2019-2020学年辽宁省大连市高考第一次模拟数学模拟试题(理)有答案

1、. . 辽宁省大连市高三第一次模拟数学理试题第卷（共60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 , 每小题 5分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 设集合|1axx，|30bx x x，则abu（）a1,0 b0,1 c1,3 d1,32. 若复数11izai为纯虚数，则实数a的值为（）a1 b0 c12 d-1 3. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个

2、数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推例如3266 用算筹表示就是，则 8771 用算筹可表示为（）a b c d4. 如图所示程序框图是为了求出满足2228nn的最小正偶数n，那么空白框中及最后输出的n值分别是（）a1nn和 6 b2nn和 6 c. 1nn和 8 d2nn和 8 5. 函数2tan1xfxxx的部分图象大致为（）. . a bc. d6. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm）是（）a4 3 b1033 c.2 3 d8337.6 本

3、不同的书在书架上摆成一排，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（）种 . a24 b36 c.48 d60 8.abc的内角,a b c的对边分别为, ,a b c，若2 coscoscosbbacca，2b，则abc面积的最大值是（）a1 b3 c.2 d4 9. 已知边长为2 的等边三角形abc，d为bc的中点，以ad为折痕进行翻折，使bdc为直角，则过abcd， ， ，四点的球的表面积为（）a3 b4 c.5 d610. 将函数sin 23fxx的图象向右平移0a a个单位得到函数cos 24g xx的图象，则a的值可以为（）a512 b712 c.1

4、924 d4124. . 11. 已知双曲线2222:11xycmm的左、右焦点分别为1f、2f，若c上存在一点p满足12pfpf，且12pf f的面积为3，则该双曲线的离心率为（）a52 b72 c.2 d3 12. 若直线10kxykkr和曲线325:03eyaxbxb的图象交于11,a x y，22,b xy，33123,c xyxxx三点时，曲线e在点a、c点处的切线总是平行的，则过点,b a可作曲线e的（）条切线 . a0 b1 c.2 d3 第卷（共90 分）二、填空题（每题5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上）13. 设实数x，y满足约束条件0405yxyxy，则25zxy的

5、最大值为14. 已知半径为r的圆周上有一定点a，在圆周上等可能地任意取一点与点a连接，则所得弦长介于r与3r之间的概率为15. 已知抛物线2:2cyx， 过点1,0任作一条直线和抛物线c交于a、b两点，设点2,0g， 连接ag，bg并延长，分别和抛物线c交于点a和b，则直线ab 过定点16. 已知腰长为2 的等腰直角abc中，m为斜边ab的中点，点p为该平面内一动点，若2pcuuu r，则4papbpcpm?uu u ru uu ru uu ruuuu r的最小值为三、解答题（本大题共6 小题，共70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17. 设数列na的前n项和为ns，且21

6、nsnn，在正项等比数列nb中，22ba，45ba. 求na和nb的通项公式；设nnnca b，求数列nc的前n项和 . 18. 大连市某企业为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8 年的年宣传费ix和年销售量1,2,8iy i数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. . . xyw821iixx821iiww81iiix y81iiiw y46.6 573 6.8 289.8 1.6 215083.4 31280 表中iwx，8118iiww. 根据散点图判断，yabx与ycdx哪一个适宜作为年

7、销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）根据的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；已知这种产品的年利润z与x、y的关系为0.2zyx. 根据的结果回答下列问题：i年宣传费64x时，年销售量及年利润的预报值是多少？ii年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据1122,nnu vu vu v，其回归直线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121niiiniiuuvvuu，vu. 19. 在如图所示的几何体中，四边形abcd是正方形，pa平面abcd，,e f分别是线段ad，pb的中点，1paab. 求证：/ /ef平面dcp；求平面efc与平面

