利用导数研究函数的单调性之二阶求导型

1、利用导数研究函数的单调性之二阶求导型评卷人得分一、解答题（题型注释）1已知函数（1）当时，求函数在上的最小值；（2）若，不等式恒成立，求的取值范围；（3）若，不等式恒成立，求的取值范围1（1）；（2）；（3）【解析】试题分析：（1）由时，得出，则，再求导，可得函数在上是增函数，从而得到函数的单调性，即可求解函数在上的最小值； （2）由（1）知函数在上是增函数，且，使得，得，即，设，利用函数的单调性，即可求解求的取值范围；（3）根据题意，转化为对任意成立，令，所以，可得出的单调性，求解出的最小值，即可的取值范围试题解析：（1）时，所以函数在上是增函数，又函数的值域为R，故，使得，又，所以当时，即

2、函数在区间上递增，所以 （2），由（1）知函数在上是增函数，且，使得进而函数在区间上递减，在上递增，由得：，因为，不等式恒成立，（另解：因为，不等式恒成立，即由，当时取等号，）（3）由，对任意成立，令函数，所以，当时，当时，所以当时，函数取得最小值，考点：利用导数研究函数的单调性与极值（最值）【方法点晴】本题主要考查了导数在函数中的综合应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性及其应用、利用导数研究函数的极值与最值等知识点的综合考查，同时解答中注意对函数二次求导的应用和函数的构造思想，通过构造新函数，利用函数的性质解题的思想，着重考查了转化与化归思想以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属

3、于难题2已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在上为单调函数，求实数的取值范围3设函数.（1）当a=2时，判断函数在定义域内的单调性；（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围.4已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.（1）求的取值范围；（2）设两个极值点分别为，证明：.5已知函数（）（1）当时，讨论的单调性；（2）求在区间上的最小值6设，.（1）令，求的单调区间；（2）已知在处取得极大值.求实数的取值范围.7设函数.（1）若函数在处有极值，求函数的最大值；（2）是否存在实数，使得关于的不等式在上恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；证明：不等式试卷第3页，总4页本卷由

4、系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。参考答案1（1）；（2）；（3）【解析】试题分析：（1）由时，得出，则，再求导，可得函数在上是增函数，从而得到函数的单调性，即可求解函数在上的最小值； （2）由（1）知函数在上是增函数，且，使得，得，即，设，利用函数的单调性，即可求解求的取值范围；（3）根据题意，转化为对任意成立，令，所以，可得出的单调性，求解出的最小值，即可的取值范围试题解析：（1）时，所以函数在上是增函数，又函数的值域为R，故，使得，又，所以当时，即函数在区间上递增，所以 （2），由（1）知函数在上是增函数，且，使得进而函数在区间上递减，在上递增，由得：，因为，不等式恒成立，（

5、另解：因为，不等式恒成立，即由，当时取等号，）（3）由，对任意成立，令函数，所以，当时，当时，所以当时，函数取得最小值，考点：利用导数研究函数的单调性与极值（最值）【方法点晴】本题主要考查了导数在函数中的综合应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性及其应用、利用导数研究函数的极值与最值等知识点的综合考查，同时解答中注意对函数二次求导的应用和函数的构造思想，通过构造新函数，利用函数的性质解题的思想，着重考查了转化与化归思想以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题2（1） 单调递增区间为和，单调递减为;（2） 【解析】试题分析：（1）求函数的导数，并且通分，分解因式的化简，然后解和的解

6、集；（2）若函数在上为单调函数，所以分单调递增和单调递减两种情况讨论，若单调递增，转化为在上恒成立，那么小于等于函数的最小值，若函数单调递减，转化为在上恒成立，大于等于函数的最大值.试题解析：的定义域为，（1），则，令，解得：，令，解得：，的单调递增区间为和，单调递减为（2）若在上单调递增，则在上恒成立，在上恒成立，令同，则，当且仅当，时取“=”，又时， ，若在上单调递减，则在上恒成立，在上恒成立，由式知，综上，的取值范围是考点：导数与函数的单调性3（1） 在上是增函数;（2） .【解析】试题分析：（1）首先求函数的导数，令，并且注意函数的定义域，再求函数导数的导数，分和讨论的正负，同时得到函

