山西省忻州市第一中学2019-2020学年高二上学期期末数学(理)试题(解析版)

1、高二理科数学（类）试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 .3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题 5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1.在abc中， “tan1a” 是“45a” 的（）a. 充分不必要条件b. 必要不充分条件c. 充分必要条件d. 既不充分也不必要条件【答案】 c 【解析

2、】【分析】根据三角函数表，在三角形中，当tan1a时，45a即可求解【详解】在三角形中，tan145aa，故在三角形中，“tan1a” 是“45a”的充分必要条件故选： c 【点睛】本题考查充要条件的判断，属于基础题2.已知抛物线2:8cyx上的点p到焦点的距离为6，则p到y轴的距离是（）a. 2b. 4c. 6d. 8【答案】 b 【解析】【分析】结合抛物线第一定义即可求解【详解】如图：由2822pyx，根据抛物线第一定义，66624pfphpgghpggh，则p到y轴的距离是4 故选： b 【点睛】本题考查抛物线定义的运用，属于基础题3.过点(1,2)，并且在两轴上的截距相等的直线方程是（

3、）a. 20 xy或30 xyb. 30 xyc. 20 xy或30 xyd. 30 xy【答案】 c 【解析】【分析】需要进行分类讨论，分为直线过原点和不过原点两种情况进行求解【详解】当直线过原点时，设ykx ，将(1,2)点代入可得2k，则直线方程为：20 xy；当直线不过原点时，可设直线方程为1xyaa， 将(1,2)点代入可得3a，则直线方程为：30 xy；综上所述，直线方程为：20 xy或30 xy故选： c 【点睛】本题考查由截距相等求直线方程，不要忽略直线过原点的情况，属于基础题4.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）a. 4 23b. 4 33c. 4 2d.

4、4 3【答案】 b 【解析】【分析】由题可知该几何体应为正四棱锥，底面为正方形，高为3，结合锥体体积公式求解即可【详解】如图，该几何体为正四棱锥，底面积为224s底，高3h，则四棱锥的体积为：114 343333vsh底故选： b 【点睛】本题考查由三视图还原几何体，锥体体积公式的应用，属于基础题5.圆22:4440cxyxy关于直线20 xy对称的圆的方程是（）a. 224xyb. 22(2)(2)4xyc. 22(2)4xyd. 22(2)4xy【答案】 a 【解析】【分析】先将圆用配方法写成标准式，求出圆心，再求出圆心关于直线的对称点，根据半径相等即可求解【详解】2222:4440:22

5、4cxyxycxy，故圆心坐标为2,2c，半径为2，设 圆 心c关 于 直 线 对 称 的 点 为,cx y， 则 有212222022yxxy， 解 得0 xy， 则 圆22:4440cxyxy关于直线20 xy对称的圆的方程是224xy故选： a 【点睛】本题考查点关于直线的对称点的求法，由圆心和半径求圆的标准方程，属于基础题6.已知椭圆221169xy与双曲线2214xym有相同的焦点，则m（）a. 3b. 1c. 1d. 3【答案】 a 【解析】【分析】可通过椭圆标准方程求得27c，结合双曲线中222cab即可求解【详解】由题知，椭圆的21697c， 又在双曲线中，222473cabm

6、m（需注意0m）故选： a 【点睛】本题考查由椭圆和双曲线共焦点求参数值，属于基础题7.在空间直角坐标系oxyz中，若(0,0,0),(0,2,0),(2,0,0),(2,2,23)oabc，则异面直线ac与ob所成角的大小为（）a. 30b. 45c. 60d. 90【答案】 c 【解析】【分析】直接采用空间向量的夹角公式求解【详解】由题知：设两直线夹角为，2,0, 2 3 ,2,0,0acobu uu ruu u r，则41cos422ac obacobu uu r uu u ruuu ruu u r，3故选： c 【点睛】本题考查异面直线夹角的向量求法，属于基础题8.在空间中， 四个两两

