2019衡水名师原创文科数学专题卷：专题五《导数及其应用》

1、努力的你，未来可期! 拼搏的你，背影很美！2019 衡水名师原创文科数学专题卷专题五导数及其应用考点 13：导数的概念及运算（1,2 题）考点 14：导数的应用（3-11 题， 13-15 题， 17-22 题）考点 15：定积分的计算（12 题， 16 题）考试时间： 120 分钟满分： 150 分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第 i 卷（选择题）一、选择题（本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。）1. 函数2sinfxx的导数是（）a.2sin x b.22sinx c.2cosx d.sin2x2已

2、知21cos4fxxx，fx为fx的导函数，则fx的图像是（）3. 若2x是函数21( )(1)xf xxaxe的极值点，则( )f x的极小值为（）a.1 b.32e c.35e d.1 4 若曲线lnyxa的一条切线为yexb，其中,a b为正实数，则2eab的取值范围是（）a.2,2ee b., e c.2, d.2,e5 已知函数2xy的图象在点),(200 xx处的切线为l，若l也与函数xyln，)1 ,0(x的图象相切，则0 x必满足（）a2100 x b1210 x c2220 x d320 x6 已知函数fx的导数为fx，且10 xfxxfx对xr恒成立，则下列函数在实数集内一

3、定是增函数的为（）努力的你，未来可期! 拼搏的你，背影很美！a.fxb.xfxc.xe fxd.xxe fx7 已知函数fx与fx的图象如图所示，则函数xfxg xe的递减区间为（）a.0,4 b.4,1 ,43 c.40,3 d.0,1 , 4,8定义在r上的函数( )f x满足：( )1( )fxf x，(0)6f，( )fx是( )f x的导函数，则不等式( )5xxe fxe（其中e为自然对数的底数）的解集为（）a(0,) b(,0)(3,)c(,0)(1,) d(3,)9. 已知函数211( )2()xxf xxxa ee有唯一零点，则a=（）a12b13c12d1 10已知函数fx

4、的定义域为r,fx为函数fx的导函数，当0,x时，2sincos0 xxfx且xr，cos21fxfxx. 则下列说法一定正确的是（）a.15324643ff b.15344643ffc3134324ff努力的你，未来可期! 拼搏的你，背影很美！ d.1332443ff11 已知函数2325ln,26,2fxxaxax arg xxxxg x在1,4上的最大值为b，当1,x时，f xb恒成立，则a的取值范围是（）a.2a b.1ac.1a d.0a12 已 知0a，0b，( )fx为( )f x的 导 函 数 ， 若( )ln2xf x， 且31112( )12bbdxfabx，则ab的最小值

5、为（）a4 2 b2 2 c92 d 9222第卷（非选择题）二. 填空题（每题5 分，共 20 分）13 已知函数ln4()xf xx，求曲线)(xf在点(1,(1)f处的切线方程_ 14 若 函 数2( )xf xxeax在r上 存 在 单 调 递 增 区 间 ， 则 实 数a的 取 值 范 围是 . 15 若函数21( )ln12f xxx在其定义域内的一个子区间(1,1)aa内存在极值，则实数a的取值范围16如图，阴影部分的面积是_三. 解答题（共70 分）17 （本题满分10 分）已知函数xfxaex ar，其中 e为自然对数的底数，2.71828e（）判断函数f x的单调性，并说明

6、理由；努力的你，未来可期! 拼搏的你，背影很美！（）若1,2x，不等式xfxe恒成立，求a的取值范围18 （本题满分12 分）已知函数xfxeax， （0a）. （）记fx的极小值为( )g a，求( )g a的最大值；（）若对任意实数x恒有0fx，求fa的取值范围 . 19 （本题满分12 分）已知函数ln,ln12xaxfxg xxxx. （1）求yfx的最大值；（2）当10,ae时，函数,0,yg xxe有最小值 . 记g x的最小值为h a，求函数h a的值域 . 20 （本题满分12 分）已知函数22( )()xf xxxcecr. （1）若( )f x是在定义域内的增函数，求c的取

7、值范围；（2）若函数5( )( )( )2f xf xfx（其中( )fx为( )f x的导函数）存在三个零点，求c的取值范围 . 努力的你，未来可期! 拼搏的你，背影很美！21 （本题满分12 分）已知函数121 102xf xfefxxfx是f x的导数，e为自然对数的底数），212g xxaxb arbr，. （）求fx的解析式及极值；（）若fxg x，求12b a的最大值 . 22. （本题满分12 分）已知函数2( )(2)xxf xaeaex. （1）讨论( )f x的单调性；（2）若( )f x有两个零点，求a的取值范围 . 努力的你，未来可期! 拼搏的你，背影很美！参考答案1d

