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1、湖北省宜昌市第二十二中学2019-2020学年高三数学理联考试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 已知定义在上的奇函数,当时,则关于的函数 的所有零点的和为( )a. b. c.
2、 d. 参考答案:d2. 在区间0,上随机地取两个数x、y,则事件“ysinx”发生的概率为()a. b. c. d. 参考答案:d在区间上随机地取两个数、构成的区域的面积为,事件“”发生的区域的面积为,所以所求概率为,故选d3. 曲线y=sinx,y=cosx与直线x=0,所围成的平面区域的面积为()abcd参考答案:d【考点】定积分【分析】本题利用直接法求解,画出图形,根据三角函数的对称性知,曲线y=sinx,y=cosx与直线x=0,所围成的平面区域的面积s为:曲线y=sinx,y=cosx与直线x=0,所围成的平面区域的面积的两倍最后结合定积分计算面积即可【解答
3、】解:如图,根据对称性,得:曲线y=sinx,y=cosx与直线x=0,所围成的平面区域的面积s为:曲线y=sinx,y=cosx与直线x=0,所围成的平面区域的面积的两倍s=故选d【点评】本小题主要考查定积分、定积分的应用、三角函数的图象等基础知识,考查考查数形结合思想属于基础题4. 设向量与的夹角为,且,则a. b. c.
4、60; d.参考答案:a因为,所以,所以,故选a.5. 曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为( )a. b. c. d. 参考答案:d6. 已知定义域为r的奇函数y=f(x)的导函数为y=f(x),当x0时,f(x)+0,若a=f()
5、,b=2f(2),c=(ln)f(ln),则a,b,c的大小关系正确的是( )aabcbbcacacbdcab参考答案:c【考点】利用导数研究函数的单调性 【专题】导数的概念及应用【分析】利用条件构造函数h(x)=xf(x),然后利用导数研究函数h(x)的单调性,利用函数的单调性比较大小【解答】解:设h(x)=xf(x),h(x)=f(x)+x?f(x),y=f(x)是定义在实数集r上的奇函数,h(x)是定义在实数集r上的偶函数,当x0时,h'(x)=f(x)+x?f(x)0,此时函数h(x)单调递增a=f()=h(),b=2f(2)=2
6、f(2)=h(2),c=(ln)f(ln)=h(ln)=h(ln2)=h(ln2),又2ln2,bca故选:c【点评】本题考查如何构造新的函数,利用单调性比较大小,是常见的题目本题属于中档题7. 已知全集,集合,那么等于a0,1,2 b1,2 c0,1 d2 参考答案:b8. 已知zi=2i,则复数z
7、在复平面对应点的坐标是()a(1,2)b(1,2)c(1,2)d(1,2)参考答案:a【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】由题意可得z=,再利用两个复数代数形式的乘除法法则化为a+bi的形式,从而求得z对应的点的坐标【解答】解:zi=2i,z=12i,复数z在复平面对应点的坐标是(1,2),故选:a9. 复数(i是虚数单位)的虚部是()aib1cid1参考答案:b【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解: =,复数的虚部是1故选:b【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题10. 已知为等比数列,下面结论中正确的是a
8、b c若,则d若,则参考答案:【知识点】等比数列的性质d3 【答案解析】b 解析:设等比数列的公比为q,则a1+a3=,当且仅当a2,q同为正时,a1+a32a2成立,故a不正确;,故b正确;若a1=a3,则a1=a1q2,q2=1,q=±1,a1=a2或a1=a2,故c不正确;若a3a1,则a1q2a1,a4a2=a1q(q21),其正负由q的符号确定,故d不正确故选b【思路点拨】a1+a3=,当且仅当a2,q同为正时,a1+a32a2成立;,所以;若a1=a3,则a1=a1q2,从而可知a1=a2或a1=a2;若a3a1,则a1q2a1,而a4a2=a1q
9、(q21),其正负由q的符号确定,故可得结论二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知正数满足,则的最大值为 ,当且仅当 .参考答案: 试题分析:由题设可得,故,解之得,此时,故应填.考点:二次不等式和二次方程的解法及运用12. 已知集合,则 &
10、#160; 参考答案:13. 曲线c是平面内到直线l1:x1和直线l2:y1的距离之积等于常数k2的点的轨迹给出下列四个结论:曲线c过点(1,1);曲线c关于点(1,1)对称;若点p在曲线c上,点a,b分别在直线l1,l2上,则不小于2k;设p0为曲线c上任意一点,则点p0关于直线x1、点(1,1)及直线y1对称的点分别为p1、p2、p3,则四边形p0p1p2p3的面积为定值4k2.其中,所有正确结论的序号是_参考答案:所以22k,故正确由题意知点p在曲线c上,根据对称性,上所有正确结论的序号是.14. 向量,均为非零向量,(2),(2) ,则,的夹角为参考答案:【考点】平面向量数