7、数的单调性，求得的最小值为0，即恒成立，得到函数的单调性；（2）由（1）可得当时，不等式恒成立，当时，记，根据导数求函数的最值，证明不等式不恒成立.试题解析：（1）的定义域为，记，则，当x>0时，此时，当-1<x<0时，此时，所以在（-1,0）上递减，在上递增，f（x）在上是增函数.（2），由（1）知在上递增，所以当时，所以f（x）在上递增，故恒成立.当a>2时，记，则，当x>1时，显然当时，从而在上单调递增.又，则存在，使得.所以在上递减，所以当时，即f（x）<cosx，不符合题意.综上，实数a的取值范围是.考点：1.导数与单调性；2.导数的综合应用.【方

8、法点睛】本题考查了导数与单调性的关系，以及证明不等式的问题，综合性较强，重点说说导数与函数单调性的证明，一种情况是求函数的导数后，能够解得或的解集，从而得到函数的单调递增和递减区间，令一种情况是求导后，不能直接求得或的解集，需要求函数的二阶导数，根据二阶导数大于0或小于0的解集，求得一阶导数的单调增减区间，同时求得一阶导数的最大值或是最小值，从而得到一阶导数的正负，求得函数的增或减区间.4（1）；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）函数在其定义域内有两个不同的极值点等价于方程在有两个不同根，即函数与函数的图象在上有两个不同交点，讨论函数单调性和极值根据图象即可求的取值范围；（2）作差得，

9、即.原不等式等价于，则，只需证明不等式成立即可.试题解析：（1）依题意，函数的定义域为，所以方程在有两个不同根.即，方程在有两个不同根.转化为，函数与函数的图象在上有两个不同交点.又，即时，时，所以在上单调增，在上单调减，从而.又有且只有一个零点是1，且在时，在时，所以的草图如下，可见，要想函数与函数的图象在上有两个不同交点，只需.（2）由（1）可知分别是方程的两个根，即，设，作差得，即.原不等式等价于令，则，设，函数在上单调递增，即不等式成立，故所证不等式成立.考点：1、利用导数研究函数的单调性及极值；2、利用导数证明不等式.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及极值、利用导数证

10、明不等式，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简，或者进一步转化为不等式恒成立问题利用导数证明.5（1）的增区间为，减区间为；（2）当时，的最小值为；当时，的最小值为；当时，的最小值为【解析】试题分析：（1）研究单调性，可求出导函数，然后解不等式得单调增区间，解不等式得减区间，注意绝对值，要分类求解；（2）由于，因此先分类，前两种情形，绝对值符号直接去掉，因此只要用导数研究单调性可得最值，第三种情形同样

11、要去绝对值符号，只是此时是分段函数，可以看出这时又要分类：，得单调性再得最小值试题解析：（1）当时，当时，在单调递增；当时，时，在单调递减；时，在单调递增综上，的增区间为，减区间为（2）时，时，在单调递增，时，而，（i）时，在上单增，为最小值在上恒成立，在上单调递减，（ii）时，在上单调递增，在时，综上可知，当时，的最小值为；当时，的最小值为；当时，的最小值为考点：分段函数，用导数研究函数的单调性、最值6（1）当时，函数单调递增区间为，当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为；（2）【解析】试题分析：（1）先求出的解析式，然后求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可求出的单调区间；（

12、2）分别讨论的取值范围，根据函数极值的定义，进行验证可得结论.试题解析：（1），则，当时，时，当时，时，时，所以当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.（5分）（2）由（1）知，.当时，时，时，所以在处取得极小值，不合题意.当时，由（1）知在内单调递增，当时，时，所以在处取得极小值，不合题意.当时，即时，在内单调递增，在内单调递减，所以当时，单调递减，不合题意.当时，即，当时，单调递增，当时，单调递减，所以在处取得极大值，合题意.综上可知，实数的取值范围为.考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利

13、用导数研究函数的极值，体现了导数的综合应用，着重考查了函数的单调性、极值和导数的关系，要求熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值，把问题等价转化等是解答的关键，综合性强，难度较大，平时注意解题方法的积累与总结，属于难题.7（1）最大值为；（2）的取值范围是；证明见解析【解析】试题分析：（1）由在处有极值得，从而求得，然后由正负，研究的单调性，得极值，最值；（2）这类问题，可假设存在，不等式在上恒成立，考虑到，因此最好有时，则恒成立结论为真，由此研究单调性，求导，注意到，因此分类， ，分别研究的正负，得的单调性，可得结论；要证明此不等式，可能需要用到上面函数的结论，由上面的推理，取得不等式：，令，则，因此只要证得是递减数列，不等式的右边就证得，为此作差，不等式的左边，由，则有这里用到了不等式的放缩