2021年河北省衡水中学高考数学三调试卷

1、第1页（共 22页）2021 年河北省衡水中学高考数学三调试卷一、单项选择题（每小题5 分，共 40 分下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1 （ 5 分）已知全集u，m，n是u的非空子集，且umn ，则必有 ()aumnbumncuumnd mn2 （ 5 分）哥隆尺是一种特殊的尺子，图1 的哥隆尺可以一次性度量的长度为1，2，3，4，5，6图 2 的哥隆尺不能一次性度量的长度为()a11b13c15d173 （ 5 分）今天是星期日，经过7 天后还是星期日，那么经过20218天后是 ()a星期六b星期日c星期一d星期二4 （ 5分）复数zc，在复平面内z对

2、应的点z，满足11|21zi，则点z所在区域的面积 ()ab2c3d45 （5 分）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形abcdef的边长为 4，圆o的圆心为正六边形的中心，半径为 2，若点p在正六边形的边上运动，mn为圆o的直径，则pmpn 的取值范围是()a 6 ， 12b 6 ， 16c 8 ， 12d 8 ， 16第2页（共 22页）6 （5 分）已知函数2( )f xx，设5lo

3、g 4a，151log3b，152c，则 f （a） ， f （b） ， f （ c）的大小关系为()a f （a）f （b）f （c）b f （ b）f （ c）f （a）c f （c）f （b）f （a）d f （c）f （ a）f （b）7（5 分）密位制是度量角的一种方法把一周角等分为6000 份，每一份叫做1 密位的角 以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如7 密位写成“007” ，478 密位写成“478.1周角等于6000 密位，记作 1 周角

4、6000，1 直角1500如果一个半径为2 的扇形，它的面积为76，则其圆心角用密位制表示为()a1250b1750c2100d35008 （5 分）已知实数 x ，y满足221xy，01x， 01y，当41xy取最小值时，xy的值为 ()a34b33c3d1二、多项选择题（每小题5 分，共 20 分下列每小题所给选项至少有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）9 （ 5 分）下列命题中为真命题的是（）a若 ab，则b若 ac2bc2，则 a bc若 ca b0，则d若 ab，则10 （5 分）据了解，到本世纪中叶中国人口老龄化问题将日趋严重，如图是专家预测中国2050 年人口比例图

5、，若从2050 年开始退休年龄将延迟到65 岁，则下列叙述正确的是()第3页（共 22页）a到 2050 已经退休的人数将超过30%b2050 年中国4655岁的人数比1625岁的人数多30%c2050 年中国 25 岁以上未退休的人口数大约是已退休人口数的1.5 倍d若从中抽取10 人，则抽到5 人的年龄在3645岁之间的概率为5519()()101011 （5 分）如图，正方体1111abcdabc d 的棱长为1，e，f是线段11b d 上的两个动点，且12ef，则下列结论中正确的是()aacbeb/ /ef平面abcdcaef的面积与bef的面积相等d三棱锥eabf的体积为定值12 （

6、5 分）已知数列 na满足(1)21( 1)n nnnaan， 其前 n项和为ns ， 且20191009ms，则下列说法正确的是()a m 为定值b1ma 为定值c20191sa 为定值d1ma 有最大值第4页（共 22页）三、填空题： （本大题共4 小题，每题5 分，共 20 分；第 16 题第一个空2 分，第二个空3分）13 （5 分） 已知，均为锐角， 且2， 若3sin(2)sin2， 则tan()tan14 （5 分）描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺，起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底， 也有少数以朱漆为底描金工作分为两道工序，第一道工序是上

7、漆，第二道工序是描绘花纹现甲，乙两位工匠要完成a，b，c三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹每道工序所需的时间（单位：) h 如下：原料时间工序原料a原料b原料c上漆91610描绘花纹15814则完成这三件原料的描金工作最少需要h15 （ 5 分 ） 对 任 意 两 实 数 a ，b， 定 义 运 算 “*” ：22 ,*22 ,ab ababba ab则 函 数( )sin*cosf xxx 的值域为16 （5 分）已知点m为双曲线2222:1(0,0)xycabab在第一象限上一点，点f为双曲线c的右焦点，o为坐标原点，4|4 |7 |momfof ，则双曲线c的离心率为