11、量积的运算【分析】根据向量垂直得出|=|=,代入向量的夹角公式计算即可【解答】解:,2=0,2=0,即|=|=,cos=,cos=故答案为15. 随机变量x服从正态分布,则_。参考答案:16. 当时,的最小值为,则实数的值为 . 参考答案:4 17. 若函数f(x)=asin(x+),(a0,0,|)的部分图象如图所示,则函数的单调增区间为 参考答案:16k6,16k+2,kz【考点】由y=asin(x+)的部分图象确定其解析式【分析】由函
12、数的图象的顶点坐标求出a,由周期求出,由五点法作图求出的值,可得函数的解析式,再利用正弦函数的单调性,求得函数的单调增区间【解答】解:由函数f(x)=asin(x+),(a0,0,|)的部分图象,可得a=,=2+2,求得=,再根据五点法作图可得?2+=,=,f(x)=sin(x+)令2kx+2k+,求得16k6x16k+2,可得函数的增区间为16k6,16k+2,kz,故答案为:16k6,16k+2,kz三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 已知函数(i)求的单调减区间(ii)在锐角abc中,角a、b、c的对边分别是a,b,c且满足,求的取值范围
13、.参考答案:解:(i) 得的单调减区间 (ii)由正弦定理得 又a、c均为锐角
14、; 略19. (16分)设函数f(x)=x(xr),其中m0(1)当m=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率;(2)求函数f(x)的单调区间与极值;(3)已知函数f(x)有三个互不相同的零点0,x1,x2,且x1x2,若对任意的xx1,x2,f(x)f(1)恒成立,求m的取值范围参考答案:【考点】导数的几何意义;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值 【专题】导数的综合应用【分析】(1),易得函数在所求点的斜率(2)当f(x)0,函数单增,f(x)0时单减,令f(x)=0的点
15、为极值点(3)由题意属于区间x1,x2的点的函数值均大于f(1),由此计算m的范围【解答】解:(1)当,故f'(1)=1+2=1,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率为1 (2)f'(x)=x2+2x+m21,令f'(x)=0,解得x=1m或x=1+mm0,所以1+m1m,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(,1m)1m (1m,1+m) 1+m (1+m,+) f(x)0 +0f(x)单调递减极小值 单调递增极大值单调递减f(x)在(,1m),(1+m,+)内是减函数,在(1m,1+m)内是增函数函数f(x)在x=1
16、m处取得极小值f(1m),且f(1m)=,函数f(x)在x=1+m处取得极大值f(1+m),且f(1+m)= (3)由题设,方程有两个相异的实根x1,x2,故,m0解得m,x1x2,所以2x2x1+x2=3,故x2当x11x2时,f(1)=(1x1)(1x2)0,而f(x1)=0,不符合题意,当1x1x2时,对任意的xx1,x2,都有x0,xx10,xx20,则,又f(x1)=0,所以f(x)在x1,x2上的最小值为0,于是对任意的xx1,x2,f(x)f(1)恒成立的充要条件是f(1)=m20,解得,由上m,综上,m的取值范围是(,)(14分)【点评】本题较为复杂,主要考查了直线的
17、点斜式,函数的单调性及函数的极值问题,注意掌握知识点间的关系20. (本小题满分12分)设公差不为0的等差数列的首项为1,且构成等比数列()求数列的通项公式;()若数列满足,求 的前项和参考答案:【知识点】等差数列与等比数列的综合;数列的求和d4 d5 【答案解析】()2n-1;()解析:(i)设等差数列的公差为d,(d),则构成等比数列,即解得d=0(舍去)或d=2, 1+2(n-1)=2n-1 .3分(ii)由已知()当n=1时, =;当时, ()=,=,()由(i),2n-1(),()7分两式相减得,=, .12分【思路点拨】
18、()设等差数列an的公差为d(d0),由a2,a5,a14构成等比数列得关于d的方程,解出d后利用等差数列的通项公式可得an;()由条件可知,n2时,=1(1)=,再由()可求得bn,注意验证n=1的情形,利用错位相减法可求得tn。21. 在abc中,已知?=3?(1)若cosc=求a的值;(2)若,求abc的面积参考答案:【考点】ht:三角形中的几何计算【分析】(1)由?=3?,得sinbcosa=3sinacosb,tanb=3tana?tana=1即可(2)由(1)知sinb?cosa=3sina?cosb,得c2=2b22a2,又由余弦定理得b、c,即可求得面积【解答】解:(1)?=3?,ab?accosa=3ba?bccosb即ac?cosa=3cosb?bc由正弦定理得,sinbcosa=3sinacosb又0a+b,cosa0,cosb0,?tanb=3tanacosc=,0c,tanc=2tanc=tan(a+b)=tan(a+b)=?tana=1,或tana=tanb=3tana,tana0,(2)由(1)知sinb?cosa=3sina?cosb,?,c2=2b22a2,又由余弦定理得,b=6,22. (本题满分12分)某种产品每件成本为6元,每件售价为x元(6<x<11),年销售为u万件,若
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