高考易错题举例解析（精编版）

1、高考易错题举例解析高考数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易 被忽略 . 也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误. 本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助, 加强思维的严密性训练. 忽视等价性变形，导致错误x 0xy0x，但y 0xy0yx1 x与2 xyy3不等价2【例 1】已知f ( x)ax，若3bf (1)0,3f (2)6, 求f (3) 的范围 .错误解法由条件 得3 ab032ab62× 2× 2得6a158b2 + 得33103a 33b43 ,33即103f (3)43 .3x错误

2、分析采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数f ( x)ax，其值b是同时受a和b 制约的 . 当 a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的 .正确解法由题意有f (1)f (2)ab2ab ,解得：2f (3)3ab 316 f (2)95 f (1)9把 f (1) 和f (2)的范围代入得16f (3)37 .33在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性. 只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题. 忽视隐含条件，导致结果错误【例 2】(1)设、是方程x 2492 kxk60 的两个实根， 则 (1)2(1) 2

3、 的最小值是 (a )4(b) 8(c) 18(d) 不存在思路分析本例只有一个答案正确，设了3 个陷阱，很容易上当.利用一元二次方程根与系数的关系易得：2k，k6，有的学生一看到49，常受选择答案（a）的诱惑，盲从附和, 这正是思维缺乏反思性的体4现, 如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案.原方程有两个实根、，4 k 24(k6)0k2或 k3.当 k3 时， (1)2(1) 2 的最小值是8；当 k2 时， (1) 2(1) 2 的最小值是18，这时就可以作出正确选择，只有（b）正确.(2) 已知 ( x22) 2y1 ，求4x 2y 2 的取值

4、范围 .2错误解法由已知得y4 x216x12 , 因此x2y 23x 2816x12223(x288)228 ,332228当 x时， x3y有最大值3 ，即 xy的取值范围是( ,3 ).错误分析没有注意x 的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值.事实上，由于( x22) 2y1(x2)221y 1 3 x 1，从而当 x = 1 时 x 242y有最小值1，422xy的取值范围是1,283 . 忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误1 21 2【 例 3】已知： a 0， b 0 ， ab1 , 求 (a) a(b)1 2122211)(ab)baba2b2b的最小值 .2错误解法

5、(a4 2ab4 ab4 ab1 ab48 , (a1 )2a(b1) 2b的最小值是8.错误分析上面的解答中，两次用到了基本不等式1a 2b 2 2ab ，第一次等号成立的条件是ab,21第二次等号成立的条件是正确解法ab，显然， 这两个条件是不能同时成立的, 因此， 8 不是最小值 .ab由 ab ( ab) 221 得： 1 2ab 1411=,且221a2 b2 16， 1+1a2 b 2 17 ，原式125× 17+4=22( 当且仅当ab1时，等号成立) ，2 (a1 ) 2a(b1 )2b25的最小值是2 . 不进行分类讨论，导致错误【例 4】(1) 已知数列an的前

6、n 项和 sn2 n1，求an .nnn 111)2 n2 n 12 n 121 11 .错误解法ass(2n1)(2 n错误分析显然，当n1时， a1s13s1 ( n1)因此在运用ansnsn1 时，必须检验n1 时的情形，即：an.222sn (n2,nn)21(2) 实数 a 为何值时，圆xy222 axa210 与抛物线y2x 有两个公共点.21错误解法将圆 xy2axa10 与抛物线yx联立，消去y ，22得x(2a1 )x2a 210 (x0)0117因为有两个公共点，所以方程有两个相等正根，得2 a02a 210.， 解之得 a.8错误分析（如图 2 2 1； 2 2 2）显然

7、，当a0 时，圆与抛物线有两个公共点.要使圆与抛物y相等正根 .线有两个交点的充要条件是方程有一正根、y一负根；或有两个当方程有一正根、一负根时，得1a1.o图 2 21x0a21o解之，得0x图 2 2 2因此， 当共点.a17 或1a81时，圆 x 2y 22axa 210 与抛物线y21 x 有两个公2 以偏概全，导致错误以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案， 从而表现出思维的不严密性.【例 5】(1) 设等比数列an的全 n 项和为sn . 若 s3s62s9 ，求数列的公比q .错误解法s3s62 s9 ,a1 (11q 3 ) qa1 (11

8、q 6 ) q2a1 (11q 9 )，q整理得q 3 (2q 6q 31） 0 .错误分析在错解中，由a1 (11q 3 ) qa1 (11q 6 ) q2a1 (11q 9 )，q整理得q 3 (2q 6q 31） 0 时，应有a0 和 q1 .1在等比数列中， a10 是显然的， 但公比 q 完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比q1的情况，再在q1 的情况下，对式子进行整理变形.正确解法若 q1 ，则有 s33a1， s66 a1， s99a1 ，但 a10 ，即得s3s62s9，与题设矛盾，故q1 .又依题意s3s62s9a1 (11q 3 ) qa1 (11q 6 ) q2a1

9、(11q 9 ) qq 3 (2q 6q 31） 0 , 即 (2q 31)( q 31)0, 因为 q1 ，所以 q 310, 所以2 q 310 解得q4 .32(2) 求过点( 0，1) 的直线，使它与抛物线y 22 x 仅有一个交点.错误解法设所求的过点(0,1)的直线为ykx1 ，则它与抛物线的交点为ykx12222，消去 y 得 ( kx1)y2x2 x0整理得kx1(2k2) x101直线与抛物线仅有一个交点，错误分析此处解法共有三处错误：0, 解得k所求直线为yx1 22第一，设所求直线为ykx1 时，没有考虑k0 与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的；第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交 点”的关系理解不透；第三， 将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即k0 ，而上述解法没作考虑，表现出思维不严密.正确解法当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x 轴，因为过点(0，1)，所以 x0 即 y轴，它正好与抛物线y 22x 相切 .当所求直线