8、；若mf，mo分别交双曲线c于p， q 两点，记直线pm与 pq 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k四、解答题： （本大题共6 小题，共 70 分；第 17 题 10 分，第 18-22 题 12 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （10 分）已知数列na是等差数列，设*()ns nn为数列 na的前 n 项和，数列 nb是等比数列，0nb，若13a，11b，3212bs，5232aba （1）求数列 na和 nb的通项公式；（2）若2,nnnnscbn为奇数为偶数，求数列 nc的前2n项和18 （12 分）如图，在海岛a上有一座海拔1 千米的山，山顶设有一个观察站p，上

9、午11第5页（共 22页）时，测得一轮船在岛北偏东30，俯角为30的b处，到 11 时 10 分又测得该船在岛北偏西60，俯角为60的c处（1）求船的航行速度是每小时多少千米？（2）又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的d处，问此时船距岛a有多远？19 （12 分）如图，在直角梯形abcd中，/ /abdc，90abc，22abdcbc，e为ab的中点， 沿de将ade折起， 使得点a到点p位置， 且peeb，m为pb的中点，n是bc上的动点（与点b，c不重合）（）求证：平面emn平面pbc；（）是否存在点n，使得二面角benm的余弦值66？若存在，确定n点位置；若不存在，说明理由20 （1

10、2 分）甲、乙、丙三人组建团队参加学校元旦游园活动中的投篮比赛，比赛规则：按照甲、乙、丙的顺序进行投篮，每人至多投篮两次； 选手投篮时，如果第一次投中，记1 分，并再投篮一次，若第二次命中，则再记2 分，第二次没有命中，则记0 分；如果第一次没有投中，记0 分，换下一个选手进行投篮甲、乙、丙投篮的命中率分别为0.6，0.5，0.7（1）求甲、乙、丙三人一共投篮5 次的概率；（2）设甲、乙、丙三人得分总和x，若1x，则该团队无奖品；若23x，则该团队获得 20 元的奖品；若47x，则该团队获得50 元的奖品；若8x，则该团队获得200 元的奖品求该团队获得奖品价值y的期望21 （12 分）已知1

11、a ，2a 分别为椭圆2222:1(0)xycabab的左、右顶点，b为椭圆c的上顶点，点2a 到直线1a b 的距离为4 77b，椭圆c过点2 3(,2)3第6页（共 22页）（1）求椭圆c的标准方程；（2）设直线l过点1a ，且与 x轴垂直，p， q 为直线l上关于 x 轴对称的两点，直线2a p 与椭圆c相交于异于2a 的点d，直线 dq 与 x轴的交点为e，当2pa q 与peq 的面积之差取得最大值时，求直线2a p 的方程22 （12 分）已知函数( )3(1)f xxalnx ，2( )4g xxax（1）若函数( )( )yf xg x 在其定义域内单调递增，求实数a 的取值范

12、围；（2）是否存在实数a，使得函数( )( )yf xg x 的图象与x 轴相切？若存在，求满足条件的a 的个数，请说明理由第7页（共 22页）2021 年河北省衡水中学高考数学三调试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题5 分，共 40 分下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1 （ 5 分）已知全集u，m，n是u的非空子集，且umn ，则必有 ()aumnbumncuumndmn【解答】 解：全集u，m，n是u的非空子集，且umn ，所以 mn，所以umn 故选：a2 （ 5 分）哥隆尺是一种特殊的尺子，图1 的哥隆尺可以一次性度量的长度为1，2，3，4