8、 【解析】由题意得，函数的导数为2(sin)2sin(sin)2sinfxxxxxxx. 2a 【解析】由题意得，1sin2fxxx，所以11()sin()sin( )22fxxxxxfx，所以函数fx为奇函数，即函数的图象关于原点对称，当2x时，1()1024f，当2x时，0fx恒成立，故选a. 3【答案】 a 【解析】4c 【解析】设切点为),(00yx，则有2)ln(1000aebbexaxeex，eab2,0，212aabea，故选 c. 5d 【解析】函数2yx的导数y2x，2yx在点200(,)x x处的切线斜率为02kx，切线方程为20002yxxxx，设切线与lnyx相交的切点

9、为,lnmm， （01m） ，由lnyx的导数为1yx可得012xm，切线方程为1lnymxmm，令0 x，可得20ln1ymx，由01m可得012x，且201x，解得01x由012mx，可得200,ln 210 xx，令2ln 21,fxxx努力的你，未来可期! 拼搏的你，背影很美！11,20,xfxxfxx在1x递增，且22ln 2 210,33ln 2 310ff， 则有200ln 210 xx的根02,3x，故选 d. 6d 【解析】设xf xxe fx， 则11xxxfxxe fxxe fxexfxxfx. 10 xfxxfx对rx恒成立，且0 xe.0,fxf x 在r上递增 .

10、7d 【解析】xxxxexfxfeexfexfxg2，令0 xg即0 xfxf, 由图可得,41 ,0 x，故函数单调减区间为0,1 , 4,，故选 d. 8a 【解析】设xxg xe f xexr（ ）（ ），（）， 11xxxxg xe f xe fxeef xfxfxf x（ ）（ ）（ ）（ ）（ ），（ ）（ ），100f xfxgxyg x（ ）（ ） ，（ ） ，（ ）在定义域上单调递增，55xxe f xeg x（ ）， （ ） ，又000061500ge feg xgx（ ）（ ）， （ ）（ ）， ，不等式的解集为0（ ，）. 9【答案】c【解析】函数的零点满足2112xx

11、xxa ee，设11xxg xee，则211111111xxxxxxegxeeeee，当0gx时，1x，当1x时，0gx，函数g x单调递减，当1x时，0gx，函数g x单调递增，当1x时，函数取得最小值12g，设22h xxx，当1x时，函数取得最小值1，努力的你，未来可期! 拼搏的你，背影很美！10 b 【解析】令2sinf xxfx，则sin2fxxfx. 因为当0,x时，2sincos0 xxfx， 即sin 2 xfx， 所 以sin20fxxfx， 所 以2sinfxxfx在0,x上单调递增 .又xr，cos21fxfxx，所以22sinfxfxx，所以,，故2sinfxxfx为

12、奇 函 数 ， 所 以2sinfxxfx在r上 单 调 递 增 ， 所 以5463ff. 即15344643ff，故选 b. 11 b 【解析】)13)(2(253)(2xxxxxg，所以)(xg在2, 1 上是增函数，4 ,2上 是 减 函 数0)(,0)2()(xfgxg在), 1x上 恒 成 立 ，由), 1x知 ，0ln xx，所以0)(xf恒成立等价于xxxaln2在), 1x，时恒成立，令), 1,ln)(2xxxxxh，有0)ln(ln2) 1()(2xxxxxxh，所以)(xh在), 1 上是增函数，有1) 1()(hxh，所以1a. 12 c 【 解 析 】 xxf1， aa

13、f1， 2212111213bbxbdxxbbb，1212113bafdxxbb， 1212221babb， 1212ba， 0a，0b， 29222252225212abbaabbabababa， 当abba22且1212ba，即23,3 ba时努力的你，未来可期! 拼搏的你，背影很美！等号成立，故选c. 13370 xy【 解 析 】23lnxxxf， 所 以( 1 )3 ,( 1 )kff， 切 线 方 程 为43(1),yx即370 xy142ln 22a【解析】 因为函数2( )xf xxeax， 所以( )2xfxxea， 因为2( )xf xxeax在r上 存 在 单 调 递 增

14、 区 间 ， 所 以( )20 xfxxea， 即2xaxe有 解 ， 令2xg xxe，则2xg xe，则20ln2xg xex，所以当ln 2x时，20 xgxe； 当l n 2x时，20 xgxe， 当l n 2x时，max2ln 22g x，所以2ln 22a. 15)23, 1【解析】 函数的定义域为),0(， 令0214212)(2xxxxxf， 解得21x或21x（ 不 在 定 义 域 内 舍 ） ， 所 以 要 使 函 数 在 子 区 间)1, 1(aa内 存 在 极 值 等 价 于),0()1, 1(21aa，即21121101aaa，解得231a，答案为)23,1 1632

