...我想把一章常见的题型归纳起来也应当是一种算法,学生了解.

1、通过培训算法，我想把一章常见的题型归纳起来也应当是一种算法，学生了解后便可以在思路上有据可依了。 不知总结的恰当不恰当，希望老师专家们批评指正。圆锥曲线中的八种常见题型解析几何是用代数的知识解决几何图形的自然学科，是用代数中方程与函数的思想通过建立坐标系把方程的解和曲线上的点的坐标联系起来，其解题步骤是建立直线方程和圆锥曲线方程( (消去X或y) )的方程2ax bx 0。当 a=0a=0 时，方程为一次方程有一解。直线与抛物线有一解，对双曲线来说，直线与渐近线平行。当 a=0a=0 时，方程是二次方程，再求判别式，通过 看方程解的个数，从而判定直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理是联系点的坐标

2、和方程解的桥梁。解析几何有以下常见八种类型题。一用定义和几何性质解决圆锥曲线本身问题。用回到定义的方法解决数学中的疑难问题，历来被数学家推崇，进一步加强对定义的研究，并在平时解题实践中加以应用，对于理解定义，发展思维，提高解题能力是非常有必要的2X例 1已知椭圆a=1 ( ab0)，ZF1PF2的外角平分线pL,过 Fi作垂线FIM，垂足为M,求 M 的轨迹方程。解析：延长 FiM 交 F2P 的延长线于点 N，pL为.F1PF2的外角平分线，则丨 NP| = | PF 丨二 MO 为JNF1F211的中位线,| M0| = | F2N | =一( I NP | + | PFz| )2211=

3、-(| PF | + | PF2|)=-2a=a22-M的轨迹为以原点为圆心a为半径的圆，设 M 的坐标为(x, y)，得 M 点的轨迹方程为：x2y2=a2。二直线与圆锥曲线相交时的中点弦问题。中点弦问题主要是求中点弦所在直线的方程问题和求弦中点的轨迹问题。解决方法有两种(1 1)根与系数的关系法：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐 标公式建立等式求解。(2 2) “点差法”：若直线 L L 与圆锥曲线 C C 有两个交点 A A 和 B B, 般地首先设出交点坐标A A(x-, y1), B(x2, y2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x

4、-,x2, y,y2, xx2, yy2，从而建立 了中点坐标和斜率的关系。例 2如图，线段 AB 的两个端点 A,B 分别在 x 轴，y 轴上滑动,AB=5,点 M 是线段 AB 上一55为半径的圆；当 -1 时，方2程表示椭圆。圆;一52j）,（o,5d）为焦点，长轴长为 如的椭圆。1“1 r122 2当=-时，曲线方程为 -1。设直线 L 与曲线交于C（x1, y1）, D（x2,y2）,则3942+ h=1川iMIIMld)/、94(1)-(2)得(洛X2XX1+X2)十( y2)(% + y) _0229管弋刊川川)川川1(2)坐4 _飞=2,%*2=2,.X2-X19(y1y2)x

5、? -洛洛所以所求直线方程为4x，9y -13 = 0。三以弦为直径的圆问题。点，且AMV.MBC0）。（1） 求点 M 的轨迹 E 的方程，并指明轨迹E 是何种曲线。（-）2当=时，过点 P（1,1）的直线与轨迹E 交于 C,D 两点,3且 P 为弦 CD 的中点，求直线 CD 的方程。解:(1 )设M(x, y),A(a,0),B(0, b),AM = (x - a, y),MB = (_x,b - y),/ AMMB,(xa, y)=(；x, b；y),a = (1，)xx _a - - x“1 +九TAB=5”；ay= b- y byb2= 25彳丄a2_ 2 21+丸22X.(1)x