7、不同的平面, ,，满足,，则下列结论一定正确的是（）a. b. / /c. 与既不垂直也不平行d. 与位置关系不确定【答案】 d 【解析】【分析】可借助条件判断与可能平行也可能相交，而，则与的位置关系不确定【详解】 若，四个两两不同的平面, ,，满足,，则与可能平行也可能相交，q，与的位置关系不能确定故选： d 【点睛】本题考查面与面位置关系的判定，空间的直观想象能力，属于中档题9.从椭圆22221(0)xyabab上一点 p 向 x轴作垂线，垂足恰为左焦点1f，a 是椭圆与x轴正半轴的交点， b 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且/ /(abop o是坐标原点)，则该椭圆的离心率是()a. 2

8、4b. 12c. 22d. 32【答案】 c 【解析】【分析】依题意，可求得点p坐标2bpc,a，由abopab / /opkkbc，从而可得答案【详解】依题意，设00pc,y(y0)，的则22022y( c)1ab，20bya，2bpc,a，又a a,0，b 0,b，ab/ /op，abopkk，即22bbbaacac，bc设该椭圆的离心率为e，则22222222ccc1eabc2c2，椭圆的离心率2e2故选 c【点睛】 本题考查椭圆的简单性质，求得点 p的坐标2bc,a是关键， 考查分析与运算能力，属于中档题10. 已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点1f，2f在x轴上，中心在原点，点a的

9、坐标为(2,2 3)，p为双曲线右支上一动点，则1|pfpa的最小值为（）a. 2 22b. 2 24c. 4 22d. 4 24【答案】 d 【解析】【分析】先画出图像，再结合双曲线第一定义122pfpfa，三角形三边关系22papfaf，当点p为2af与双曲线的交点时，1|pfpa取到最小值【详解】如图，由双曲线第一定义得122pfpfa，又由三角形三边关系可得22papfaf（当点p为2af与双曲线的交点时取到等号）， + 得：12| 2pfpaaaf，故12min|2pfpaaaf，由双曲线为等轴双曲线，且焦距为8 可得，228ab， 则22216cab，22,4ac，24,0f，22

10、222 34af则12min|24 24pfpaaaf故选： d 【点睛】本题考查利用双曲线第一定义求解到两定点之间距离问题，数形结合与转化思想，属于中档题11. 在三棱锥pabc中，2,90 ,acabbacpc平面,1abc pc，则该三棱锥外接球的体积为（）a. 36b. 12c. 8d. 92【答案】 d 【解析】【分析】画出图形，将几何体补全为长方体，则将问题转化为求对应长方体外接球体积问题，结合体积公式即可求解【详解】如图所示，三棱锥实际上为长方体上四点组合而成，则外接球半径为22221322r，则该三棱锥外接球的体积为3442793382vr故选： d 【点睛】本题考查锥体外接球

11、体积算法，对于这类问题，我们都可考虑把锥体还原成对应的长方体或圆柱体，再求对应的外接球半径，这样会简化求解难度，属于中档题12. 已知椭圆22:154xyc的焦点为1f，2f，过1f的直线l与c交于,a b两点 .若1122,| |aff b abbfu uu ruuu ruuu ruuur，则l的方程为（）a. 220 xyb. 220 xy或220 xyc. 220 xyd. 220 xy或220 xy【答案】 b 【解析】【分析】先做出图形，由1122,| |aff b abbfuu uru uu ruu u ru uu r再结合椭圆第一定义，可得出四条线段的比例关系，判断出点a过椭圆的

12、上顶点，根据斜率定义得到bkc，再考虑图形的对称性，即可求解【详解】如图，不妨设1bfx，由1122,| |aff babbfu uu ru uu ruuu ruuur，可得122 ,3afx bfx，由椭圆第一定义可得211222bfbfafafafx，可判断点a过椭圆的上顶点，则121aboabkofc，则直线l的方程为2122yxx，再由椭圆对称性可知，当2k时，经过椭圆的右焦点，则直线l的方程为2122yxx综上所述，直线方程为：220 xy或220 xy故选： b 【点睛】本题考查椭圆基本性质的应用，数形结合思想，属于中档题二、填空题：本题共4 小题，每小题 5分，共 20分.13.