13、，5，6图 2 的哥隆尺不能一次性度量的长度为()a11b13c15d17【解答】 解：根据题意，如图：假设在图2 的哥隆尺中，从左到右，依次有点a、b、c、d、e、f，be之间的距离为11，可以一次性度量11，cf之间的距离为13，可以一次性度量13，af之间的距离为17，可以一次性度量17，任意两点间的距离不会等于15，不能一次性度量15，故选：c第8页（共 22页）3 （ 5 分）今天是星期日，经过7 天后还是星期日，那么经过20218天后是 ()a星期六b星期日c星期一d星期二【解答】 解：因为2021202102021120202020202120212021202120218(71

14、)777cccc,故它除以7 的余数为1，所以经过7 天后还是星期日，那么经过20218天后是星期一故选：c4 （ 5分）复数zc，在复平面内z对应的点z，满足11|21zi，则点z所在区域的面积 ()ab2c3d4【解答】 解：111111(1)(1)222iiiiii，1| 11zi，2 分别表示以1(2，1)2为圆心， 1，2 为半径的圆，因此有11|21zi，点z所在区域的面积22213，故选：c5 （5 分）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望

15、图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形abcdef的边长为 4，圆o的圆心为正六边形的中心，半径为 2，若点p在正六边形的边上运动，mn为圆o的直径，则pmpn 的取值范围是()a 6 ， 12b 6 ， 16c 8 ， 12d 8 ， 16【解答】 解：由正六边形abcdef的边长为4，圆o的圆心为正六边形的中心，半径为2，故正六边形abcdef的内切圆半径为sin604sin 602 3roa，外接圆半径4r第9页（共 22页）而222() ()|4pm pnpoompoonpoompo易知|rpor ，即 | 23,4po所以 pmpn 的取值范围是8 ， 1

16、2 故选：c6 （5 分）已知函数2( )f xx，设5log 4a，151log3b，152c，则 f （a） ， f （b） ， f （ c）的大小关系为()a f （a）f （b）f （c）b f （ b）f （ c）f （a）c f （c）f （b）f （a）d f （c）f （ a）f （b）【解答】 解：函数2( )f xx在 0 ，) 上是增函数，15551loglog 3log 413ba，105221c，cab，f （c）f （a）f （b） 故选：d7（5 分）密位制是度量角的一种方法把一周角等分为6000 份，每一份叫做1 密位的角 以密位作为角的度量单位，这种度量角的单

17、位制，叫做角的密位制在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如7 密位写成“007” ，478 密位写成“478.1周角等于6000 密位，记作 1 周角6000，1 直角1500如果一个半径为2 的扇形，它的面积为76，则其圆心角用密位制表示为()a1250b1750c2100d3500第10页（共 22页）【 解 答 】 解 ： 面 积 为76， 半 径 为2的 扇 形 所 对 的 圆 心 角 弧 度 数 大 小 为277622412sr，由题意可知，其密位大小为712600017502，所以用密位制表示为1750

18、故选：b8 （5 分）已知实数 x ，y满足221xy，01x， 01y，当41xy取最小值时，xy的值为 ()a34b33c3d1【解答】 解：令41zxy，由221xy，所以2222222222216181618()()()zxyxyxyxyxyxyxy2222171688yxxyxyyx，令xty，则222168( )178zf ttttt，所以32328( )28ftttt，通过题中选项给出的数据，可得当34t时，( )0ft，故当34t时，( )f t 取得最小值，即当xy的值为34 时，41xy取最小值故选：a二、多项选择题（每小题5 分，共 20 分下列每小题所给选项至少有一项符

19、合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）9 （ 5 分）下列命题中为真命题的是（）a若 ab，则b若 ac2bc2，则 a bc若 ca b0，则d若 ab，则第11页（共 22页）【解答】 解：若 ab，可令 a0，b0，此时，故选项 a 错误；ac2bc2等价于 ac2 bc2或者 ac2bc2，则当 c20 时， ac2bc2成立，此时a r，b r，不能判断是否ab，故选项b 错误；若 cab0，则 cbca0，又 ab，故选项 c 正确；已知是 r 上的增函数，又ab，则，故选项d 正确故选： cd10 （5 分）据了解，到本世纪中叶中国人口老龄化问题将日趋严重，如图是专家预测中国