15、3【解析】由题意得，直线2yx与抛物线23yx，解得交点分别为( 3, 6)和(1,2)，抛 物 线23yx与x轴 负 半 轴 交 点(3,0)， 设 阴 影 部 分 的 面 积 为s， 则102203(32 )(3)sxx dxx dx032332(3)xdxxdx5322 392 33317 （）理由见解析； （）,112ee努力的你，未来可期! 拼搏的你，背影很美！【解析】（）由题可知，xfxaex ，则1xfxae，（i ）当0a时，0fx ，函数xfxaex为r上的减函数，（ii ）当0a时，令10 xae，得lnxa，, lnxa，则0fx ，此时函数f x为单调递减函数；若ln

16、,xa，则0fx ，此时函数fx为单调递增函数(4 分) （）由题意，问题等价于1,2x，不等式xxaexe恒成立，即1,2x，21xxxeae恒成立，令21xxxeg xe， 则问题等价于a不小于函数g x在1,2上的最大值 (6 分) 由2212 14212xxxxxeexeexe xxx egxe，当1,2x时，0gx ，所以函数g x在1,2上单调递减，(8分) 所以函数g x在1,2x的最大值为2111gee，故1,2x，不等式xfxe恒成立，实数a的取值范围为,112ee (10分) 18 （）max1g a（）fa的取值范围是21,eee. 【解析】（）函数fx的定义域是,，xf

17、xea. 在定义域上单调递增。0fx，得lnxa，所以fx的单调区间是ln ,a，函数fx在lnxa处取极小值，aaaaaeafxfagalnln)(ln)()(ln极小值 . 11lnlngaaa，当01a时，0ga，g a在0,1上单调递增；当1a时，0ga，g a在1,上单调递减 . 所 以1a是 函 数g a在0,上 唯 一 的 极 大 值 点 ， 也 是 最 大 值 点 ， 所 以max11g ag. 努力的你，未来可期! 拼搏的你，背影很美！.(6 分) （）当0 x时，0a，0 xeax恒成立 . 当0 x时，0fx，即0 xeax，即xeax. 令xeh xx，0,x，221x

18、xxexe xehxxx，当01x时，0hx，当0hx，故h x的最小值为1he，所以ae，故实数a的取值范围是0,e. 2af aea，0,ae，2afaea，由上面可知20aea恒成立 , 故f a在0,e上单调递增，所以201effeee，即fa的取值范围是21,eee. (12 分) 19 （1）1e； （2）, 12e. 【解析】（1）f (x) 1ln xx2（x0） ，当 x(0 ，e) 时， f (x) 0，f (x) 单调递增；当 x(e ， ) 时， f (x) 0，f (x) 单调递减，所以当 xe 时， f (x) 取得最大值f (e) 1e. (3 分) （2）g (

19、x) ln xax x(ln xxa)，由（ 1）及 x(0 ，e 得：当 a1e时，ln xxa0，g (x) 0， g(x) 单调递减，当 xe 时， g(x) 取得最小值g(e) h (a) e2. .(5分) 当 a 0，1e)，f (1) 0 a，f (e) 1ea，所以存在t 1 ，e)，g (t) 0 且 ln t at ，当 x(0 ，t) 时， g (x) 0，g (x) 单调递减，当x(t ， e 时， g (x) 0，g (x) 单调递增，所以 g (x) 的最小值为g (t) h(a). .(7分) 努力的你，未来可期! 拼搏的你，背影很美！令 h (a) g(t) t

20、 ln t2t ，因为 g (t) ln t 120，所以 g(t) 在1 ，e)单调递减， 此时 g(t) (e2， 1. .(11分) 综上， h (a) e2， 1. .(12分) 20 （1）1(,2（2）65(0,)2e【解析】（1）因为22( )()xf xxxcecr，所以函数( )f x的定义域为r，且2( )212xfxxce，由( )0fx得22120 xxc e即21(21)2xcxe对于一切实数都成立. 再令21( )(21)2xg xxe，则2( )2xg xxe，令( )0gx得0 x. 而当0 x时( )0gx，当0 x时( )0gx，所以当0 x时( )g x取得极小值也是最小值，即min1( )(0)2g xg. 所以c的取值范围是1(,2. (6 分) （2）由（ 1）知2( )212xfxxc e，所以由( )0f x得2225(212)2xxxxcexce，整理得227()2xcxxe. 令227( )()2xh xxxe，则222( )2(23)2(3)(1)xxh xxxexxe，令( )