13、 命题 “2000,10 xr xx” 的否定是 _.【答案】2,10 xr xx【解析】【分析】存在改全称，再否定结论即可【详解】命题 “2000,10 xr xx” 的否定是“2,10 xr xx”故答案为：2,10 xr xx【点睛】本题考查存在命题的否定，属于基础题14. 已知平行于x轴的直线l交抛物线24xy于,a b两点，且| 8ab，则l的方程为 _.【答案】4y【解析】【分析】先画出图像，由| 8ab可求出b点横坐标，代入抛物线方程可求得by，即可求解直线l的方程【详解】如图，| 84babx，将4bx代入24xy得4by，则直线l的方程为4y故答案：4y【点睛】本题考查由直线

14、与抛物线的位置关系求抛物线上的点，属于基础题15. 已知双曲线2222:1(0,0)xycabab的左、右焦点分别为12,ff，以12f f为直径的圆与c的渐近线在第一象限内交于点p，若12pfb，则c的渐近线方程为_.【答案】3yx【解析】【分析】画出图形，可先求出焦点到渐近线距离2nfb，再作12pqf f，由由等面积法可得pqb，结合1pf q可推出60poq，则可求出直线斜率opk，进而求解【详解】如图，作12pqf f，双曲线焦点2,0fc，设双曲线一条渐近线方程为byxa，则点2f到渐近线距离2bcnfbc，2opf为等腰三角形，故腰上的高也相等，故pqb，则111302pqpfq

15、pf，又1260poqpfq，故3opk，则双曲线的渐近线为3yx故答案为：3yx【点睛】本题考查双曲线的几何性质，双曲线的焦点到渐近线的距离为b可作为常用结论，结合几何关系求解渐近线对应斜率是解题的关键，属于中档题16.知正方体1111abcda b c d的棱长为2，,e f分别是,ab bc的中点， 过点1,d e f的截面将正方体分割成两部分，则较大部分几何体的体积为_.【答案】479【解析】【分析】先画出图形，需采用补形法延长ef，分别交,da dc延长线于,n m点，则一部分几何体可通过求四棱锥1dmndv，再减去两小三棱锥体积的方法求得【 详 解 】 如 图 ， 由,e f分 别

16、 是,ab bc的 中 点 ， 四 边 形abcd时 正 方 形 可 得3dmdn， 则1113 32=332dmndv，又在1mdd中，1112333mcpcpcmddd，则小四棱锥11211 13239p cfmv，则一部分被切几何体体积为11253299v，正方体体积为：8，则另一部分几何体体积为：2547899故较大部分几何体体积为：479故答案为：479【点睛】本题考查截面问题中几何体体积的计算问题，补形法是解题的关键，属于难题三、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知:p函数2( )lg24f xxax的定义域为r，2:0,1,1q

17、xax,，若, p q有且只有一个成立，求实数a的取值范围 .【答案】, 21,2au【解析】【分析】分别求出命题,p q中对应参数a的取值范围， 再根据题意若,p q有且只有一个成立， 判断需进行分类讨论，分pqi和pqi进一步求解参数a的范围【详解】:p函数2( )lg24f xxax的定义域为r241602,2aa；2:0,1,11qxa xa,，当p成立q不成立时，q对应的1,a，故pqi对应的1,2a；当p不成立q成立时，p对应的, 22,au，故pqi对应的, 2a；综上所述，, 21,2au【点睛】本题考查逻辑用语中命题的等价形式的转化，命题的否定，由命题的交集求参数的范围，属于

18、中档题18. 已知圆c的圆心在直线320 xy上，c经过点( 2,0)a，且与直线4380 xy相切 .（1）求c的标准方程；（2）直线:230lxy与c相交于,m n两点，求cmn的面积 .【答案】（1）222325xy（2） 10 【解析】【分析】（1）不妨设圆心为,c a b，半径为r，结合待定系数法和点到直线距离公式即可求解；（2）由圆心到直线距离公式求得弦心距d，再由几何性质和勾股定理求得弦长，利用12smnd即可求解【详解】（1）设圆心为,c a b，半径为r，则圆的标准方程为;222xaybr,由题可得22233202485aababrrb，解得235abr，则圆c的标准方程为2

19、22325xy；（2）如图，可求出圆心到直线:230lxy的距离2233055d，则半弦长222552 52lrd，4 5l，114 551022cmnsmnd【点睛】本题考查待定系数法求圆的标准方程，由圆的几何性质求弦长，属于中档题19. 如图，把正方形纸片abcd沿对角线ac折成直二面角，点,e f分别为,ad bc的中点，点o是原正方形abcd的中心 .（1）求证：/ /ab平面eof；（2）求直线cd与平面dof所成角的大小 .【答案】（1）证明见详解（2） 30【解析】【分析】（1）由 of 是abc中位线，易证abof，进而得证；（2）结合线面角的定义先求证,cfof cfod，进

