2021年江西省抚州市临川一中暨临川一中实验学校高考数学三模试卷(理科)(解析版)

1、2021 年江西省抚州市临川一中暨临川一中实验学校高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共12 小题，每小题5 分，共 60 分） .1已知集合m x|3x24x40，ny|y1|1，则 mn（）a0，2）b（，0）c1，2d?2已知 i 是虚数单位，复数z2i，则 z?（1+2i）的共轭复数为（）a2+ib4+3ic43id 43i3若 a30.3，b ln2，则（）aabcbbaccca bdbc a4已知平面向量（ 1，2），（ k，1），且，则在上的投影为（）ab2cd152021 年某地电视台春晚的戏曲节目，准备了经典京剧、豫剧、越剧、粤剧、黄梅戏、评剧 6 个剧种的各一个片段对这6

2、个剧种的演出顺序有如下要求：京剧必须排在前三，且越剧、粤剧必须排在一起，则该戏曲节目演出顺序共有（）种a120b156c188d2406某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图的面积为（）abcd7设变量x，y 满足约束条件，则目标函数z2x+y 的最大值为（）a7b8c15d168勾股定理是一个基本的几何定理，中国周髀算经记载了勾股定理的公式与证明相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理我国古代称短直角边为“勾”，长直角边为“股”，斜边为“弦”西方文献中一直把勾股定理称作毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯学派研究了勾为奇数、弦与股长相差为1 的勾股数：如3，4， 5；5，12，13； 7，24

3、，25；9，40，41；，如设勾为2n+1（n1，2， 3，4，5，），则弦为（）a2n22n+1b4n2+1c2n2+2nd2n2+2n+19在 abc 中， b120， ab，a 的角平分线ad，则 ac（）a2bcd10已知函数f（x） sin2+sinx（0），x r，若 f（x）在区间（ ，2 ）内没有零点，则的取值范围是（）a（ 0，b（ 0，1）c（ 0，d（ 0，11定义在r 上的偶函数f（x）满足f（x1） f（x+1），且当x 1，0时， f（x）x2，函数 g（x）是定义在r 上的奇函数，当x0 时， g（x）lgx，则函数 h（ x）f（ x）g（x）的零点的个数是（）

4、a9b10c11d1212已知函数，若关于 x 的不等式在 r 上恒成立，则实数a 的取值范围是（）abcd二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分13记 sn为等比数列 an的前 n 项和若a11，则 s514 二 项 式 （ ax ）3的 展 开 式 的 第 二 项 的 系 数 为 ， 则x2dx 的 值为15已知双曲线的右焦点为f，点 p 在双曲线c 上，若 |pf|5a， pfo120，其中 o 为坐标原点， 则双曲线c 的离心率为16已知梯形abcd 中， adbc， abbc，bc4，cd2， ad3，3，以 be为折痕将 abe 折起，使点a 到达点 p 的位置，且

5、平面pbe平面 ebcd，则四棱锥pebcd 外接球的表面积为三、解答题：共70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必须做答第22、23 题为选考题，考生根据要求做答17已知等比数列an满足条件a2+a43（a1+a3），a2n3an2，n n*，数列 bn 满足 b1 1，bnbn12n1（n2，n n*）（1）求数列 an，bn的通项公式；（2）若数列 cn满足，n n*，求 cn的前 n 项和 tn18 2021 年，福建、河北、辽宁、江苏、湖北、湖南、广东、重庆8 省市将迎来“3+1+2”新高考模式“3”指的是：语文、数学、英语，统一高考：“

6、1”指的是：物理和历史，考生从中选一科：“2”指的是：化学、生物、地理和政治，考生从四种中选两种为了迎接新高考， 某中学调查了高一年级1500 名学生的选科倾向，随机抽取了100 人统计选考科目人数如表：选考物理选考历史共计男生4050女生共计30（1）补全 22 列联表；（2）将此样本的频率视为总体的概率，随机调查了本校的3 名学生，设这3 人中选考历史的人数为x，求 x 的分布列及数学期望；（3）根据表中数据判断是否有95%的把握认为“选考物理与性别有关”？请说明理由参考附表：p（k2k）0.1000.0500.025k2.7063.8415.024参考公式： k2，其中 na+b+c+d

