2021年江苏省南京师大数学之友高考数学二模试卷

1、第1页（共 22页）2021年江苏省南京师大数学之友高考数学二模试卷一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （ 5 分）已知集合2| (1)4axx，xr ， 2b，1， 0， 1， 2 ，则(ab)a 1，0， 1， 2b 0 ，1， 2c 0 ， 1 d 1， 22 （ 5 分）若复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于y轴对称，且12zi ，则复数12(zz)a1b1c3455id3455i3 （ 5 分）已知命题:pxr ，|0 xx，则p为 ()a0 xr ，00|0 xxb0 xr ，00|0 xxcxr ，|0

2、xxdxr ，| 0 xx4 （ 5 分）水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品如图所示，现有棱长为2cm的正方体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成某饰品，则该饰品的表面积为()（单位：2)cma124 3b164 3c 123 3d 163 35 （5 分）某城市轨道交通7 号线即将试运行，市轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动，市民可以通过市地铁app抢票，小陈抢到三张体验票，准备从小王，小张， 小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王和小李至多一人被选中的概率为()a16b13c23d566 （5 分）直

3、角形 abc 中，2acb，2acbc， 点p是斜边ab上一点，且2bppa，第2页（共 22页）则(cp cacp cb)a4b2c2d47 （ 5 分）已知双曲线2222:1(0,0)xycabab的左焦点为f，a、b为双曲线的左、右顶点，渐近线上的一点p满足 | |opof，且3apb，则双曲线的离心率为()a3b72c213d2 338 （ 5 分）已知，(0,) ，若cos2cosee，则下列结论一定成立的是 ()a sinsinb coscosc sinsind coscos二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5

4、 分，部分选对的得2分，有选错的得0 分9 （ 5 分）已知0a，0b，且221ab，则 ()a2abb1222a bc2212logalogbd221ab10 （5 分）引入平面向量之间的一种新运算“” 如下：对任意的向量1(mx ，1)y，2(nx ，2)y，规定1212mnx xy y ，则对于任意的向量a ， b ， c ，下列说法正确的有()a abbab ()()ababc()()abcabcd | |abab11 （5 分）某港口一天24h 内潮水的高度s（单位：)m 随时间 t（单位： h ， 024)t的变化近似满足关系式5( )3sin()126s tt，则下列说法正确的有

5、()a( )s t 在 0 ， 2 上的平均变化率为3/4mhb相邻两次潮水高度最高的时间间距为24hc当6t时，潮水的高度会达到一天中最低d18 时潮水起落的速度为/8m h12 （5 分）已知数列na满足：11nnnaaa ，11a，设*()nnblnann，数列 nb的前第3页（共 22页）n项和为ns ，则下列选项正确的是()(20.693ln，31.099)lna数列21na单调递增，数列2na单调递减b13nnbblnc2020693sd212nnbb三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分13 （5 分）361(1) (2)xxx的展开式中3x 项的系数是（用数字作

6、答） 14 （5 分）已知椭圆的左顶点为a，右焦点为f，点 p 在直线 x a 上，直线pa 交椭圆于点q，若，则椭圆c的离心率为15 （5 分）托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文： 圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和其意思为： 圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质已知四边形abcd 的四个顶点在同一个圆的圆周上，ac 、bd是其两条对角线，4bd，且acd 为正三角形，

7、则abc 面积的最大值为，四边形 abcd 的面积为 （注:圆内接凸四边形对角互补）16 （5 分）已知函数2( )2f xxax ，2( )4g xa lnxb ，设两曲线( )yf x ，( )yg x 有公共点p，且在p点处的切线相同，当(0,)a时，实数 b 的最大值是四、解答题：本题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （ 10 分 ） 已 知abc 的 内 角a，b， c 的 对 边 分 别 为a， b ，c， 且 满 足222coscossinsinsinbcaab （1）求角 c ；（2）若7c，_（从下列问题中任选一个作答，若选择多个条件分别解答

8、，则按选择的第一个解答计分） abc 面积为 6 3 ，求abc 的周长第4页（共 22页）abc 的周长为21，求abc 的面积18 （12 分）设非常数数列an满足，n n*，其中常数 ，均为非零实数，且 + 0（1）证明：数列 an为等差数列的充要条件是 +2 0；（2） 已知 1， a1 1，求证： 数列与数列中没有相同数值的项19 （12 分）年前某市质监部门根据质量管理考核指标对本地的500 家食品生产企业进行考核，然后通过随机抽样抽取其中的50 家，统计其考核成绩（单位：分），并制成如图频率分布直方图（1）求这 50 家食品生产企业考核成绩的平均数x（同一组中的数据用该组区间的中

