2017-2018年北京八中高三(上)10月月考数学试卷答案解析

1、2017-2018年北京八中高三（上）10月月考数学试卷答案解析一、选择题（共8道）1 .已知集合 A=x|x>1, B = x|xvm,且AU B=R,那么m的值可以是（）A. TB . 0C. 1D. 2【解答】解：根据题意，若集合 A=x|x>1, B=xx<m,且AUB=R,必有m> 1,分析选项可得，D符合；故选：D .2,命题“若x2< 1,则-1vxv1”的逆否命题是（）A .若 x2> 1,贝U x> 1 或 xw 1B .若-1 v xv 1,贝U x2< 1C,若 x> 1 或 xv 1,则 x2> 1D.若 x&

2、gt; 1 或 x< 1,则 x2> 1【解答】解：原命题的条件是“ “若x2V1”，结论为“-1vxv 1”，则其逆否命题是：若 x> 1或xw - 1 ,则x2> 1 .故选：D .3 .“向量之与向量三共线”是“存在 入区使得获工3”的（）A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【解答】解：若存在 入r,使得W二1三”，则向量W与向量E共线，即必要性成立，当三为零向量时，艮为非零向量时，满足向量W与向量E共线”但不存在 入R,使得二二加三”成立，即充分性不成立，故“向量W与向量E共线”是“存在 入r,使得W二1三”的

3、必要不充分条件，故选：B.IjT4 .函数y=sin2x的图象向右平移 。（。>0）个单位，得到的图象恰好关于x=w对称，则（）的最小值为（）5 兀11JT11 兀A . FTB . -7C. 一7厂D,以上都不对【解答】解：令y=f (x) = sin2x,TTT贝U f (x- (p = sin2 ( x- (p = sin (2x - 2抄，且其图象恰好关于 x= 对称，62 X k - 2 4 = 2k tt+或 2X " - 2 4 = 2k 兀- " ,kCZ .6262j = - k 兀- " 或 j= - k ti+, k a .1212又(

4、)> 0,.4的最小值为察.12故选：A.5.设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1= - 2, Sm=0, Sm+1 = 3,则m=()A. 3B. 4C. 5D. 6【解答】 解：am= Sm- Sm 1 = 2, am+1= Sm+1 - Sm= 3,所以公差 d= am+1 am= 1,Sm =0m - 1 >0, m>1,因此 m不能为0,得 a1= - 2,所以 am= - 2+ (m - 1)?1 = 2,解得 m= 5,另解：等差数列an的前n项和为Sn,即有数列上成等差数列,n则刍I?, *注，三斗成等差数列，HL'1 m m+1可得2?mn-J

5、+IIL-1 D.+ 1即有rrt-l m+1解得m= 5.又一解：由等差数列的求和公式可得(m 1) (a1+am-1) = 2)子m (a1 + am) = 01_2(m+1) (a1+am+1)= 3,可得 a1= am, 2am+am+1+am+1 =-4+=m+1 m-1=0,解得m=5.故选：C.6.某地一天内的气温 Q （t）（单位：C）与时刻t （单位：时）之间的关系如图所示，令 C（t）表示时间段0, t内的温差（即时间段0, t内最高温度与最低温度的差）. C （t）与A .t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的图象大致是（)B.C初C.C16D.【解答】解：根据气温 Q

6、 (t)(单位：C)与时刻t (单位：时)之间的关系如图,t=0时，C (t) = - 2,在0, 4上，C (t)不断增大；在4, 8上，C (t)是个定值,在8, 12上，C (t)不断增大；在12, 20上，C 是个定值,在20, 24上，C (t)不断增大.7 .若不等式组K-第2x+vC2表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是(C.A .8 . 0<a< 1D. 0vaw 1 或【解答】解：由题意可知：画可行域如图:不等式组表示的平面区域是一个三角形及其内部, 且当直线x+y=a过直线y = x与直线2x+y= 2的交点时，a所以a的取值范围是:0<a<

7、 i 或 a>38.设S, T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f (x)满足：(i) T=f(x)|x CS;(ii)对任意xi,x2 S,当xivx2时，恒有f (xi)Vf (x2),那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是(B.A=x|1WxW 3, B= x|x=- 8 或 0vxw 10C.A=x|0v x<1, B = RD.A=Z, B = Q【解答】 解：对于A=N*, B=N,存在函数f (x) =x- i, xCN*,满足：(i) B=f (x)|xS; (ii)对任意xi, x2 S,当xiv x2时，恒有f (xi) v

