数列极限是数学分析最重要的基础之一它不仅与函数极限学习教案

1、会计学1数列数列(shli)极限是数学分析最重要的基础极限是数学分析最重要的基础之一它不仅与函数极限之一它不仅与函数极限第一页，共24页。为数列.因为N+的所有元素可以(ky)从小到大排列出来, 12,naaa则称若函数 f 的定义域为全体正整数的集合 +N ,+:NR ( ),Nff nn或或或简记(jin j)为 an. 这里 an 所以(suy)我们也将数列写成称为数列 an 的通项.O121n n1a2ana1na .一、数列的定义第1页/共23页第二页，共24页。样的过程可以(ky)无限制地进行下去.我们(w men)把每天截下部分 (或剩下部分) 的长度列出：第一天截下,21 第二

2、天截下21,2第n天截下1,.2n这样就得到一个数列:古代哲学家庄周所著的庄子 天下篇引用了一句话: “一尺之棰, 日取其半, 万世不竭”. 它的意思是: 一根长为一尺的木棒, 每天截下一半, 这第2页/共23页第三页，共24页。21111,.2 222nn 或或容易看出: 数列1122nn的通项的通项随着 n 的无限增大而无限(wxin)趋于 0 .第3页/共23页第四页，共24页。下面给出严格(yng)的数学定义.定义1na设设为一个数列, a 为一个常数, 若对于任意的正数 ,总存在正整数 N, 使当 n N 时, 0 ,| aan则称数列收敛于a , 又称 a 为数列 的极限,nana

3、一般地说,对于数列 , 若当 n 充分变大时, anna能无限地接近某个常数 a , 则称 收敛于 a . na第4页/共23页第五页，共24页。记作limnnaa (,) .naa n 或或若 不收敛, 则称 为发散数列.nanaxa1 Na1a2a a a()na注 定义(dngy)1 这种陈述方式，俗称为 “ - N ”说法.第5页/共23页第六页，共24页。以说明, 希望(xwng)大家对 “ - N ”说法能有正确的认识. 例1用定义验证:1lim0.nn 分析 对于任意正数, 要使10,n 只要.1 n证对于任意的正数 ,1,N 取取,nN 当当时时10,n 所以1lim0.nn

4、为了加深对数列收敛定义的了解(lioji), 下面结合例题加第6页/共23页第七页，共24页。lim0,(0|1).nnqq例2 用定义验证分析 对于任意的正数 , 要使 |0|,nq 只要log.log|nq 这就证明了lim0.nnq |0|.nq 证0(01),不不妨妨设设,nN当当时时 有有 log,log |Nq 取取 第7页/共23页第八页，共24页。22217,3373 37nnnnnn （）7,n 当时,27nn 22237322,nnnnn只要 即可. 13n 221lim.337nnnn 例3 用定义验证0, 任任给给由由 分析故要使2272133 376nnnnnn （）

5、 成立,第8页/共23页第九页，共24页。证 对于(duy)任意的正数 , 取1max 7,3N , nN 当当时时 有有221,337nnn 即得221lim.337nnnn 注意 解这个不等式是在 的条件下进行的.7n 第9页/共23页第十页，共24页。11 .nna 设设因因为为,11nnnna 所以例4, 1lim nna0.a 其其中中用定义验证1.na 因此证得.1lim nna证 这里只验证的情形（ 时自证）.1 a01a.110naann 故对于任意正数 1,aNnN 取取当当时时 第10页/共23页第十一页，共24页。从定义及上面的例题(lt)我们可以看出:此外，又因 是任意

6、正数, 所以 等等,2,3,2 1. 的任意性: 定义中的 用来刻画数列 an 的通项与定数 a 的接近(jijn)程度. 显然正数 愈小,表示 a n与 a 接近的程度愈高； 是任意的, 这就表示 an与 a 可以任意接近.要注意， 一旦给出，在接下来计算 N 的过程中，它暂时看作是确定不变的.第11页/共23页第十二页，共24页。 |aan可以用 Kaan |( K 为某一正常数 ) 来代替. 定义(dngy) 1, 那么对 1 自然也可以验证成立.均可看作(kn zu)任意正数, 故定义 1 中的不等式2. N 的相对性:从定义(dngy)1 中又可看出, 随着 的取值不同, N 当然也