8、pdc所成锐二面角的余弦值. . . 20. 在平面直角坐标系xoy中，椭圆2222:10 xycabab的离心率为12，点3(1, )2m在椭圆c上 . 求椭圆c的方程；已知2,0p与2,0q为平面内的两个定点，过点1,0的直线l与椭圆c交于,a b两点，求四边形apbq面积的最大值 . 21. 已知函数245xafxxxare. 若fx在,上是单调递增函数，求a的取值范围；设xg xe fx，当1m时，若122g xg xg m，且12xx，求证：122xxm. 请考生在22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修 4-4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系x

9、oy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1:4cos02c，2:cos3c. 求1c与2c交点的极坐标；设点q在1c上，23oqqpuuu ru uu r，求动点p的极坐标方程. 23. 选修 4-5 ：不等式选讲已知函数223fxxxm，mr. 当2m时，求不等式3fx的解集；,0 x，都有2fxxx恒成立，求m的取值范围 . . . 试卷答案一、选择题1-5:cdadb 6-10:babcc 11、12：bc二、填空题13.14 14.13 15.4,0 16.4832 2三、解答题17. 解：q21nsnn，当1n时，11a，121nnnassn，2n，11212nn

10、ann . 又q数列nb为等比数列，222ba，458ba2424bqb，又0nbq2q，12nnb. 由得：111112122122nnnnncnnnn设数列nc的前n项和为nt当2n时，2312 123 121 2nntnl231 1 22 212nnl，34121 21 22 2221 2nnntnnl34132221 2nnntnl. . 3212 1231212nnn2138 2112nnn112125nnn1225nn15222nntnn. 当1n时，111tc，又当1n时，15221nntn，综上，1522nntn1n. 18. 解：由散点图可以判断ycdx适宜作为年销售量y关于

11、年宣传费x的回归方程类型.令wx，先建立y关于w的线性回归方程$88888111118888222211118iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiyywww ywyywwyw ywyw ywydwwwwwwww312806.85738681.6，$57368 6.8110.6cydw$，所以y关于w的线性回归方程为$110.668yw，所以y关于x的线性回归方程为$110.668yx. i由知，当64x时，年销售量y的预报值为$110.668 64654.6y，年利润z的预报值为654.60.26466.92z$. ii根据的结果知，年利润z的预报值20.2(110.668)13.

12、622.126.868.36zxxxxx$，当6.8x，即46.24x时，年利润的预报值最大，故年宣传费为46.24 千元时，年利润预报值最大. 19. 解：方法一：取pc中点m，连接mfdm ,，fm ,分别是pbpc,中点 ,cbmfcbmf21,/，. . e为da中点，abcd为正方形，cbdecbde21,/，demfdemf,/,四边形defm为平行四边形，efdmef,/平面pdc，dm平面pdc，/ef平面pdc.方法二：取pa中点n，连接ne，nf. eq是ad中点，n是pa中点，/ /nedp，又fq是pb中点，n是pa中点，/ /neab，/ /abcdq，/ /nfcd

13、，又nenfnqi，ne平面nef，nf平面nef，dp平面pcd，cd平面pcd，平面/nef平面pcd. 又efq平面nef，/ /ef平面pcd. 方法三：取bc中点g，连接eg，fg，在正方形abcd中，e是ad中点，g是bc中点/ /gecd又fq是pb中点，g是bc中点，/ /gfpc，又pccdci，,gegef gfgef平面平面，,pcpcd cdpcd平面平面，平面gef/ 平面pcd. efq平面gef. . / /ef平面pcd. 方法四：pa平面abc, 且四边形abcd是正方形，apabad,两两垂直， 以a为原点，ap，ab，ad所在直线为zyx,轴，建立空间直角

14、坐标系xyza，则,0 ,0 , 1p,1 , 1 , 0,1 ,0, 0cd0 ,21,21,21,0,0fe1 11,2 22efu uu r，则设平面pdc法向量为, ,nx y zr，1 , 1 , 1,1 ,0 , 1pcpd则00pd npc nu uu r ru uu r r, 即00zyxzx, 取1,0,1nr，11022n efr uu u r，所以efuuu rnr，又efq平面pdc，ef平面pdc. pa平面abc,且四边形abcd是正方形，apabad,两两垂直，以a为原点，ap，ab，ad所在直线为zyx,轴，建立空间直角坐标系xyza，则,0 ,0 , 1p,1