9、点值为代表）及中位数a（精确到 0.01)（2）该市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会，并从这 50 家食品生产企业中随机抽取 4 家考核成绩不低于88 分的企业发言，记抽到的企业中考核成绩在92 ， 100 的企业数为x，求x的分布列与数学期望（3）若该市食品生产企业的考核成绩x服从正态分布2( ,)n其中“近似为50 家食品生产企业考核成绩的平均数2,x近似为样本方差，2s ，经计算得227.68s， 利用该正态分布，估计该市500 家食品生产企业质量管理考核成绩高于90.06 分的有多少家？（结果保留整数） 附参考数据与公式：27.685.26 ，2(,)xn则()0.6827px，

10、(22)0.9545px(33 )0.9973px第5页（共 22页）20 （12 分）如图，已知斜三棱柱111abca bc ，90bca，2acbc， ac 的中点为d且1a d面 abc ，13ad（1）求证：11a bac ；（2）在直线1cc 上找一点m，使得直线1a b 与平面11ma b 所成角的正弦值为3 152021 （12 分）已知函数3222( )()3f xxmxm x mr 的导函数( )fx （1）若函数( )( )( )g xf xfx 存在极值，求m的取值范围；（2）设函数( )()()xh xfeflnx （其中e为自然对数的底数） ，对任意 mr ，若关于x

11、的不等式22( )h xmk 在 (0,) 上恒成立，求正整数k 的取值集合22 （12 分）在平面直角坐标系xoy 内，已知抛物线yx2的焦点为f，p 为平面直角坐标系内的点，若抛物线yx2上存在点a，使得 afap，则称 a 为 p 的一个“垂足点” （1）若 p 点有两个“垂足点”为m（1，1）和 n（2，4） ，求 p 点的坐标；（2）是否存在p 点，使得p 点有且仅有三个不同的“垂足点”，且p 点也是双曲线上的点？若存在，求出p 点的坐标；若不存在，说明理由第6页（共 22页）2021年江苏省南京师大数学之友高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，

12、共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （ 5 分）已知集合2| (1)4axx，xr ， 2b，1， 0， 1， 2 ，则(ab)a 1，0， 1， 2b 0 ，1， 2c 0 ， 1 d 1， 2【解答】 解：因为2|(1)4axx，|13xrxx， 2b，1，0，1， 2 ，则0ab,1,2 故选：b2 （ 5 分）若复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于y轴对称，且12zi ，则复数12(zz)a1b1c3455id3455i【解答】 解：12zi ，且1z ，2z 在复平面内对应的点关于y轴对称，22zi ，则122(2)( 2)342( 2)( 2)55

13、ziiiiziii故选： c 3 （ 5 分）已知命题:pxr ，|0 xx，则p为 ()a0 xr ，00|0 xxb0 xr ，00|0 xxcxr ，|0 xxdxr ，| 0 xx【解答】 解：命题p为全称命题，则命题p的否定为0 xr ，00|0 xx，故选：b4 （ 5 分）水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品如图所示，现有棱长为2cm的正方体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成某饰品，则该饰品的表面积为()（单位：2)cm第7页（共 22页）a124 3b164 3c 123 3d 163 3【解答】 解：由图可知，截去的是正方体

14、八个角的三棱锥，留下一个边长为2 的等边三角形截面，其余 6 个面为边长为2 的正方形，所以该饰品的表面积为：2236(2)8(2)124 34，故选：a5 （5 分）某城市轨道交通7 号线即将试运行，市轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动，市民可以通过市地铁app抢票，小陈抢到三张体验票，准备从小王，小张， 小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王和小李至多一人被选中的概率为()a16b13c23d56【解答】 解：小王和小李至多1人被抽中的对立事件为小王和小李都被抽中,设小张和小王至多1 人被抽中为事件a，小张和小王都被抽中事件b，则b包含 1 个基本事件

15、，基本事件总数为246c，15()1()166p ap b故选：d6 （5 分）直角形 abc 中，2acb，2acbc， 点p是斜边ab上一点，且2bppa，则(cp cacp cb)a4b2c2d4【解答】 解：如图，直角三角形abc 中，第8页（共 22页）2acb，2acbc，点p是斜边ab上一点，且2bppa，1121()3333cpcaapcaabcacbcacacb ，21() ()33cp cacp cbcacbcacb2222212122043333cacbca cb，故选：d7 （ 5 分）已知双曲线2222:1(0,0)xycabab的左焦点为f，a、b为双曲线的左、右顶

