2018年高考数学一轮复习第七章立体几何课时达标44立体几何中的向量方法(一)—证明平行与垂

1、2018 年高考数学一轮复习第七章立体几何课时达标 44 立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直理解密考纲利用空间向量证明平行与垂直关系，常出现于选择、填空题中，或在解答题立体几何部分的第(1)问考查，难度中等或较小.一、选择题1若直线I/平面 a ,直线I的方向向量为S、平面 a 的法向量为n,则下列结论正 确的是(C )A.s= ( 1,0,2),n= (1,0 , - 1)B.s=( 1,0,1) ,n= (1,2 , -1)C.s= ( 1,1,1),n= (1,2 , 1) D.s=( 1,1,1),n= ( 2,2,2)解析：由已知需sn= 0 ,逐个验证知，只有C 符合要求，故

2、选 C.2.若直线I的方向向量为a,平面 a 的法向量为n,能使I/a 的是(D )A.a= (1,0,0),n= ( 2,0,0)B.a=(1,3,5),n= (1,0 , 1)C.a= (0,2,1),n= ( 1,0, 1) D.a=(1 , 1,3) ,n= (0,3,1)解析：若I/a ,贝 ya丄n, 一一验证，可知选 D.23.直线I的方向向量s= ( 1,1,1),平面 a 的法向量为n= (2 ,x+x, x),若直 线I/平面 a ,则x的值为(D )A. 2B.2C.2D. 土 2解析：由已知得sn= 0 ,故一 1X 2+ 1X(x2+x) + 1X ( X)=0,解得

3、x=2.4.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，以CD CB CE所在直线分别为AB=2 ,AF= 1,M在EF上 ,且AM/平面BDE贝 UM点的解析：由已知得A2 ,2 , 0),R0,2 , 0),D( 2 , 0,0) ,E(0,0,1),设Mx,x,1).x,y,z轴建立空间直角坐标系,坐标为(C )A. (1,1,1)C.2则AM=(x 2 ,x 2 , 1) , E3D= ( 2 , 2 , 0) , E3E=(0 , . 2 , 1).设平面BDE3的一个法向量为n= (a, b,c).nBDJ2a_J2b= 0,贝叫即n丄BEj-羽b +c= 0.a=b,解得

4、，令b= 1，则n= (1,1，曲.C =p2b,又AM/平面BDE所以nXlM= 0.即 2(x- 2) + 2 = 0,得x=#，所以M#,乎,1 .5如图所示，在正方体ABCDABCD中，E, F分别在AD, AC上，且AE=|AD,AF=解析：以D点为坐标原点，以DA DC DD所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐 标系，设正方体棱长为1,2则A1(1,0,1) ,D(0,0,0),A1 ,0,0) ,C(0,1,0),E3 , 0 , 3 , F- ,3 , 0 , B 1,1,0),D(0,0,1),AD= ( - 1,0 , - 1), AC-1,1,0),BD= ( - 1

5、 , - 1,1),EF=- 3BD,ADEF=AC- EF= 0 ,从而EF/ BD,EFAD, EFAC故选 B.6.如图所示，在正方体ABCDA B C D中，棱长为a,M N分别为A B和AC上的点，A MA. EF至多与AD, AC之一垂直B. EFAD, EFACC. EF与BD相交D. EF与BD异面=AN=,2a3 ，则MN与平面BBCC的位置关系是4解析：建立如图所示的坐标系,又CD丄平面BBCC,所以CD= (0,a,0)为平面BBCC的一个法向量.因为IMNCD=0，所以 MNLCD,所以MM 平面BBCC,故选 B.二、填空题7.若直线I的方向向量e= (2,1 ,m)

6、，平面 a 的法向量n= (, 2, 2 j,且I丄 a ,则m= 4.解析：因为I丄 a ,所以e/n,即e=入n(入工 0)，亦即(2,1 ,m)=入 1, g, 2，所3 = 2, 以*则mr 4.ni= 2 入.&已知 XB= (1,5 , - 2) , C= (3,1 ,z)，若AB丄 BF= (x 1,y, - 3)，且BP丄平面ABC则实数x,y,z分别为号,-舟,4.|3 + 5 - 2z= 0 ,解析：由已知得X- 1 + 5y+ 6 = 0 ,丿x- 1+y- 3z= 0 ,= 4.A.斜交C.垂直匚4丄 - -%B.平行D.不确定40解得y=2a3 (2a a)则