20、2050 年人口比例图，若从2050 年开始退休年龄将延迟到65 岁，则下列叙述正确的是()a到 2050 已经退休的人数将超过30%b2050 年中国4655岁的人数比1625岁的人数多30%c2050 年中国 25 岁以上未退休的人口数大约是已退休人口数的1.5 倍d若从中抽取10 人，则抽到5 人的年龄在3645岁之间的概率为5519()()1010【解答】 解：由饼状图知2050 年中国将有约32%的人已经退休，所以选项a正确；设4655岁的人数为16x人，1625岁的人数为13x人，则4655岁的人数比1625岁的人数多1613323%1313xxx，所以选项b错误；25 岁以上未退

21、休的人口数占48%，已退休人口数占32%，所以 25 岁以上未退休的人口数大约是已退休人口数的1.5 倍，所以选项c正确；年龄在3645岁之间的概率为1从所有人中抽取10 人，第12页（共 22页）则抽到 5 人的年龄在36 一 45 岁之间的概率为5510195()()1010c，所以选项d错误，故选：ac11 （5 分）如图，正方体1111abcdabc d 的棱长为1，e，f是线段11b d 上的两个动点，且12ef，则下列结论中正确的是()aacbeb/ /ef平面abcdcaef的面积与bef的面积相等d三棱锥eabf的体积为定值【解答】 解：由正方体的结构特征可知，1dd平面abc

22、d，而ac平面abcd，则1d dac ，又abcd为正方形，acbd，1d dbdd ，且1d d 、bd平面11dd b b，ac平面11dd b b，be平面11dd b b，acbe，故a正确；11/ /b dbd ，bd平面abcd，11b d平面abcd，/ /bd平面abcd，而ef在11b d 上，/ /ef平面abcd，故b正确；点b到ef的距离为正方体的棱长，a到ef的距离大于棱长，则aef的面积与bef的面积不相等，故c错误；如图所示，连接bd，交ac于o，则ao为三棱锥abef的高，1111112224befsefbb，11122334224abefbefvsao，则2

23、24eabfabefvv为定值，故d正确第13页（共 22页）故选：abd12 （5 分）已知数列 na满足(1)21( 1)n nnnaan， 其前 n项和为ns ， 且20191009ms，则下列说法正确的是()a m 为定值b1ma 为定值c20191sa 为定值d1ma 有最大值【解答】 解：因为(1)21( 1)n nnnaan，当2nk时，则有(21)2212( 1)kkkkaak，所以2019122019saaa1234520182019()()()aaaaaaa12468102018a11100820181010aa，故201911010sa，所以110101009ma，则11

24、ma，又2111()24mama，故选项bcd正确，m 不是定值，选项a错误故选：bcd三、填空题： （本大题共4 小题，每题5 分，共 20 分；第 16 题第一个空2 分，第二个空3分）13（ 5 分） 已知，均为锐角，且2， 若3sin(2)sin2， 则tan()tan5【解答】 解：因为3sin(2)sin2，第14页（共 22页）所以 2sin()3sin(),所以 2sin()coscos()sin3sin()coscos()sin,则 sin()cos5cos()sin，故 tan()5tan，则tan()5tan故答案为： 514 （5 分）描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美

25、术技艺，起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底， 也有少数以朱漆为底描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹现甲，乙两位工匠要完成a，b，c三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹每道工序所需的时间（单位：) h 如下：原料时间工序原料a原料b原料c上漆91610描绘花纹15814则完成这三件原料的描金工作最少需要46h【解答】解：经分析，甲按a，c，b的顺序工作，所需时间最短，最短时间为：91581446小时故答案为： 4615 （ 5 分 ） 对 任 意 两 实 数 a ，b， 定 义 运 算 “*” ：22 ,*22 ,ab

