探究线性微分方程解的存在唯一性

1、常微分课程报告题目：探究线性微分方程解的存在唯一性 组长：侯芮 组员：白柳纯 张小雨 李琳 李振勇 报告日期：5.15目录引言.11、 引例.22、 证明解的存在唯一性的步骤.23、 一阶线性微分方程解的存在唯一性.24、 探究n阶线性微分方程解的存在唯一性.85、 用不动点定理证明一阶线性微分方程解的存在唯一性.101、 不动点定理的一些结论.102、 不动点定理证明一阶线性微分方程解的存在唯一性.126、 用不动点定理证明n阶线性微分方程解的存在唯一性.167、 总结.21引言从分析方法入手,来证明满足初值条件下一阶线形微分方程解的存在唯一性定理的证明.我们学习了能用初等解法的一阶方程的若

2、干类型,但同时知道大量的一阶方程是不能用初等解法求出它的通解,而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解,因此对初值问题的研究被提到重要地位,自然要问:初值问题的解是否存在?如果存在是否唯一?The analysis method of that satisfy the initial conditions the solution of linear differential equation of first order is the only proof of the theorem of. We learn to use several types of elementary

3、solution of first-order equations, but also know a lot of first-order equations is not elementary solution for the general solutions of, and practical problems need is often required to meet some initial conditions the solution. Therefore, study for the initial value problem is mentioned an importan

4、t position, natural to ask: the existence of solutions of initial value problems? If there is only one?一、引例例： y(0)=0解： 通解： y=0例： y(0)=0解： 及y=0二、证明解的存在唯一性的步骤1、 微分方程的初值问题等价于一个积分问题2、 构造一个合适的连续的逐步逼近序列3、 证明此逐步逼近序列一致收敛4、 证明此收敛的极限函数为所求初值问题的解5、 证明唯一性三、一阶线形微分方程解的存在唯一性首先，我们令这里是在带形域 R:上的连续函数.函数称为在R上关于y满足利普希兹（L

5、ipschitz)条件,如果存在常数L>0使不等式对于所有的都成立,L称为利普希兹常数。下面我们给出一阶线性微分方程 (1) 解的存在唯一性定理:如果在R上连续且关于y满足利普希兹条件,则方程(1)存在唯一的解,定义于区间上,连续且满足初始条件:这里 ， ， 下面我们分五个命题来证明。 命题1 设是 一阶线性微分方程的定义于区间 上的，且满足初始条件 的解，所以 是积分方程的定义于 上的连续解，反之亦然。 证明：因为是 的解 所以两边从到取积分得 （2） 又因为初始条件即 （3）所以是积分方程 定义于 上的连续解。 反之：是积分方程 的连续解，则 微分得到 将代入 得 因此是 的定义于上

6、且满足初始条件的解。 现在取,构造皮卡逐步逼近函数序列如下: (n=1,2,) (4) 命题2 对于所有的n，函数 在 上定义、连续且满足不等式 证明 当n=1时， 在 上有定义、连续且有 即n=1时，命题2成立，下面我们用数学归纳法证明假设当n=k时命题2成立，即 由n=k时成立知道， 在 上有定义、连续且有 即n=k+1时命题2成立，即对所有n成立，即构建连续逐步逼近的序列完毕。 命题3 函数序列在上是一致收敛的。证明 我们考虑级数 (5)它的部分和为=因此,要证明序列在上一致收敛,只需证明级数(5)在上一致收敛.为此,我们进行如下估计.由(4)有 （6）及 利用利普希兹条件及(6)得到

7、=设对于正整数n,不等式成立,则有利普希兹条件,当时,有 于是,由数学归纳法得知,对于所有的正整数k,有如下的估计 (7)从而可知,当时 (8)(8)的右端是正项收敛级数的一般项。由维尔斯特拉斯判别法级数(5)在上一致收敛,因而序列也在上一致收敛,命题3证毕. 命题4 是积分方程(2)的定义于上的连续解. 证明 由利普希兹条件以及在上一致收敛于,即知序列 在上一致收敛于.因而对于(4)两边取极限,得到即 （9）这就是说是积分方程(2)的定义于上的连续解.命题4证毕. 命题5 设是积分方程(2)的定义于上的一个连续解,则 证明 我们首先证明也是序列的一致收敛极限函数.为此,从 (n=1,2,)我

8、们可以进行如下估计 现设,则有 故有数学归纳法得知,对于所有的正整数n,有下面的估计式 (10)因此,在上有 (11)是收敛级数的公项,故因而在上一致收敛于,根据极限的唯一性,即得 命题5证毕.综合1-5,即得到一阶线性微分方程 解的存在唯一定理的证明。四、探究n阶线性微分方程解的存在唯一性 n阶线性微分方程的一般形式： （1) 初值条件为： (2)有如下结论： 定理1：（n阶线性微分方程初值问题解的存在与唯一性）设(i=1,2,.n)和均在区间I上连续，则对任一x0属于I和任意n个常数c0，c1，-1，方程（1）恒有且只有一个定义在整个区间I上且满足条件（2）的解。问题的转化：将n阶线性微分