7、19已知三棱柱abca1b1c1中，平面acc1a1平面abc，aa1 acca1bc，a1bbc（）求证：bc平面 acc1a1；（）求直线ab1与平面 a1bc 所成角的大小20已知椭圆+1（ab0）的离心率e，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4（1）求椭圆的方程（2）设直线 l 与椭圆相交于不同的两点a，b，已知点 a 的坐标为（ a，0），点 q（ 0，y0）在线段ab 的垂直平分线上，且?4，求 y0的值21已知函数f（x） mex ln（ x+1）+lnm（）若f（x）在 x0 处取到极值，求m 的值及函数f（x）的单调区间；（）若f（x） 1，求 m 的取值范围选考题：共1

8、0 分请考生在第22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4-4：坐标系与参数方程22在极坐标下， 曲线 c1的方程是 ?cos 30，曲线 c2的参数方程是（为参数），点p 是曲线 c2上的动点（1）求点 p 到曲线 c1的距离的最大值；（2）若曲线交曲线 c2于 a、b 两点，求 abc2的面积选修 4-5：不等式选讲23已知函数f（x） k|x4|，x r，且 f（x+4） 0 的解集为 1，1（1）求 k 的值；（2）若 a，b，c 是正实数，且，求证：参考答案一、选择题（共12 小题，每小题5 分，共 60 分） .1已知集合m x|3x24x40，ny|y1

9、|1，则 mn（）a0，2）b（，0）c1，2d?解：因为集合m x|3x24x40 x|（ x2）（ 3x+2） 0 ，又 n y|y1|1 y|0 y2，由集合交集的定义可知，mn 0，2）故选： a2已知 i 是虚数单位，复数z2i，则 z?（1+2i）的共轭复数为（）a2+ib4+3ic43id 43i解： z2 i，z?（ 1+2i）（ 2i）（ 1+2i） 4+3iz?（ 1+2i）的共轭复数为43i故选： c3若 a30.3，b ln2，则（）aabcbbaccca bdbc a解： a30.3 1，0bln21，abc故选： a4已知平面向量（ 1，2），（ k，1），且，则在

10、上的投影为（）ab2cd1解：， k+20，即 k2（ 1，3），（）? 1+6 5，在上的投影为：故选： a52021 年某地电视台春晚的戏曲节目，准备了经典京剧、豫剧、越剧、粤剧、黄梅戏、评剧 6 个剧种的各一个片段对这6 个剧种的演出顺序有如下要求：京剧必须排在前三，且越剧、粤剧必须排在一起，则该戏曲节目演出顺序共有（）种a120b156c188d240解：根据题意，分3 种情况讨论：京剧排第一个，越剧、粤剧必须排在一起，有4 种情况，此时有4a22a3348 种顺序，京剧排第二个，越剧、粤剧必须排在一起，有3 种情况，此时有3a22a3336 种顺序，京剧排第三个，越剧、粤剧必须排在一

11、起，有3 种情况，此时有3a22a3336 种顺序，则有 48+36+36120 种不同的顺序，故选： a6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图的面积为（）abcd解：由题意可知三视图的侧视图是直角三角形，高为2，底面直角边长为：，所以侧视图的面积为：故选： c7设变量x，y 满足约束条件，则目标函数z2x+y 的最大值为（）a7b8c15d16解：作出变量x，y 满足约束条件可行域如图：由 z2x+y知，所以动直线y 2x+z 的纵截距z 取得最大值时，目标函数取得最大值由得 a（3，2）结合可行域可知当动直线经过点a（3，2）时，目标函数取得最大值z23+28故选： b8勾股定理是

12、一个基本的几何定理，中国周髀算经记载了勾股定理的公式与证明相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理我国古代称短直角边为“勾”，长直角边为“股”，斜边为“弦”西方文献中一直把勾股定理称作毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯学派研究了勾为奇数、弦与股长相差为1 的勾股数：如3，4， 5；5，12，13； 7，24，25；9，40，41；，如设勾为2n+1（n1，2， 3，4，5，），则弦为（）a2n22n+1b4n2+1c2n2+2nd2n2+2n+1解：设斜边（弦）为x，则股为x1，x2（ 2n+1）2+（x 1）2，解答 x2n2+2n+1，故选： d9在 abc 中， b120， ab，a 的角平分

13、线ad，则 ac（）a2bcd解：由题意以及正弦定理可知：， adb 45，a180 120 45，可得a 30，则 c30，三角形abc 是等腰三角形，ac2sin60故选： c10已知函数f（x） sin2+sinx（0），x r，若 f（x）在区间（ ，2 ）内没有零点，则的取值范围是（）a（ 0，b（ 0，1）c（ 0，d（ 0，解 ： 函 数f （ x ） +sin x +sinx，由 f（x） 0，可得0，解得 x?（ ， 2 ），?，f（x）在区间（ ，2 ）内没有零点，故选： d11定义在r 上的偶函数f（x）满足f（x1） f（x+1），且当x 1，0时， f（x）x2，函数

