2019年北京市西城区高三第一学期期末数学(理)试题(含答案)

1、高考数学精品复习资料2019.5 北京市西城区 20 xx 第一学期期末试卷高三数学（理科）20 xx.1第卷（选择题共 40 分）一、选择题：本大题共8 小题，每小题5分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1设集合|02axx，1| |bxx，则集合ab（）（a）(0,1)（b）(0,1（c）(1,2)（d）1,2)3在 abc 中，角 a，b， c 所对的边分别为a，b，c. 若3a，2b，1cos()3ab，则c（）（a）4（b）15（ c）3（d）172已知复数z 满足2i=1iz，那么z的虚部为（）（a）1（b）i（ c）1（d）i4执行如图所示的程序框图

2、，输出的s值为（）（a）34（b）45（c）56（d）16 若曲线221axby为焦点在x轴上的椭圆，则实数a,b满足（）（a）22ab（ b）11ab（c）0ab（ d）0ba7 定义域为 r 的函数( )f x 满足(1)2( )f xf x ， 且当(0,1x时，2( )f xxx ， 则当 2, 1x时，( )fx 的最小值为（）（a）116（b）18（c）14（d）05已知圆22:(1)(1)1cxy+-=与 x 轴切于 a 点，与 y 轴切于 b 点，设劣弧?ab的中点为m，则过点m 的圆 c 的切线方程是（）（a）22yx=+-（ b）112yx=+-（c）22yx=-+（ d）

3、12yx=+-i=1，s=0 开始1(1)ssi ii=i+1 5i输出 s结束否是8. 如图，正方体1111abcda bc d的棱长为2 3，动点 p 在对角线1bd上，过点p 作垂直于1bd的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设bpx，则当1,5x时，函数( )yf x的值域为（）（a）26,66（b）26,18（c）3 6,18（d）3 6,66第卷（非选择题共 110 分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5 分，共 30 分9. 在平面直角坐标系xoy中，点(1,3)a，( 2, )bk，若向量oaab，则实数k_10若等差数列na满足112a，465aa，则公差

4、d_ ；24620aaaa_11已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为_12甲、乙两名大学生从4 个公司中各选2 个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1 个相同的选法种数是_. （用数字作答）aba1 b1 dcd1 c1 p 侧(左)视图2 13 如图，,b c为圆o上的两个点，p为cb延长线上一点，pa为圆o的切线，a为切点. 若2pa，3bc，则pb_；acab_14在平面直角坐标系xoy中，记不等式组220,0,2xyxyxy所表示的平面区域为d. 在映射,:uxytvxy的作用下，区域d内的点( , )x y对应的象为点( ,

5、 )u v. （1）在映射t的作用下，点(2,0)的原象是；（2）由点( , )u v所形成的平面区域的面积为_三、解答题：本大题共6小题，共80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分13 分）已知函数( )3cosf xx，( )sin()(0)3g xx，且( )g x的最小正周期为. （）若6( )2f， , ，求的值；（）求函数( )( )yf xg x的单调增区间 . 16 （本小题满分13 分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a表示（）若甲、乙两个小组的数学平

6、均成绩相同，求a的值；（）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；ap b c o .（）当2a时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为x，求随机变量x的分布列和数学期望17 （本小题满分14 分）如图，在多面体abcdef 中，底面abcd 是边长为2 的菱形，60bad，四边形bdef 是矩形，平面bdef平面 abcd， bf=3， h 是 cf 的中点 . （）求证：ac平面 bdef ；（）求直线dh 与平面 bdef 所成角的正弦值；（）求二面角hbdc 的大小 . 18 （本小题满分13 分）已知函数( )()exf xxa，其中e是自然对数的底

7、数，ar. （）求函数)(xf的单调区间；（）当1a时，试确定函数2( )()g xf xax的零点个数，并说明理由. 19 （本小题满分14 分）已知,a b是抛物线2:wyx上的两个点，点a的坐标为(1,1)，直线ab的斜率为k，o为坐甲组乙组8 9 0 1 a 8 2 2 f b c e a h d 标原点 . （）若抛物线w的焦点在直线ab的下方，求k 的取值范围；（）设 c 为 w 上一点，且abac，过,b c两点分别作w 的切线，记两切线的交点为d，求od的最小值 . 20 （本小题满分13 分）设无穷等比数列na的公比为q，且*0()nann，na表示不超过实数na的最大整数（

8、如2.52） , 记nnba，数列 na的前n项和为ns，数列nb的前n项和为nt. （）若114,2aq=，求nt；（）若对于任意不超过2014的正整数n，都有21ntn=+，证明：120122( )13q. （）证明：nnst=（1,2,3,n =l）的充分必要条件为1,aqnn*挝. 北京市西城区 20 xx 第一学期期末高三数学 （理科） 参考答案及评分标准20 xx.1一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分. 1b 2c 3d 4b 5a 6c 7a 8d二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分. 94101255112 31224131214(1,

9、1)注：第 10、13、14 题第一问2 分，第二问3 分.三、解答题：本大题共6 小题，共80 分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15 （本小题满分13 分）（） 解：因为( )sin()(0)3g xx的最小正周期为，所以2|，解得23 分由6()2f，得63 cos22，即2cos22，4 分所以22 4k，kz. 因为 , ，所以7 7,88 88. 6 分（） 解：函数( )( )3 cos2sin(2)3yf xg xxx3cos2sin 2 coscos2 sin33xxx8分13sin2cos222xxsin(2)3x，10 分由22 2232kkx，11 分解得5