9、方程的初值问题转化成形如的线性微分方程组的初值问题。研究初值问题 (3)的解的存在唯一性定理。定理2：（存在唯一性性定理）如果是n*n矩阵，是n维列向量，它们都在区间上连续，则对于区间上的任何数t0及任一常数n维列向量c，方程组存在唯一解，定义于整个区间上，且满足初值条件 。 命题1：设是方程组(3）的定义于区间上且满足初值条件 （4）的解，则是积分方程 ，上的连续解，反之亦然。证明：因为是方程（3）的解，两边从t0到t取定积分得到，将（4）式代入上式，即有 ， （5） 命题2：对于所有的正整数k，向量在区间上有定义且连续。现取，构造皮卡逐步逼近向量函数序列如下： 命题3：向量函数序列在区间上

10、是一致收敛的。由利普希兹条件以及在上一致收敛于,即知序列在上一致收敛于.因而对于(4)两边取极限,得到=即 命题4：是积分方程（5）的定义在区间上的连续解。 证明：由在上一致收敛于，以及的连续性，推知序列在区间 上一致收敛于。这就是说，是积分方程（5）的定义于上的连续解。 命题5：设p（t）是积分方程（5）的定义于上的另一个连续解，则 。t）。五、不动点定理证明一阶线性微分方程解的存在唯一性 （一）不动点定理的重点结论 不动点,是一个函数术语,在数学中是指“被这个函数映射到其自身一个点”。 定义1称：（X,）（X,）是一个压缩映射,如果存在01使得（Tx,Ty）(x,y), 定理1.1 压缩映

11、射原理(C.(C.-)É.皮卡(1890);S.Banach（1922）)：设X是一个完备的度量空间,映射: 把每两点的距离至少压缩倍,即d（x）,(y)d(x,y),这里是一个小于1的常数,那么必有而且只有一个不动点,而且从的任何点x0出发作出序列这序列一定收敛到那个不动点。 定理1.2布劳威尔不动点定理(1910):设是欧氏空间中的紧凸集,那么到自身的每个连续映射都至少有一个不动点。 定理1.3莱夫谢茨不动点定理:设是紧多面体,:是映射,那么的不动点代数个数等于的莱夫谢茨数L(),它是一个容易计算的同伦不变量.当L()0时,与同伦的每个映射都至少有一个不动点。这个定理发展了布劳威

12、尔定理。 定理1.4（ Schauder不动点定理）：设是Banach空间X的非空紧凸集,是连续映射,则在中有不动点。（二）不动点定理证明一阶线性微分方程解的存在唯一性定理 1、Banach压缩映射原理： 对于一阶线性微分方程的初值问题 （1）解的存在与唯一问题,有下面的Picard定理： 设在矩形上连续,且关于满足Lipschitz条件,即存在常数有 则问题(1)在区间上有唯一解,这里 证明 首先,问题(1)等价于积分方程 （2)令则是Banach空间的闭子空间,故也是完备的,而映射事实上,是上的连续函数,即且有 故其次, 因故 是上的压缩映射.于是,由压缩映射原理,存在唯一使即积分方程(2

13、)有唯一解也就是问题(1)在区间上有唯一解。例1 (Volterra积分方程的解) 设是定义在上的连续函数,则Volterra积分方程 （3）对任意的以及任意常数存在唯一的解证明 作到其自身的映射：用表示在上的最大值,表示中的距离.对于任意的则有 下面用数学归纳法来证明 (4)当时,不等式(4)已经证明.现设时,不等式(4)成立,则当时,有 故不等式(4)对也成立,于是对一切自然数成立.由(4) 因为对任意常数有, 这样我们始终可以选取足够大的自然数使得,因此,是压缩映射,故方程(3)在上有唯一的解。2、 Schauder不动点定理的应用 （5）其中: , 若给定( ,) , ( , ) 则对

14、于方程求一个函数 ( t) 满足 (6)的问题称为方程( 5) 的Cauchy 问题, 而 ( t ) 称为Cauchy问题( 6)的一个解. 定理 3.1 ( Peano解的存在性定理) 设函数 在 中的闭区域: , 上连续, 则Cauchy初值问题( 5 )至少在区间: 上有解存在,这里 证明 显然,( 6)等价于积分方程 的求解.令 ： 表示如下：易证是连续映象, 令,当 又 是相对紧的, 故 是全连续映象, 且 ( ) ,据一般的Schauder定理, 在 有不动点, 即Cauchy问题问题( 6)有解.例2 设是连续, 有界的, 则两点边值问题 有解.证明 令在上定义则是Banach

15、空间.设定义： 这里 显然是连续泛函,且现来证明是全连续映象, 由于是连续的, 易证 是连续的,再者, 任取，则 .令 还有 当如令,显然有 ( ) ,故存在,使.由,显然有,求两次导就得到s即两点边值问题有解。6、 用不动点定理证明n阶线性微分方程解的存在唯一性1、对N阶线性微分方程： （1）初值条件： 设 （2）则有 (3) 带入原方程： (4)进一步整理：注释： (5)很显然在矩形区域axb,atx上是连续的 引理：方程（5）与方程（1），（2）等价，也就是如果是初值问题（1）（2）的解，则（其中）是积分方（5）的解；如果是方程（5）的解，则（其中）是初值问题（1）（2）的解。证明：若是初值问题（1）（2）的解，设 由上述过程可知： 代回原方程可以得到： 经过进一步的整理： 得到是方程（5）的解若是方程（5）的解，则有：即 其中 ，）取 （6） 变为：经过移项可得满足条件的方程（1），即得到是初值问题（1）（2）的解。故方程（1）（2）与方程（5）是等价的。2、用引理证明定理 证明：考虑积分方程 在给定的区域上连续，考率映射 T： 则