14、 g（x）是定义在r 上的奇函数，当x0 时， g（x）lgx，则函数 h（ x）f（ x）g（x）的零点的个数是（）a9b10c11d12解： f（ x1） f（ x+1），即为 f（x+2） f（x），可得 f（x）为周期为2 的偶函数，且当 x 1，1时， f（ x） x2，画出函数yf（x）的图象；函数 g（x）是定义在r 上的奇函数，当 x0 时， g（x） lgx，可得 x0 时， g（0） 0，x0 时， g（x） lg（ x），作出 yg（x）的图象，由 lg101，f（ x）的最大值1，可得 x0 时， y f（x）和 yg（x）的图象有9 个交点；x0 时， f（0） g（

15、0） 0；x0 时， yf（x）和 yg（x）的图象有1 个交点；综上可得yf（x）和 y g（x）的图象共有11 个交点，即有 h（x） f（x） g（x）的零点的个数是11故选： c12已知函数，若关于 x 的不等式在 r 上恒成立，则实数a 的取值范围是（）abcd解：画出函数f（x）的图象如图所示在 r 上恒成立即函数yf（x）的图象恒在直线的图象的下方，且直线过定点，当直线与yln（x+1）（ x0）相切时，设切点p（x0，ln（x0+1），可得，解得，则直线斜率为，即；当直线与y x2 2x2（x0）相切时，此时由，得，令（ a+2）24a60，得或（舍），所以由图像可知，故选：

16、a二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分13记 sn为等比数列 an的前 n 项和若a11，则 s5121解：设等比数列an 公比为 q，由，则，因为 a11，代入可得q63q5，解得 q3，所以由等比数列的前n 项和公式可得，故答案为： 12114二项式 （ax）3的展开式的第二项的系数为，则x2dx 的值为3 或解：二项式（ax）3的展开式的通项为tr+1（ ax）3r（）r，展开式的第二项的系数为，a31（）1，解得： a 1，当 a 1 时，x2dxx2dx1（ 8），当 a1 时，x2dxx2dx1（ 8）3，x2dx 的值为 3 或故答案为： 3 或15已知双曲线的

17、右焦点为f，点 p 在双曲线c 上，若 |pf|5a， pfo 120，其中o 为坐标原点，则双曲线c 的离心率为解：双曲线的右焦点为f，点 p 在双曲线 c 上，若|pf|5a， pfo 120，可得p 到左焦点的距离为：7a，可得 49a2 4c2+25a220accos120，可得 4e2+10e24 0，e1解得 e故答案为：16已知梯形abcd 中， adbc， abbc，bc4，cd2， ad3，3，以 be为折痕将 abe 折起，使点a 到达点 p 的位置，且平面pbe平面 ebcd，则四棱锥pebcd 外接球的表面积为16解：取 bc 中点 o，过点 p 作 be 的垂线，垂足

18、为f，连接 po，fo，boocodoe2，在原平面图形中，由ae1，be2，得 abe30， ebo60，则 bfpb，即 opobocodoe2，球心在bc 的中点处，得外接球的半径为2，其表面积为s4 2216 故答案为： 16 三、解答题：共70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必须做答第22、23 题为选考题，考生根据要求做答17已知等比数列an满足条件a2+a43（a1+a3），a2n3an2，n n*，数列 bn 满足 b1 1，bnbn12n1（n2，n n*）（1）求数列 an，bn的通项公式；（2）若数列 cn满足，n n*，求

19、 cn的前 n 项和 tn解：（ 1）设 an的通项公式为， n n*，由已知 a2+a43（a1+a3），得 q3，由已知，即，解得 q3a1，a1 1，所以an 的通项公式为因为 b11，bnbn12n1（n2，n n*），累加可得（2）当 n1 时，c11，当 n2 时，由得到，n2，综上，n n*.，由得到，所以18 2021 年，福建、河北、辽宁、江苏、湖北、湖南、广东、重庆8 省市将迎来“3+1+2”新高考模式“3”指的是：语文、数学、英语，统一高考：“1”指的是：物理和历史，考生从中选一科：“2”指的是：化学、生物、地理和政治，考生从四种中选两种为了迎接新高考， 某中学调查了高一