26、ababba ab则 函 数( )sin*cosf xxx 的值域为0 ， 2 2【解答】 解：由题意可得，( )sin*cos|2sin2cos|2 2 | sin() |4fxxxxxx，因为 |sin() | 04x， 1，所以 2 2 |sin() | 04x， 2 2 ，故( )f x 的值域 0 ， 22 16 （5 分）已知点m为双曲线2222:1(0,0)xycabab在第一象限上一点，点f为双曲线c的右焦点，o为坐标原点，4 |4|7|momfof ，则双曲线c的离心率为4；若mf，mo分别交双曲线c于p， q 两点，记直线pm与 pq 的斜率分别为1k ，2k ，则第15页

27、（共 22页）12k k【解答】 解：设0(m x ，0)y，由已知可得，4|4|7 |7momfofc ，则02cx，220|3 5|()24ofymoc ，即3 5(,)44cmc ，把m代入双曲线方程，可得2222451416ccab，即22222244516b ca ca b ，又222bca ，代入上式可得4224465160ca ca，即42465160ee，解得216e或214e（舍 ) ，所以双曲线c的离心率4e；设1(p x ，1)y，则0(qx ，0)y，所以221010101222101010yyyyyyk kxxxxxx，把p、m的坐标分别代入双曲线方程，得221122

28、22002211xyabxyab，两式作差 ,可得2221022210yybxxa，由4e，得4ca，即222216caba ，所以2215ba1215k k故答案为： 4；15四、解答题： （本大题共6 小题，共 70 分；第 17 题 10 分，第 18-22 题 12 分，解答应写出第16页（共 22页）文字说明，证明过程或演算步骤）17 （10 分）已知数列na是等差数列，设*()ns nn为数列 na的前 n 项和，数列 nb是等比数列，0nb，若13a，11b，3212bs，5232aba （1）求数列 na和 nb的通项公式；（2）若2,nnnnscbn为奇数为偶数，求数列 nc

29、的前2n项和【解答】 解： （1）设等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为q由题意得，2331234232qddqd解得2d，2q，或3d，3q（舍 )32(1)21nann，12nnb（2）由（ 1）可得(321)(2)2nnnsn n2211(2)2nsn nnn111,22,nnncnnn为奇数为偶数设数列 nc的前 n项和为np ，则135212132124211111()()(1)(2222)3352121nnnnpccccccnn2212(1 2)12112nn21121321nn18 （12 分）如图，在海岛a上有一座海拔1 千米的山，山顶设有一个观察站p，上午11时，测得

30、一轮船在岛北偏东30，俯角为30的b处，到 11 时 10 分又测得该船在岛北偏西60，俯角为60的c处第17页（共 22页）（1）求船的航行速度是每小时多少千米？（2）又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的d处，问此时船距岛a有多远？【解答】 解： （1）在rtpab中，60apb，1pa，3ab在rtpac中，30apc，33ac在acb中，306090cab，2222330()(3)33bcacab则船的航行速度为3012 3036（千米/时） （2）在acd、中，906030dac，33sinsin(180)sin1010303abdcaacbacbbc，sinsin(30 )cda

31、acbsincos30cossin 30acbacb23313101(3)102210(3 31) 1020由正弦定理得sinsinadacdcacda3 3 10sin93310sin13(3 31) 1020acdcaadcda故此时船距岛a有9313千米19 （12 分）如图，在直角梯形abcd中，/ /abdc，90abc，22abdcbc，e为ab的中点， 沿de将ade折起， 使得点a到点p位置， 且peeb，m为pb的中点，第18页（共 22页）n是bc上的动点（与点b，c不重合）（）求证：平面emn平面pbc；（）是否存在点n，使得二面角benm的余弦值66？若存在，确定n点位