7、会不同. 但这并不意味着 N 是由 再有, 我们还可以限定 小于某一个正数 ( 比如 1 ). 事实上, 对 0 N1 = 2N 时, 对于(duy)同样的 , 更应有 惟一(wiy)确定. 例如, 当 n N 时, 有求 N 的 “ 最佳(zu ji)性 ” . .| aan也就是说, 在这里只是强调 N 的存在性, 而不追第13页/共23页第十四页，共24页。3. 极限的几何(j h)意义示当 n N 时, .lim, );(aaaUannn 即即 从几何上看, ,实际上就是时有Nn “”| aan所有下标大于 N 的 an 全都落在邻域 之内，);( aU而在 之外, an 至多只有有限

8、项( N 项 ).);( aU反过来, 如果对于任意正数 , 落在 之外至);( aU多只有(zhyu)有限项, 设这些项的最大下标为 N, 这就表第14页/共23页第十五页，共24页。 an 的有限多项, 则称数列 an 收敛(shulin)于a . 这样, an 不以 a 为极限的定义也可陈述为:存在, 00 之外含有 an 中的无限多00()aa使使得得在在，不以任何(rnh)实数 a 为极限.以上是定义 1 的等价(dngji)说法, 写成定义就是:定义1 任给, 若在 之外至多只有0 );( aU项.注 an 无极限（即发散）的等价定义为: an 第15页/共23页第十六页，共24页

9、。2定定义义lim0,.nnnaa若若则则为为无无穷穷小小数数列列称称 21!.1nnnqqnn例例和和是是无无穷穷小小数数列列 当当时时, ,如如2.1nnaaaa数数列列收收敛敛于于的的充充要要条条件件是是: :定定理理以下定理(dngl)显然成立,请读者自证.4.无穷小数列(shli)和无穷大数列(shli)是是无无穷穷小小数数列列. .是是无无穷穷小小数数列列. .第16页/共23页第十七页，共24页。,大大数数列列 记记作作lim.nna ,穷穷大大数数列列负负无无穷穷大大数数列列或或分分别别记记作作limlim.nnnnaa 或或3定定义义0,naG设设是是一一数数列列, ,若若对

10、对任任意意总总存存在在正正,nnNnN aGa整整数数使使无无则则称称穷穷得得任任意意是是,nnnnaGaGaGa若若改改为为或或则则称称正正无无是是 第17页/共23页第十八页，共24页。为了更好地理解定义, 再举一些例题.”“N 例5 证明发散.)1( n 又因 a 是任意的, 所以 发散. a 为极限.na证 对于任意实数 a, 取,210 :)1( 满足满足nna 之外有无限多)21,21(,)0(0 aaaa在在时时当当所以由定义1,不以na个偶数项（奇数项）.第18页/共23页第十九页，共24页。.0!lim nann例6 证明解, 0,1| 时时a | |1| ,| !aaNa

11、取取当Nn 时， naaaaaanaanan 1|21|0!| | |.| !aaaan 从而.0!lim nann时，时，取取时，时，当当 1 NnNa 1|0,1! nnan第19页/共23页第二十页，共24页。证 我们用两种方法(fngf)来证明.例7 证明.01sinlim nn 1) 任给正数, 1 , NnN 取当时，取当时，.101sin nn有项都能使不等式 成立即可. |aan注 这里(zhl)我们将 N 取为正数, 而非正整数. 实际上N 只是表示某个(mu )时刻, 保证从这一时刻以后的所第20页/共23页第二十一页，共24页。没有(mi yu)定义.2) 任给正数, 限制 由 . 1 ,)arcsin(sin1sin01sin nn.arcsin1即可即可 N可知只需取注 这里假定 0 1 是必要(byo)的, 否则 arcsin 便第21页/共23页第二十二页，共24页。复习(fx)思考题1. 极限定义中的 “ ” 是否可以写成 “ N , ,N ” ? 为什么?2. , |limlimaaaannnn 反之是否成立?3. 已知 NNAann :,lim 是一个一一影射.请依据极限定义证明:.lim)(Aann 第22页/共23页第二十三页，共24页。NoImage内容(nirng)总结会计学。数列极限是数学分析最重要的基础之