6、() y =25. 5,()2( )21 1 -2y=1。当 =1 时，方程化为x2y2号，它表示以原点为圆心,当 0：1 时，方程表-5 1 - 25 1 _ 2(-,0),(L10,0）为焦点，长轴长为厂的椭当丸1 时，方程表示以（0,(2)2Xia99此类问题先联立方程组，再消去x（或y），得到关于y（或x）的方程，利用韦达定理和垂直等条件找到答案。例 3.直线 L：y = kx+l 与双曲线的右支交于不同的两点 A、E(1)求实数 k 的取值范围(2)是否存在实数 k,使得以线段 AE 为直径的圆经过双曲线 C的右焦点 F?若存在求出 k 的值；若不存在，说明理由解：(1)将直线丨的方

7、程y = kx 1代入双曲线 C 的方程2x2- y2= 1后，整理得(k2-2)x22kx 2=0依题意，直线l与双曲线 C 的右支交于不同两点，得解得k的取值范围为- 2：k :：: -.2。2k门20k -222-2k2-k22k2-2假设存在实数k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F( c,0),则由 FA! FB得 g-c)(x2-c)%y2= 0。既(% -c)(x2-c)(kx1)(kx21) = 0。整理得(k21)%x21 (k -c)(% x2) c21 = 0。. 1a把式及c 6代入式化简得5k2 2、6k -6 = 0。2解得k - -6*6或k

8、 =6f6(-2,2)(舍去)。556 + 76可知k使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点。5四共线问题。此类问题大胆设端点坐标，借助曲线方程构造方程组，利用韦达定理与方程联系在一起，达到消去参数的目的。.-：=(2k)2-8(k2 -2)0,(2 )设A、B 两点的坐标分别为(,%)、(x2,y2)，则由得X1X2x1x2例 4已知圆 C 的方程为(X，1)2 y2=8，定点 A(1,0),M 为圆上一动点，点 P 在 AM 上，点N 在 CM 上，且满足AM =2AP,NP AM=0,点 N 的轨迹为曲线 E.（1）求曲线 E 的方程。（2）若过定点 F（0,2）的直线交曲

9、线 E 于不同的两点 GH（点G 在 FH 之间）FG =.，求，的取值范围。解：（1）因为AM2AP,NP AM =0，所以 NP 是 AM 的垂直平分线，.NA=NM=NC|+|MN| =2j22=|CA二动点 N 的轨迹是以 C(-1, 0)，A(1,0)为焦点2的椭圆，丁心，曲线E的方程为筲。（2）当直线 GH 的斜率存在时，设 G（Xi,yi）,H（X2,y2），直线 GH 的方程为y=kX2，2X2- V1,r2222- 232得(2k1)x 8kx 6=0，A. =64k -24(2k1)0= k2y = kx2乜2= 厂坐2厂(2k21)(1 ) (2 k21),1616日n

10、,、丄1丄c 1 6 d c4。即42323扎33且满足二NC + NAX1X2J2k 1XfX， 丁.2k 1(Xi,yJ Y(X2, y2-2)XX?= (1 _，)x2n2凶X2(X*2)2 _ X1X2(1 一2c 1)216丸32+32k22k230： ： ： :。当直线 GH 的斜率不存在时,1综上1。3五.直线与圆锥曲线位置过定点问题。此类问题常将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y（或消X）得到关于X（或y）的一元二次方程形式，然后考虑二次 项系数是否为 0 0 及厶的情况来解决问题。例 5在平面直角坐标系过定点Xoy中,C（ 0,p）作直线与抛物线2 _ X= 2 py( p

11、0)相交于 A、B 两点。(1)(2)若点N是点C关于坐标原点 是否存在垂直于 y 轴的直线O 的对称点，求L,使得 L 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出 L 的方程；若不存在，说明理由。a_y1p2.2.212212p=OP OH =-(y1+p) (2a - p) = (a-一也 +a( p - a)342二PQ=(2 PH )2=4(a R)% +a(p a)。令a-卫=0，得a=，此时PQ = p为2 2 2定值，故满足条件的直线 L 存在，其方程为y =p，即抛物线的通径所在的直线。2六.直线与圆锥曲线相交弦的线段成比例问题。此类问题可将线段比例转化成点的坐标成