32、置；若不存在，说明理由【解答】 解： ( ) i证明：由peeb，peed， ebede ，所以pe平面ebcd，又bc平面ebcd，故pebc，又bcbe，故bc平面peb，em平面peb，故embc，又等腰三角形peb，empb，bcpbb ，故em平面pbc，em平面emn，故平面emn平面pbc；()ii以e为原点，eb，ed，ep分别为 x ，y， z轴建立空间直角坐标系，设2peeb，设(2n， m ， 0) ，(2b，0， 0) ，(0d，2， 0) ，(0p，0， 2) ，(2c， 2，0) ，(1m，0，1) ，(1,0,1)em，(2,0,0)eb，(2,0)enm，设平面

33、emn的法向量为( , , )mx y z ，由020m emxzm enxmy，得(, 2,)mmm ，平面ben的法向量为(0,0,1)n，故26|cos,| |624mm nm，得1m，故存在n为bc的中点第19页（共 22页）20 （12 分）甲、乙、丙三人组建团队参加学校元旦游园活动中的投篮比赛，比赛规则：按照甲、乙、丙的顺序进行投篮，每人至多投篮两次； 选手投篮时，如果第一次投中，记1 分，并再投篮一次，若第二次命中，则再记2 分，第二次没有命中，则记0 分；如果第一次没有投中，记0 分，换下一个选手进行投篮甲、乙、丙投篮的命中率分别为0.6，0.5，0.7（1）求甲、乙、丙三人一

34、共投篮5 次的概率；（2）设甲、乙、丙三人得分总和x，若1x，则该团队无奖品；若23x，则该团队获得 20 元的奖品；若47x，则该团队获得50 元的奖品；若8x，则该团队获得200 元的奖品求该团队获得奖品价值y的期望【解答】 解： （ 1）甲、乙、丙三人一共投篮5 次的情况是三个人中有且只有一人第一次没有投中，另外两人第一次投中，甲、乙、丙三人一共投篮5 次的概率为：0.40.50.70.60.50.70.60.50.30.44p（2）由题意得奖品价值y的可能取值为0，20， 50，200，(0)(1)0.60.40.50.30.40.50.50.30.40.50.70.30.40.50.

35、30.168p yp x，(20)(23)(2)(3)p ypxp xp x0.60.40.50.50.30.60.40.50.70.30.40.50.50.70.30.60.40.50.50.70.30.60.60.50.30.40.50.50.30.40.50.70.70.2588，(200)(8)(9)0.60.60.50.50.70.70.0441p yp xp x，(50)1(0)(20)(200)10.1680.25880.04410.5291p yp yp yp y，该团队获得奖品价值y的期望为：()00.168200.2588500.52912000.044140.45e y（

36、元 ) 21 （12 分）已知1a ，2a 分别为椭圆2222:1(0)xycabab的左、右顶点，b为椭圆c的第20页（共 22页）上顶点，点2a 到直线1a b 的距离为4 77b，椭圆c过点2 3(,2)3（1）求椭圆c的标准方程；（2）设直线l过点1a ，且与 x轴垂直，p， q 为直线l上关于 x 轴对称的两点，直线2a p 与椭圆c相交于异于2a 的点d，直线 dq 与 x轴的交点为e，当2pa q 与peq 的面积之差取得最大值时，求直线2a p 的方程【解答】 解： （1）由题意知1(,0)aa，2( ,0)aa，(0, )bb ，则直线1a b 的方程为byxba，即0bxayab，所以点2a 到直线1a b 的距离2224 77abbdab，即2234ba，又椭圆c过点2 3(,2)3，所以224213ab，联立 ，解得24a，23b，故椭圆c的标准方程为22143xy；（2）由（ 1）得2(2,0)a，直线l的方程为2x，由题意知直线2a p 的斜率存在且不为0，设直线2a p的方程为2(0)xmym，联立22xxmy，解得24xym，即44( 2,),( 2,)pqmm，联立222143xmyxy，消 x 得22(34)120mymy，解