向量在立体几何中的几点应用

1、    向量在立体几何中的几点应用    郑丽艳立体几何题是高考必考内容之一，纵观几年来的高考真题，我们可以发现绝大部分的立体几何题都可以利用几何法和向量法求解。但是当我们采用几何法解题时，常常需要作出一些辅助线，这些辅助线的成功作出要求学生具有较强的空间想象力，对有的学生来说这比较困难。而当我们采用向量法解题时，不再需要作辅助线，只需套用向量计算公式即可。因此，向量法深受学生喜爱。笔者具有多年数学教学经验，对向量法解题有一定的研究。立体几何题型大致有以下几种：求距离、求角和证明。以向量法为解题方式，就如何解决立体几何题做出以下介绍，希望能够对有关人士有

2、所帮助。一、向量法在求距离中的应用求距离的问题在立体几何题型中是最常出现的，有些距离问题我们通过线段平移、等效替换和几何法可以轻松解决。但是有些题目比较复杂，作出辅助线比较困难，学生根本无从下手，这就到了向量法大显身手的时候了。求距离的题目类型较多，在此以向量法为手段，进行简单介绍。在课堂上，老师要注意让学生明白向量法的使用原理，让他们能够轻松自如地应用向量法。1.求两点之间的距离用向量法求两点之间的距离。在根据已知条件作好坐标系的情况下，求出所求两点的向量坐标，然后再求出两向量的模，则模就是两点之间的距离。这是最简单的类型，老师只要让学生明白求距离的原理，那么下面的各种题型就会迎刃而解。2.

3、 求点到直线之间的距离如图1所示：p为直线a外一点，q为a上任意一点，poa于点o，所以点p到直线a的距离为 |po|=d。根据向量法，求出p、q两点的向量坐标，在三角形poq内利用pqo求出d的大小。这样的题目也要让学生明白求解原理，只有懂了原理学生才能够主动地应用这种解题套路。3. 求点到平面的距离如图2所示：设a为平面外一点，ab是平面的一条斜线，交平面于点b，而向量n是平面的法向量，那么向量ab在向量n上的投影就是点a到平面的距离d。从而将问题转化为点到直线的距离，那么求解方法就比较简单了。老师在课堂上授课的时候，可以将这种方法反复讲解。因为在课改以前的解题方式只有几何法，老师教得多了

4、，学生应用的频率自然就高了。4. 求直线与它平行的平面及求两个平行的平面之间的距离这样的求距离的题目看似很难，是因为学生的思维模式基本定在几何的方向上，他们画出辅助线，却不能够找到相关线段的长度，致使最后解题无从下手。其实只要换个思路，改用向量法求解，题目就可以转化成求点到直线的距离。这样，题目就会变得十分简单。虽然求距离的题型较多，但是其求解方法是万变不离其宗的。我们只要抓住关键，那么求解任何问题都是很容易。在此，可以总结一下，一定要根据所求题目，作出合理合适的平面直角坐标系，然后求出各点的向量坐标，再利用所学的理论知识，套用公式，最后解出题目。二、向量法在求角中的应用在立体几何题型中，第一

5、个部分不是求距离就是求角度。所以老师在授课时，一定要抓住这个重点。让学生在高考中轻松地拿下立体几何的第一部分的分数。同样的道理，距离的求解使用向量法会变得有规律可循，其实在求角度的问题，我们同样可以使用向量法。老师通过讲解使学生明白求解原理，形成一种解题套路，最后拿下立体几何第一部分。在求角度的问题中也包括很多类型，如求两条异面直线形成的角、直线与平面所形成的角及二面角等。虽然题型很多，但是求解原理却是一样的。在新课标的要求下，我们要追随新理念，摒弃旧思维，坚持向学生灌输向量法解题的妙处，努力构建学生的另一种解题模式。下面以一道例题为例，讲解向量法在求角度中的应用。已知正四棱锥s-abcd的侧

6、棱长与底面边长都相等，e是sb的中点，如图3所示。求异面直线ae，sd所成的角。其实这道题目并不是很难，利用几何法可以轻松地解决。因为这道题的辅助线作法十分简单，一眼就可以看出来。再利用三角形内长度与角度的关系，就能够解出此题。但是我们不能仅仅让学生明白这种做法，因为立体几何题第一部分求角度或者距离比较简单，但是第二部分证明会比较困难。我们要在一开始就引导学生使用向量法，这样证明题也会变得简单。此题，我们先选择合适的平面直角坐标系，如图4所示。这样，有了坐标系以后，只要求出a，e，s，d四点的向量坐标，再代入求异面直线所成角的公式中就能够解决此题了。关键就是正确作出坐标系，求出个点的坐标。这个

7、准备工作做好了，解题就不是问题了。三、向量法在证明中的应用证明题是立体几何题中最难的部分，通常是出现在一道题的第二部分。上面所说的求距离、求角度基本都会出现在第一部分。通过以上讲述，在明白第一部分以后，我们接下来讨论第二部分。学过几何的同学都明白，证明题才是几何的难点与重点。在高考中，学生能否拿到高成绩与学生能否解决立体几何题第二部分有很大的关系。作为数学老师，我之所以强调学生多多采用向量法解决立体几何题就与此有关，因为向量法将难题转化成一种容易的解题模式，对于每个学生都适用。下面以一道例题为证：在正四棱锥s-abcd中，底面abcd为正方形，侧棱sd平面abcd，e、f分别为ab、sc的中点

8、，如图5所示，证明：ef/平面sad。这是一道简单的证明题，求证的是平行的关系。在几何法中，证明平行关系要画出辅助线，与平面sad垂直，再证明辅助线与ef垂直即可。这种解题思路估计每一位同学都是会的，我们要使用向量法解题，开拓学生思维方式，为将来面对高考打下坚实的基础。在图5中，已画出简单的平面直角坐标系。去sd中点为g，求出点s、b、c、e、f、g的向量坐标，再证明向量ef与向量ag是共线向量，就可以证明ef/平面sad。其实，在我看来，还是向量法比较简单。虽然每道题的求解思路是一样的，但是它的求解过程是简单的。不像几何法，它需要学生进行复杂思考，准确地画出辅助线，再通过各种转化与变换证明所求。这对有的学生来说比较复杂，不如向量法大众化，每一位同学都可以轻松驾驭