16、点，渐近线上的一点p满足 | |opof，且3apb，则双曲线的离心率为()a3b72c213d2 33【解答】 解：由题意可得，(,0)aa，( ,0)b a， | |opofc ，设(, )p m n 在渐近线0bxay上，且p在第一象限内， 由2220bmanmnc，解得ma，nb ，即( , )p a b ，所以22|4paab， |pbb ， |2aba ，在pab中，由余弦定理可得22222222222|441cos2| |2244papbababbabapbpapbabbab，可得2243ab ，即2 33ba，所以222113cbeaa故选： c 8 （ 5 分）已知，(0,)

17、 ，若cos2cosee，则下列结论一定成立的第9页（共 22页）是 ()a sinsinb coscosc sinsind coscos【解答】 解：构造函数( )cosxf xex，(0,)x，则( )sin0 xfxex，函数( )f x 在 (0,) 上单调递增，又cos2cosee，即coscoscosee，亦即()()cosff，当,(0,)2时， cos0 ，则()()ff，；当,(,)2时， cos0 ，则()()ff，；又函数sinyx 在 (0,)2单调递增，在(,)2单调递减，故由 可知，选项a一定成立故选：a二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分在每小题

18、给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5 分，部分选对的得2分，有选错的得0 分9 （ 5 分）已知0a，0b，且221ab，则 ()a2abb1222a bc2212logalogbd221ab【解答】解： 根据0a，0b， 且221ab， 可知 01a， 01b， 设sina，cosb，其中(0,)2asincos2sin()4ab，(0,)2，3(,)444，当42时，2sin()4的最大值为2 ，2ab，故a正确；bsincos2sin()4ab，(0,)2，(,)444，2 sin()( 1,1)4，( 1,1)ab，1222a b，故b正确；222221.logloglogl

19、ogsincoslogsin22cabab，第10页（共 22页）(0,)2，2(0,) ，11sin2(0,22，211logsin 222，即221loglog2ab，故 c 错误；d2222sincoscos2ab，(0,)2，2(0,) ，cos2( 1,1)，221ab，故d正确故选：abd10 （5 分）引入平面向量之间的一种新运算“” 如下：对任意的向量1(mx ，1)y，2(nx ，2)y，规定1212mnx xy y ，则对于任意的向量a ， b ， c ，下列说法正确的有()a abbab ()()ababc()()abcabcd | |abab【解答】 解：设1(ax ，

20、1)y，2(bx ，2)y，3(cx ，3)y，对于a，1212abx xy y ，2121bax xy y ，所以 abba ，故a正确；对于b，1(ax，1)y，则1212()abx xy y，12121212()()abx xy yx xy y ，所以 ()()abab ，故b正确；对 于 c ， 因 为2323bcx xy y， 则2323123123()()(abcx xy y ax x xx y y，123123)y x xy y y，1212123312()()(abcx xy ycx x xx y y ，312123)y x xy y y，故()abc 与 ()abc 不一定相

21、等，故c 错误；对于d，若22221122| |abxyxy，1212| |abx xy y，2222222222222112212121221(| |)()()abxyxyx xy yx yx y ，2222212121212(|)2abx xy yx x y y ，2222222122112121221(| |)(|)2()0ababx yx yx x y yx yx y，所以22(| |)(|)abab，即 | |abab ，故d正确第11页（共 22页）故选：abd11 （5 分）某港口一天24h 内潮水的高度s（单位：)m 随时间 t（单位： h ， 024)t的变化近似满足关系式5

22、( )3sin()126s tt，则下列说法正确的有()a( )s t 在 0 ， 2 上的平均变化率为3/4mhb相邻两次潮水高度最高的时间间距为24hc当6t时，潮水的高度会达到一天中最低d18 时潮水起落的速度为/8m h【解答】 解：根据题意，依次分析选项：对于a，( )s t 在 0 ， 2 上的平均变化率(2)(0)3204ssst，a错误，对于b，5( )3sin()126s tt，其最小正周期为22412，则相邻两次潮水高度最高的时间间距为 24h ，b正确，对于 c ，当6t时， s（6）53 33sin(6)1262，不是( )s t 的最小值，c 错误，对于d，5( )3

23、sin()126s tt，其导数555( )3() cos()cos()1261264126s tttt，则有(18)8s，d正确，故选：bd12 （5 分）已知数列na满足：11nnnaaa ，11a，设*()nnblnann，数列 nb的前n项和为ns ，则下列选项正确的是()(20.693ln，31.099)lna数列21na单调递增，数列2na单调递减b13nnbblnc2020693sd212nnbb【解答】 解：因为11a，11nnnaaa ，所以11nnnaaa即2211nnnaaa，令21( )1xg xx，则1( )0(1)2gxx，所以( )g x 单调递增，第12页（共