12、比例，再借助方程求解。例 6已知：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率为.5，(1) 求渐近线的方程。曲线的方程。解：(1)依题意知 N(0, -p)，可设 A(,y1), B(x2,y2)，直线 AB 的方程为y = kx十p，与22x =2py(p 0)联立得 x二2pv22消去 y 得x2-2pkx-2p2=0。由根与系数的关系得y = kx p21X+ X2= 2 pk, XX?= 2 p。于是S出BN= SBCN+ S出CN= 2 p X1 X2=p Xi X2=p . (xX2)2-4X1X2二p、4p2k28 p2= 2 p2. k22，当k=0时，(SABN)min=2 2

13、 p。(2)假设满足条件的直线L 存在，其方程为 y =a，AC 的中点为O，L 与以 AC 为直径的圆相交于点 PQ ， PQ 的中点为H， 贝U今宁)，3=庆二2 X12(如_ P)2=1、xj(2)过双曲线上点 P 的直线分别交渐近线于R,F2两点，且pp = 2pp2，SOPP2=9，求双解：(1 )由题意设双曲线的方程方程为:2X2a2 _計，由离心率为5知:-=5又c2= a2-2渐近线方程为:aby - - - x，解得y _ _2x。a设双曲线方程为：x22yC = 0)()，/yox=：，则tan：=2,44七.求参变数范围问题。此类问题主要考查直线与圆锥曲线的关系，考察综合

14、运用数学知识分析与解决问题的能力，一般是列岀一个等式，一个不等式，利用等式关系代入不等式解岀范围。例 7已知:a = (x,0),b = (1,y),(a喘)_( ,3b)(1) 求点 P(x, y)的轨迹 C 方程。(2) 若直线 L：y=kx+m(km式0)与曲线 C 交于 A、B 两点，D(0,-1)且有AD = BD试求m的取值范围。解: (1)；、/3b=(x,0)+.3(1, y)=(x、.3,、3y)a - .3b=(x,0)八、3(1, y)=(x3, f 3y)2(x 3) (x -一3)、.3y(-3)=0,整理得-y2=i.32-y2= 12 22易求tan 2一31T

15、i1sin 2：= op1op2tan 2 (x1x2y1y2)229又叮yi2xi,y22x?，S书PP2=2xix2=9，则xix2 = ?。-_ 1 TspP2=2opitan 2：(也可用Sopp2=丄J5xiJ5X2 sin 2。，又易求得sin 2 =-25SOpp?=2 xE =9，则9mx2)。2Xi又.PiP=2pp2，(xM,y yi) =2(X2x, y2y)P(2X23丫)。又由于P 点位于双曲线上，将P 点代入(“)中得=4, 双曲线的方程为21。416x2(I ,3：)_ (：一,3b).4 b_:3-(2) 考虑方程组3消去y得(1-3k2)x2-6kmx-3m2

16、-3 = 0，显然y = kx m(6km)2-4(1-3k2)(-3m2-3)=12(m2-3k21) 0,设x1,x2为方程的两根，则4联立：2 2m -3k1012得m4，又 4m-1,即卩m a，m .：0或m 4.4八.圆锥曲线上的点到定点的距离问题。此类问题通过图形很难解决，因此可转化为函数知识解决2例 8抛物线方程y =2px(p 0)上任意一点 p 到对称轴上定点 A(a,0)的距离最小是顶点, 求 a 的取值范围。解：设p(x, y)是抛物线上的任意一点，则PA = J(x -a)2+ y2= Jx2+2( p _ a) + a2x _ 0 .令t = x22(p -a)x a2，要想PA的最小值在顶点处取得，只需t 在0,十上单调递增，即 a-p_0,即 a_p。例 9已知中心在原点焦点在 x 轴上的椭圆 e=3，M( 0,-)到椭圆的最大距离为 ,7，求22椭圆方程。2 2xy解：由题意设椭圆方程：22=1( b0)，设椭圆上任意一点的坐标为p(x,y)，则4b2b2222y222x =4b (1-詁)=4b -4y .x,x2二6km2,设 AB两点