8、 f (x2),所以选项A是“保序同构”；存在函数对于 a = x| - i < x < 3 , B = x|x = - 8 或 0 v x w i0F-8f hl fW=(i) B=f (x) |xS; (ii)对任意xi,期，当xix2时，恒有f (xi)< f (x2),所以选项B是“保序同构”；对于 A=x|0<x<i, B = R,存在函数f (x) =tan (兀3r0),满足: B=f (x)|xS；(ii)对任意xi, x2 A,当 xivx2 时，恒有 f (xi)f (x2),所以选项C是“保序同构”；前三个选项中的集合对是“保序同构”由排除法

9、可知，不是“保序同构”的只有 D.二、填空题(共6道)9.在 ABC 中，若 a= 2, cosAcosB=一，b-挈一2【解答】解： cosA =由正弦定理a'sinBsinA=2Xb. .sinB = T2口 =A/l-CO S DsinA slnB故答案为:10.已知二 1）, E=（3, 1）,则与2彳-与同向的单位向量为¥，容）【解答】解:a=(2s 1), b=(3, 1)则 21一三= (1, 1),所以与 .同向的单位向量为:故答案为:X ( 111.已知双曲线 C的虚轴长为12,离心率为则此双曲线的标准方程为64-362 或一一6L36【解答】解：根据题意可

10、知 2b =12,解得根据双曲线的性质可得a2= c2 - b2，由得,a2= 64,所以满足题意的双曲线的标准方程为:22y64 36故答案为:22父 _y 64 3664 3612.已知 A, B, C满足 |AB|-|BC| = |CA|=3,则蛆*BC的最小值等于【解答】解：若A, B, C三点不共线，则它们一定能构成三角形，但三角形中两边之差小于第三边，这与题设矛盾，故A, B,C三点共线，且点B在有向线段AC的延长线上,如图，设|前|正|=3,则就正一而市-族前=7(尹3)-炎十G+3)工=7-3广9=G-1)2-隼；岑故3& +人(：-5匚'1(：八一配，：6(：

11、的最/、值为 故答案为：令.13 .已知直线 11：（时2）/加+2）舛1二0, 12=（m2-4）x-Liy-3=0 .若 li/“2,贝U实数 m的取为 2或-1或-4【解答】解：直线中 m2)/g2)尹卜Q, 12“工4"2一3旬"当m=2时，成立;当mw2时,m-2 m+2ITL2 -4 F解得m= - 1或m= - 4.综上，m的值为2或-1或-4.故答案为：2或-1或-4.14 .平面直角坐标系中，已知点 A (m, m), B (1, 2), C (2, 1),若平面区域 D由所有满足AP = A AB + IJ-AC (0w入w 1, 0w匹1)的点p组成，

12、且D上不存在点(X0, y0）满足X02+y02= 1,则m的取值范围是【解答】解：点A在直线y = x上运动，由平面向量基本定理可知,(0WK1, 0乒1)的点P构成的区域D为平行四边形 ACA' B,如下图所示,B当点A刚好在圆x2+y2=1上且在第一象限时，此时当点A'刚好在圆x2+y2=1上且在第一象限时,此时VI.），贝卢厂音解得由图象可知，要使 D上不存在点（X0, yo）满足xo2+yo2= 1,贝U 需故答案为：_，:一15.已知函数, 丁：-二inH-O. 兀.+C0S) , g (x)2 a=2sin 2（I ）若a是第一象限角，且）5，求g （ a）的值;

13、（H ）求函数F（X）= f（X）- g（X）的单调增区间.【解答】解:_ itnfix) =sin (x一-+cos (工一飞-), 1sinsc o sx +-00 s kinx=Vasins（I）又因为所以：；.: .一 .因为式以=2411用.TT.又因为岂E 8 1-）,所以3华b式直)=2si n4=(1一cqsk),所以式口 ) = (l_cos Q ) = %.(n) F (x) =f (x) - g (x)+cosx-l = 2sin (x7T三、解答题（共6道）令盐江-兀+kE?得，2火n-2； 直2卜兀 kEW Z O2SS故函数F (x)的单调递增区间是亚万-英-，2k