24、22页）所以220nnnnaaaa，所以2na，21na都单调，又因为13aa ，24aa 所以21na单调递增，2na单调递减，故a正确；欲证111()3nnnnnnbblnalnaln a aln，即13nnaa，即1 3na，即2na，由11nnnaaa，上式可化为1112nnaa，即11na，显然2n时，11a，当3n时，21211nnnaaa，故11na成立，所以原不等式成立，故b正确，因为1na， 2 ，所以11(1)12,3nnnnna aaaa，所以12nnbbln，3ln，202010102693sln，故 c 正确；因为15112a，若21512na，则2121115122

25、125112nnaa，因为25122a，若2512na，则222115122125112nnaa，由数学归纳法，212512nnaa，则212nnaa，212nnbb，故d不正确(d 选项另解：由10b，22bln，可知12bb ，故d不正确）故选： abc 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分13 （5 分）361(1) (2)xxx的展开式中3x 项的系数是300（用数字作答） 【解答】 解：因为61(2)xx的展开式的通项公式为：366621661(2 )()2rrrrrrrtxxx展开式中可得3x 项：当3602r即4r时，此时3x 系数为：6 4461260 当36

26、32r即2r时，此时3x 的系数为：6 22612240 ；3x 项的系数为：60240300 故答案为： 30014 （5 分）已知椭圆的左顶点为a，右焦点为f，点 p 在直线 x第13页（共 22页） a 上，直线pa 交椭圆于点q，若，则椭圆c 的离心率为【解答】 解：由题意可知a（ a，0） ，f（c， 0） ，设p（a，t） ，q（x，y） ，则由，可得，即，因为q 在椭圆上，所以，即t22b2，又因为，所以所以 12ac4a2 8b20，又 2c2+3ac3a20，所以 2e2+3e30，解得或（舍） 故答案为：15 （5 分）托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就

27、是由其名字命名，该定理原文： 圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和其意思为： 圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质已知四边形abcd 的四个顶点在同一个圆的圆周上，ac 、bd是其两条对角线，4bd，且acd 为正三角形，则abc 面积的最大值为3，四边形abcd 的面积为 （注:圆内接凸四边形对角互补）【解答】 解：设等边三角形acd 的边长为x，第14页（共 22页）由圆内接凸四边形对角互补，可得18060120ab

28、c，设 abm， bcn ，可得4mxnxx ，即4mn，而2133sin120()32442abcmnsmnmn，当且仅当2mn时，上式取得等号，则abc 面积的最大值为3 ，由圆的性质可得60abdacd，60cbdcad，又四边形abcd的面积为113sin60sin604()4 3224abdbcdssab bdcb bdmn，故答案为：3 ， 4 3 16 （5 分）已知函数2( )2f xxax ，2( )4g xa lnxb ，设两曲线( )yf x ，( )yg x 有公共点p，且在p点处的切线相同，当(0,)a时，实数 b 的最大值是2 e【解答】 解：设0(p x ，0)y

29、，( )22fxxa，24( )ag xx由题意知，00()()fxg x，00()()fxg x，即2200024xaxa lnxb ，200422axax，解 得0 xa 或02xa（舍 ) ，代入 得：2234baa lna ，(0,)a，第15页（共 22页）6842 (14)baalnaaalna ，当14(0,)ae时，0b，当14(ae ，) 时，0b实数 b 的最大值是1144()342b eeelnee 故答案为：2e四、解答题：本题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （ 10 分 ） 已 知abc 的 内 角a，b， c 的 对 边 分 别

30、为a， b ，c， 且 满 足222coscossinsinsinbcaab （1）求角 c ；（2）若7c，_（从下列问题中任选一个作答，若选择多个条件分别解答，则按选择的第一个解答计分） abc 面积为 6 3 ，求abc 的周长abc 的周长为21，求abc 的面积【解答】解：（1）由222coscossinsinsinbcaab得：222(1sin)(1sin)sinsinsinbcaab ，即222sinsinsinsinsincbaab由正弦定理得：222cbaab ，即2221cos22abccab，(0,)c，3c（2）由三角形面积公式得：113sinsin6 32234abc

31、abab，解得：24ab由（ 1）知：222492473abcab，222()2487311ababaabb，abc 的周长为11718abc21abc，21714ab，由（ 1）得2222()3cabababab ，22223()147147ababc，解得：49ab，第16页（共 22页）abc 的面积1149 3sin49sin2234sabc18 （12 分）设非常数数列an满足，n n*，其中常数 ，均为非零实数，且 + 0（1）证明：数列 an为等差数列的充要条件是 +2 0；（2） 已知 1， a1 1，求证： 数列与数列中没有相同数值的项【解答】 证明： （1）已知数列 an，