15、 , 1 , 0,1 ,0, 0cd0 ,21,21,21,0,0fe设平面efc法向量为1111,nx y zu r，1 ,21,21,21,21,21fcef. . 则0011nfcnef, 即111111011022xyzxyz，取2, 1, 31n, 则设平面pdc法向量为2222,nxyzuu r，1 , 1 , 1,1 ,0 , 1pcpd则0022npcnpd, 即2222200 xzxyz, 取1 , 0, 12n，1475214120113,cos212121nnnnnn.平面efc与平面pdc所成锐二面角的余弦值为1475. （若第一问用方法四，则第二问部分步骤可省略）20

16、. 解：由12ca可得，2ac，又因为222bac，所以223bc. 所以椭圆c方程为2222143xycc，又因为3(1, )2m在椭圆c上，所以22223( )12143cc. 所以21c，所以224,3ab，故椭圆方程为22143xy. 方法一：设l的方程为1xmy，联立221431xyxmy，消去x得22(34)690mymy，设点1122(,),(,)a x yb xy，有121222690,3434myyy ymm. . 2121212222224694343412134yyyyy ymmmmm所以2211214234msm令21,1tmt，有224241313tsttt，由函数1

17、3ytt，1,)t2130,1,ytt故函数13ytt，在1,)上单调递增，故134tt，故2242461313tsttt当且仅当1t即0m时等号成立，四边形apbq面积的最大值为6. 方法二：设l的方程为1xmy，联立221431xyxmy，消去x得22(34)690mymy，设点1122(,),(,)a x yb xy，有121222690,3434myyy ymm有2222212 112(1)|13434mmabmmm，点( 2,0)p到直线l的距离为231m，点(2,0)q到直线l的距离为211m，从而四边形apbq的面积. . 22222112(1)424 1234341mmsmmm

18、令21,1tmt，有224241313tsttt，函数13ytt，1,)t2130,1,ytt故函数13ytt，在1,)上单调递增，有134tt，故2242461313tsttt当且仅当1t即0m时等号成立，四边形apbq面积的最大值为6. 方法三：当l的斜率不存在时，:1l x此时，四边形apbq的面积为6s. 当l的斜率存在时，设l为：(1)yk x，(0)k则22143(1)xyyk x22223484120kxk xk2212122284120,3434kkxxx xkk，22221212121222(1)()412(34)kkyyk xxkxxx xk，四边形apbq的面积22122

19、21(1)4242(34)kksyyk令234(3)tkt则234tk2116321stt,11(0)3t. . 211116321,(0)3sttt06s综上，四边形apbq面积的最大值为6. 21. 解：qfx在,上是单调递增函数, 在xr上，240 xafxxe恒成立，即：42xax e设42xh xx erx22xhxx e，当,1x时0hx，h x在,1x上为增函数，当(1,)x时0hx， h x在(1,)x上为减函数，max12h xheqmax42xax e2ae，即2 ,ae . 方法一：因为axxexgx)54()(2，所以0)1()( 2xexgx，所以)(xg在,上为增函

20、数，因为)(2)()(21mgxgxg，即)()()()(21xgmgmgxg，)()()()(21xgmgmgxg和同号，所以不妨设12xmx, 设( )(2)( )2 ()(1)h xgmxg xg mxm， 8 分所以222)1() 12()( xexmexhxxm，因为2m xxee，22(21)(1)(22)(22 )0mxxmmx，所以( )0h x，所以)(xh在(,)m上为增函数，所以( )()0h xh m，所以222()(2)()2 ()0h xgmxg xg m，所以221(2)2 ()()()gmxg mg xg x，所以212mxx，即122xxm. 方法二：q245xxg xe fxxxea122g xg xg m1,m，. . 12222112245452452xxmxxeaxxeammea122221122454524