20、年级1500 名学生的选科倾向，随机抽取了100 人统计选考科目人数如表：选考物理选考历史共计男生4050女生共计30（1）补全 22 列联表；（2）将此样本的频率视为总体的概率，随机调查了本校的3 名学生，设这3 人中选考历史的人数为x，求 x 的分布列及数学期望；（3）根据表中数据判断是否有95%的把握认为“选考物理与性别有关”？请说明理由参考附表：p（k2k）0.1000.0500.025k2.7063.8415.024参考公式： k2，其中 na+b+c+d解：（ 1）根据题意补全22 列联表，如下：选考物理选考历史总计男生401050女生302050总计7030100（2）根据题意知

21、，随机变量x 的可能取值为0，1，2，3，且 x 服从二项分布，由题意知，学生选考历史的概率为，且 xb（3，），计算 p（x0）?，p（x1）?，p（x2）?，p（x3）?，所以 x 的分布列为：x0123p数学期望为e（ x） 3（3）由表中数据，计算k2的观测值k4.7623.841，所以有 95%的把握认为“选考物理与性别有关”19已知三棱柱abca1b1c1中，平面acc1a1平面abc，aa1 acca1bc，a1bbc（）求证：bc平面 acc1a1；（）求直线ab1与平面 a1bc 所成角的大小【解答】（）证明：取a1c1中点 m，连接 mc，因为 c1ca1aa1c，所以 m

22、ca1c1，因为 a1c1ac，所以 mcac，、又因为平面acc1a1平面 abc，平面 acc1a1平面 abcac，所以 mc平面 abc，又因为bc? 平面 abc，所以 bcmc，ca1bc，a1bbc，所以a1b2bc2+a1c2，所以 bca1c，cma1cc，所以 bc平面 acc1a1（）解：由（）知bc平面 acc1a1，又因为ca、cm? 平面 acc1a1，所以 bcca，bccm，于是 ca、cb、cm 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设ac2，a（2，0，0）， b（0，2，0）， c（0，0，0）， b1（ 1，2，）， a1（1， 0，），（ 0，2

23、，0），（ 1，0，），（ 3，2，），设平面 a1bc 的法向量为（ x，y，z），令 z 1，（，0， 1），所以直线ab1与平面 a1bc 所成角的正弦值为，故直线 ab1与平面 a1bc 所成角的大小为6020已知椭圆+1（ab0）的离心率e，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4（1）求椭圆的方程（2）设直线 l 与椭圆相交于不同的两点a，b，已知点 a 的坐标为（ a，0），点 q（ 0，y0）在线段ab 的垂直平分线上，且?4，求 y0的值解：（ 1）由 e，得 3a24c2再由 c2a2 b2，解得 a2b由题意可知，即 ab2解方程组得 a2，b1所以椭圆的方程为（2）由（

24、）可知点a 的坐标是（2， 0）设点 b 的坐标为（ x1，y1），直线l 的斜率为k则直线 l 的方程为yk（x+2）于是 a、b 两点的坐标满足方程组消去 y 并整理，得（1+4k2）x2+16k2x+（16k24） 0由，得从而所以设线段 ab 的中点为m，则 m 的坐标为以下分两种情况：当 k0 时，点 b 的坐标是（ 2，0），线段 ab 的垂直平分线为y 轴，于是由，得当 k0 时，线段ab 的垂直平分线方程为令 x0，解得由，整理得 7k22故所以综上，或21已知函数f（x） mex ln（ x+1）+lnm（）若f（x）在 x0 处取到极值，求m 的值及函数f（x）的单调区间；

25、（）若f（x） 1，求 m 的取值范围解：（）函数f（ x）的定义域是（1，+）， f（ x） mex，f（x）在 x0 处取到极值，f（ 0） m 10，解得： m1，m1 时， f（ x） ex，f（ x） ex+0，故 f（ x）在（ 1，+）递增，而f（ 0） 0，故 x0 时， f（ x） 0，x0 时， f（ x） 0，f（x）在（ 1，0）递减，在（ 0，+）递增，故 x0 是 f（x）的极小值点，符合题意；（） f（x） mexln（x+1）+lnmex+lnmln（x+1）+lnm1，?ex+lnm+x+lnmln（x+1）+x+1 ，设 g（x） ex+x，则 g（x+lnm） ex+lnm+x+lnm，g（ ln（ x+1） x+1