32、充分性： 若 2 ，则有，得 an+2 an+1an+1an，所以 an为等差数列必要性：若an为非常数等差数列， 可令 ankn+b （k0） 代入，得化简得，即 +2 0因此，数列 an 为等差数列的充要条件是 +2 0（2）由已知得又因为，可知数列为等比数列，所以从而有 n2 时，于是由上述两式，得由指数函数的单调性可知，对于任意n2，所以，数列中项均小于等于而对于任意的n1 时，所以数列中项均大于因此， 数列与数列中没有相同数值的项第17页（共 22页）19 （12 分）年前某市质监部门根据质量管理考核指标对本地的500 家食品生产企业进行考核，然后通过随机抽样抽取其中的50 家，统计

33、其考核成绩（单位：分），并制成如图频率分布直方图（1）求这 50 家食品生产企业考核成绩的平均数x（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）及中位数a（精确到 0.01)（2）该市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会，并从这 50 家食品生产企业中随机抽取 4 家考核成绩不低于88 分的企业发言，记抽到的企业中考核成绩在92 ， 100 的企业数为x，求x的分布列与数学期望（3）若该市食品生产企业的考核成绩x服从正态分布2( ,)n其中“近似为50 家食品生产企业考核成绩的平均数2,x近似为样本方差，2s ，经计算得227.68s， 利用该正态分布，估计该市500 家食品生产企业质量管理考核

34、成绩高于90.06 分的有多少家？（结果保留整数） 附参考数据与公式：27.685.26 ，2(,)xn则()0.6827px，(22)0.9545px(33 )0.9973px【解答】 解： （1）这 50 家食品生产企业考核成绩的平均数为：740.04780.12820.28860.36900.10940.06980.0484.80 x（分 ) ，由频率分布直方图得84a， 88 内，0.040.120.280.09(84)0.5a，解得中位数84.67a（分 ) （2）这 50 家食品生产企业中考核成绩不低于88 分的企业有50(0.10.060.04)10 家，其中考核成绩在92 ，

35、100 内的企业有50(0.060.04)5家，x的可能取值为0，1，2，3， 4，第18页（共 22页）454101(0)42cp xc，13554105(1)21c cp xc，225541010(2)21c cp xc，31554105(3)21c cp xc，454101(4)42cp xc，x的分布列为：x01234p1425211021521142151051()0123424221212121e x（3）由题意得(84.80,27.68)xn，84.8027.6890.06 ，10.6827()0.158722p x，5000.158779（家 )，估计该市500 家食品生产企业

36、质量管理考核成绩高于90.06 分的有 79 家20 （12 分）如图，已知斜三棱柱111abca bc ，90bca，2acbc， ac 的中点为d且1a d面 abc ，13ad（1）求证：11a bac ；（2）在直线1cc 上找一点m，使得直线1a b 与平面11ma b 所成角的正弦值为3 1520第19页（共 22页）【解答】 证明： （1）作 deac 交ab于点e，以d为原点，分别以de， dc ，1da 所在直线为x，y， z轴，建立空间直角坐标系，(0a，1， 0) ，(0c，1， 0) ，(2b，1， 0) ，1(0,0,3)a，1(0, 2,3)c所以，1(2,1,3)

37、ab，1(0,3,3)ac，110330ab ac，所以11a bac ；解： （2）设1(0,3 )cmcc，11(2,2,0)a bab，11(0,1, 33)amaccm，设面11ma b 的一个法向量为( , , )nx y z ，有11100abnamn，220(1)( 33)0 xyyz，(1)33xyyz，取1x,得1(1, 1,)33n，因为1(2,1,3)a b，若直线1a b 与平面11ma b 所成角的正弦值为3 1520则13 15|cos,|20n ab，即21| 21|3 15120112 21 1()31，解得13所以当13cmcc 时，直线1a b 与平面11ma b 所成角的正弦值为3 1520第20页（共 22页）21 （12 分）已知函数3222( )()3f xxmxm x mr 的导函数( )fx （1）若函数( )( )( )g xf xfx 存在极值，求m的取值范围；（2）设函数( )()()xh xfeflnx （其中e为自然对数的底数） ，对任意 mr ，若关于x的不等式22( )h xmk 在 (0,) 上恒成立，求正整数k 的取值集合【解答】 解： （1）22( )22fxxmxm ，32222322222( )22(2)(2)33g