10、1212kkx 12 分所以函数( )( )yf xg x的单调增区间为5 ()1212kkkz,. 13 分16 （本小题满分13 分）（） 解：依题意，得11(889292)9091(90)33a，2 分解得1a.3 分（） 解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件a，4 分依题意0,1,2,9a，共有 10 种可能 . 5 分由（）可知，当1a时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，所以当2,3,4,9a时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8 种可能6 分所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率84()105p a 7 分（）解： 当2a时， 分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所

11、有可能的成绩结果有339种，它们是：(88,90)，(88,91)，(88,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，9 分则这两名同学成绩之差的绝对值x的所有取值为0,1,2,3,4. 10 分因此2(0)9p x，2(1)9p x，1(2)3p x，1(3)9p x，1(4)9p x. 11 分所以随机变量x的分布列为：x0 1 2 3 4 p292913191912 分所以x的数学期望221115()01234993993e x13 分17 （本小题满分14 分）（） 证明： 因为四边形abcd是菱形，所以acbd. 1 分因

12、为平面bdef平面abcd，且四边形bdef是矩形，所以ed平面abcd，2 分又因为ac平面abcd，所以edac. 3 分因为edbdd，所以ac平面bdef.4 分（） 解：设acbdo，取ef的中点n，连接on，因为四边形bdef是矩形，,o n分别为,bd ef的中点，所以/oned，又因为ed平面abcd，所以on平面abcd，由acbd，得,ob oc on两两垂直 . 所以以o为原点，,ob oc on所在直线分别为x 轴， y 轴， z 轴，如图建立空间直角坐标系.5 分因为底面abcd是边长为2 的菱形，60bad，3bf，所以(0,3,0)a，(1,0,0)b，( 1,0

13、,0)d，( 1,0,3)e，f e h d z n (1,0,3)f，(0, 3,0)c，13 3(,)222h. 6分因为ac平面bdef，所以平面bdef的法向量(0,2 3,0)ac. 7 分设直线dh与平面bdef所成角为，由33 3(, )222dh，得33302307222sin|cos,|7212 32dhacdhacdhac，所以直线dh与平面bdef所成角的正弦值为77. 9 分（）解：由（），得13 3(,)222bh，(2,0,0)db. 设平面bdh的法向量为111(,)x y zn，所以0,0,bhdbnn 10 分即1111330,20,xyzx令11z，得(0,

14、3,1)n. 11 分由ed平面abcd，得平面bcd的法向量为(0,0,3)ed，则00(3)01 ( 3)1cos,2 32ededednnn. 13 分由图可知二面角hbdc为锐角，所以二面角hbdc的大小为60. 14 分18. （本小题满分13 分）（） 解：因为( )()exf xxa，xr，所以( )(1)exfxxa2 分令( )0fx，得1xa3 分当x变化时，( )fx和( )fx的变化情况如下：x(,1)a1a(1,)a( )fx0( )f x5 分故( )f x的单调减区间为(,1)a；单调增区间为(1,)a6 分（） 解：结论：函数( )g x有且仅有一个零点. 7

15、分理由如下：由2( )()0g xf xax，得方程2exaxx，显然0 x为此方程的一个实数解. 所以0 x是函数( )g x的一个零点. 9 分当0 x时，方程可化简为exax. 设函数( )exaf xx，则( )e1xafx，令( )0fx，得xa当x变化时，( )f x和( )fx的变化情况如下：x(,)aa( ,)a( )fx0( )f x即( )f x的单调增区间为( ,)a；单调减区间为(,)a所以( )f x的最小值min( )( )1f xf aa. 11 分因为1a，所以min( )( )10f xf aa，所以对于任意xr，( )0f x，因此方程ex ax无实数解所以

16、当0 x时，函数( )g x不存在零点 . 综上，函数( )g x有且仅有一个零点. 13 分19 （本小题满分14 分）（） 解：抛物线2yx的焦点为1(0,)4. 1分由题意，得直线ab的方程为1(1)yk x，2 分令0 x，得1yk，即直线ab与 y 轴相交于点(0,1)k. 3 分因为抛物线w的焦点在直线ab的下方，所以114k，解得34k. 5 分（） 解：由题意，设211(,)b x x，222(,)c xx，33(,)d xy，联立方程21(1),yk xyx消去y，得210 xkxk，由韦达定理，得11xk，所以11xk. 7 分同理，得ac的方程为11(1)yxk，211x

17、k. 8 分对函数2yx求导，得2yx，所以抛物线2yx在点b处的切线斜率为12x，所以切线bd的方程为21112()yxxxx， 即2112yx xx. 9 分同理，抛物线2yx在点c处的切线cd的方程为2222yx xx.10 分联立两条切线的方程2112222,2,yx xxyx xx解得12311(2)22xxxkk，3121yx xkk，所以点d的坐标为111(2),)2kkkk. 11 分因此点d在定直线220 xy上. 12 分因为点o到直线220 xy的距离22|2 002|2 5521d，所以2 55od，当且仅当点42(,)55d时等号成立13 分由3125ykk，得126

18、5k，验证知符合题意. 所以当1265k时，od有最小值2 55. 14 分20 （本小题满分13 分）（） 解：由等比数列na的14a =，12q =，得14a =，22a =，31a =，且当3n 时，01na时，0nnba=. 2 分即,6,2,4,17,3.nnntn3 分（） 证明 ：因为201421()ntnn，所以113bt=，120142(2)nnnbttn . 4 分因为nnba=，所以13,4)a，20142,3)(2)nan . 5 分由21aqa，得1q. 6 分因为2012201422,3)aa q，所以20122223qa，所以2012213q，即120122()13q. 8 分（） 证明 ： （充分性）因为1an*?，qn*?，所以11nnaaqn-*=?，所以nnnbaa=对一切正整数n 都成立 .因为12nnsaaa=+l，12nntbbb=+l，所以nnst=. 9 分（必要性）因为对于任意的nn*?，nnst=，当1n时，由1111