7、Ma，3，X=-9.已知平面a内的三点A(0,0,1),B(0,1,0),qi,O,O)，平面 3 的一个法向量n=(51, 1 , 1),则不重合的两个平面a 与 3 的位置关系是平行.解析：由已知得，XB= (0,1 , 1) , AC= (1,0 , 1),设平面 a 的一个法向量为 m= (x,y,z),ml AB则ml AC令z= 1,得m (1,1,1).则A(1,0,0),巳 1,1,0),E1 , 2 , 1 ,F2, 1, 1 ,G0 , 2 1 ,10 ,BF= 2, 0, 1 ,而AG= 1, 2 , 1 ,所以 AG= EF+ BF,故AG与平面BEF共面,得y:=0.

8、又n=( 1,1, 1)，所以 m=n,即 m/n,所以 a/3 -三、解答题10.如图，在棱长为 1 的正方体ABCDA B C D中，E, F,G分别为A B,B C,C D的中占八(1 )求证：AG/平面BEF(2)试在棱长BB上找一点M使DML平面BEF并证明你的结论.0 &解析：(1 )以D为坐标原点，DADC DD所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系,CC丫B6又因为AG不在平面BEF内，所以AG/平面BEF设MI,I,m，则DM(1,1,m,由DMEF=0,DMBF= 0,所以一 2+m=0?m=2 ,所以M为棱BB的中点时，DML平面BEF11. (2015

9、北京西城二模)如图，直角梯形ABCDf等腰直角三角形 相垂直.AB/ CD ABL BC AB=2CD=2BC EAL EB(1) 求证：ABL DE(2) 求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；(3) 线段EA上是否存在点F,使EC/平面FBD若存在，求出iC；若不存在，请说明理由.解析：(1)证明：取AB的中点Q连接EO DO因为EB= EA所以EQLAB因为四边形ABCD直角梯形.AB=2CD=2BC, ABL BC所以四边形OBC为正方形，所以ABL OD因为EOTDO= O所以ABL平面EOD所以ABL ED因为平面ABEL平面ABCD且EOL AB所以EOL平面ABCD所以EOLO

10、D由OB OD OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz因为三角形EAE为等腰直角三角形，所以OA= OB= OD= OE设OB=1,所以O0,0,0) ,A1,0,0) ,B(1,0,0) ,C(1,1,0),D(0,1,0) ,E(0,0,1)所以EC=(1,1 , 1),平面ABE的一个法向量为OD=(0,1,0).设直线EC与平面ABE所成的角为 0 ,所以 sin 0 = |cosEC3D| =EC口 =申ABE所在的平面互I-C DC D7|DC|DD3即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为.8EF1存在点F,且式 3 时，有EC/平面FBDT1Tf 1证明如下：由 EF

11、= EA= 3, 0, - 3 ,F 3，0, 3，所以FB=3，0，3 ，BD=( i,i,o)设平面FBD的法向量为v= (a,b,c),取a= 1,得v= (1,1,2)因为EC- v= (1,1 , 1)(1,1,2) = 0,且EC?平面FBD所以EC/平面FBDEF1即点F满足EA=3 时，有EC/平面FBD12.已知正方体ABCDABCD的棱长为 3,点E在AA上,点F在CC上,且AE= FG=(1)求证：E, B, F,D四点共面；2若点G在BC上 ,BG=3,点M在BB上,GML BF,垂足为H,求证：EML平面BCGB.3证明：(1)以B为原点，以BA BC BB为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz,则B(0,0,0),曰 3,0,1),F(0,3,2),D(3,3,3),则 BE=(3,0,1), BF=(0,3,2),BD=vBD=0,则有vFB=0,f a+b= 0,所以 423a3c=0，k1.C R9(3,3,3),所以BD= BE+ BF由向量共面的充要条件知E,B,F, D四点共面