20、而得到cdf为cd与平面dof所成角， 结合几何关系求解即可【详解】 （1） 由,o f为,ac bc中点可知， 线段 of 为abc中位线，则ofabp， 又ofq平面eof，ab平面eof，/ /ab平面eof；（2）由（ 1）可得ofabp，90cfo，cfof，又qdacb为直二面角，o为ac中点，doac，do底面abc，又cfq平面abc，docf，dooffi，cf平面dof，cfdf， 故cdf为cd与平面dof所成角，设正方形边长为2，则1cf，2cd，1sin2cfcdfcd，故30cdf【点睛】本题考查线面垂直证明，线面角的求法，属于中档题20. 在平面直角坐标系中，直线

21、l的方程为2y，过点(0,2)a且与直线l相切的动圆圆心为点p，记点p的轨迹为曲线e.（1）求e的方程；（2）若直线yxb与e相交于,b c两点，与x轴的交点为m.若4mcmbuuu u ruuu r，求|bc.【答案】（1）28xy（2）242【解析】【分析】（1）结合抛物线第一定义即可求解；（2）需要将问题转化，设,b c的中点为00,d xy，结合4mcmbuu u u ruuur可得532mdbc，联立直线yxb和抛物线方程28xy，表示出对应的bc 弦长，由点到点距离公式求得md长度，解方程即可解得b，进而求解弦长bc【详解】（1）由题可知，圆心轨迹p到定点(0, 2)a的距离等于到

22、定直线的距离2y，故点p的轨迹为抛物线，抛物线焦点为(0, 2)a，则e的方程为28xy；（2）由4mcmbu uu u ruuu r可知，线段3bcbm，设,b c的中点为00,d xy，则532mdbc，联立212212888808xxxyxxbxxbyxb，则12042xxx，将0 x代入直线yxb得4,4db，直线与x轴交点为：,0b，则24mdb，由弦长公式可得2212121482bckxxx xb，又532mdbc，联立化简可得291282560bb，解得16b（负值舍去） ，则816224 2bc【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法，由直线与抛物线相交的线段比例关系求解参数，韦达

23、定理与弦长公式的应用，计算能力与转化能力，数形结合思想，属于难题21. 已知四棱锥pabcd的底面是边长为1 的正方形， 侧棱pc底面abcd，且2,pce是侧棱pc上的动点 .（1）求证：bdae；（2）若点e为pc的中点，求平面pda与平面eab所成二面角的正弦值.【答案】（1）证明见详解（2）3 1010【解析】【分析】（1）连接ac，利用正方形性质证明acbd，结合，侧棱pc底面abcd可证pcbd，通过线面垂直可证；（2）采用建系法，以cd为x轴，cb为y轴，cp为 z轴，建立空间直角坐标系，通过求两平面夹角的余弦值进而求解；【详解】 （1）q底面abcd为正方形，bdac，又q侧棱

24、pc底面abcd，bd平面abcd，pcbd，pcacci，bd平面pac，又ae平面pac，bdae；（2）以cd为x轴，cb为y轴，cp为 z轴，建立空间直角坐标系，则1,0,0 ,0,1,0 ,db0,0,2 ,0,0,1 ,1,1,0pea，0,1,0 ,1,0,2 ,1,0,0 ,1, 1,1dadpabaeu uu ruuu ruu u ruu u r设平面pda的法向量为1111,nx y zu r，则有111020yxz，令12x111201xyz，则12,0,1nu r；设平面eab的法向量为2222,nxyzu u r，则有22200 xyz，令21y222011xyz，则20,1 ,1nu u r；121212110cos,1052nnn nnnu r u u ru r uu ru ru u r，则123 10sin,10n nu r uu r【点睛】本题考查线面垂直的证明，建系法求二面角夹角问题，属于中档题22. 已知椭圆的焦点坐标是12( 1,0),(1,0)ff， 过点1f且垂直于长轴的直线交椭圆于,p q两点，且|3pq.（1）求椭圆的标准方程；（2） 过点2f