1 2 3 4 5 价格x1.4 1.6 1.8 2 2.2 需求量y12 10 7 5 3 已知55211

27、62,16.6iiiiix yx. (1) 求出y对x的线性回归方程；(2) 如价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？( 精确到 0.01 t)参考公式：1221?niiiniix ynx yxnxbaybx，. 【答案】 (1)28.111.5yx (2)6.25t【解析】【分析】 (1)本题首先可以计算出x与y的平均值，然后通过线性回归方程中的a以及b的计算方法即可计算出a以及b的值，最后得出结果；(2)将1.9代入线性回归方程中即可得出结果【详解】 (1) 因为1591.8x，15377.4y，5162iiix y，52116.6iix，所以515221525625 1.87.411

28、.516.651.8iiiiix yx yxxb，7.4 11.5 1.828.1aybx故y对x的线性回归方程为28.111.5yx(2)28.1 11.5 1.96.25y(t) 【点睛】 本题考查线性回归方程的相关性质，主要考查线性回归方程的求法，能否正确的求出a以及b的值是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题20. 如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd 是边长为2的正方形，90bapbcp（1）证明：pd平面abcd；（2）若直线bd 与平面 pbc 所成的角为30，求二面角dpbc的大小【答案】（ 1）证明见解析； （2）60【解析】【分析】（ 1）先证明bcpd，bapd利用

29、线面垂直的判定定理证明pd平面abcd（2）以 d 为坐标原点，射线da、dc、dp 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，用向量法求二面角dpbc的余弦值，直接得到二面角的大小【详解】解： （1）因为四边形abcd 是边长为2的正方形，得bccd又90bcp，即bccp，又cdcpc，cd平面 pcd，cp平面 pcd，所以bc平面 pcd ，又pd平面 pcd，所以bcpd同理，bapd又babcb，ba平面 abcd ，bc平面 abcd，所以pd平面abcd（2）以 d 为坐标原点，射线da、dc、dp 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正

30、半轴，建立如图所示的空间直角坐标系dxyz设(0)dpa a，则2,0,02,2,00,2,02,0,00,0,abcapa，2 0 0bc， ，02cpa， ，设平面 pbc 的一个法向量为1111nxyz， ，由1100nbcncp得1112020 xyaz不妨令12z，得102na， ，而2 2 0db，所以1sin30|cos,|n db2|2 |12|2 24ndbandba解得2a设平面 pbd 的一个法向量为2222nxyz， ，0 0 2dp， ，由2200ndpndb，得22222020 xyz，令21x，得211 0n， ，所以12121221cos22 22n nn nn

31、 n，易知二面角dpbc为锐角，故二面角dpbc的大小为6021. 已知椭圆222210 xygabab： 的离心率为32，经过点b（0， 1） 设椭圆 g的右顶点为a，过原点 o的直线 l 与椭圆 g交于 p，q两点（点q在第一象限），且与线段ab交于点 m （）求椭圆g的标准方程；（）是否存在直线l ，使得 bop的面积是 bmq的面积的3 倍？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由【答案】（）2214xy； （）见解析【解析】【分析】（）根据离心率为32的椭圆过点(0,1)，结合222abc，列出a、b、c的方程，即可得到椭圆的标准方程；（）设00q xy（， ），则00pxy（，），经分析可知要使bop的面积是bmq的 3 倍，等价于3oqmq，由此