14、冗吟L kE?.16.已知点 A (a, 3),圆 C: (x1) 2+ (y2) 2=4.(I)设a=4,直线l过点A且被圆C截得的弦长为273,求直线l的方程；(n)设a=2,直线li过点A,当li被圆C截得的线段的长度最短时，求11的方程.【解答】解：(I)已知A (4, 3),当直线1的斜率不存在时，直线方程为x=4,不合题意；当直线1的斜率存在时，设直线 1： y- 3=k (x-4).设直线与圆交于P, Q两点，M为P, Q的中点，则有忸从|=启，|CP|=r=2,| CM |二JI CP | 2 - |PM | = 1，即圆心到直线的距离为 1,则J-厅臼迅解得卜=。或女工，直线

15、1的方程为或y= 3；(n)已知A (2, 3),设直线与圆交于 D, E两点，圆心到直线11的距离为d,则有 GlDE| 广十/二一，有 |DE|=2d4-d*，;直线11过点A, 圆心到直线11的距离为|dG |，人|=也，故当日班时，|DE%&=人历，此时 Ad, k&c=符=L，直线 11 的方程为 y3= (x 2),即 x+y5=0.17.已知 a, b, c分别为 ABC 三个内角 A, B, C 的对边，acosC+TlasinC- b- c=0(1)求 A；(2)若a=2, ABC的面积为6,求b, c.【解答】 解：(1)由正弦定理得：acosC+asinC

16、 - b - c= 0,即 sinAcosC+/3sinAsinC = sinB+sin C1. sinAcosC+VSsinAsinC = sin (A+C) +sinC,ipVSsinA- cosA= 1.sin （A-30。）= A. A 30° = 30°A= 60 ;（2）若 a = 2， ABC 的面积=-bcsinA=_bc=V35 bc= 4.再利用余弦定理可得：a2= b2+c2- 2bc?cosA=（b+c） 2-2bc-bc= （ b+c） 2-3X4 = 4, b+c=4.结合求得b=c=2.18.数列an中，=4n + diT+2n-L=O（nC

17、N* 且 n> 2）.（I）求a2, a3的值；（n）证明：数列an+n是等比数列J,并求an的通项公式；（出）求数列an的前n项和Si.【解答】 解：（I）因为 ai=1, an+an i+2n- 1 = 0,所以 an= - an -1 - 2n+1,a2= a1 4+1 = 1 - 4+1 = - 4,a3= a2 6+1=4 6+1 = 1.a(-an-i-2rL+l)(n)因为 Jnr二一n 1 /=-1，所以数列an+n是以a1+1 =2为首项，以-1为公比的等比数列.目门如天叱(T产1，即%=2(T )”(n CN ).数列an的通项公式是&口=(nCN*).(出)

18、数列an的前n项和S =£> =24兴磔抖2219.已知椭圆岂彳七广1&>七>0),过其右焦点F且垂直于x轴的弦MN的长度为b. a b(i)求该椭圆的离心率；(n)已知点A的坐标为(0, b),椭圆上存在点 P, Q,使得圆x2+y2=4内切于 APQ,求该椭圆的方程.【解答】解：(I)设 F (c, 0), M (c, yi), N (c, y2),222贝,得 yi=一_, a2 b2&椭圆的离心率为:2(n)由条件，直线 AP、AQ斜率必然存在,设过点A且与圆x2+y2= 4相切的直线方程为 y=kx+b,转化为一般方程 kx - y+b=

19、0,由于圆x2+y2=4内切于 APQ,所以,得(b>2),即切线AP、AQ关于y轴对称，则直线 PQ平行于x轴, yQ = yp= - 2,不妨设点Q在y轴左侧，可得xq= - xP=-纣/一2，b3-4V 4,解得b= 3,则a=6,22椭圆方程为： W一二1.36 920.已知每项均是正整数的数列ai, a2, a3, aioo,其中等于i的项有ki个(i=1, 2, 3)，设 bj= ki+k2+kj (j=1, 2, 3)，g ( m) = bi+b2+ bm 100m (m= 1, 2, 3 .).(I)设数列k1 = 40,k2= 30,k3= 20,k4=10,k5=3=k100= 0,求 g(1), g(2),g(3), g (4);(II) 若a1, a2, a3,，a100中最大的项为 50,比较g (m), g (m+1)的大小；(出)若a1+a2+a100= 200,求函数g (m)的最小值.【解答】解：(I)二.数列 k1=40, k2=30, k3=20, k4 = 10,-b1 = 40, b2= 70, b3=90, b4=100,1- g (1) =-60, g (2) = 90, g (3) = 100,