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文档简介
1、学习必备精品知识点第二章:实数知识梳理【无理数 】1. 定义:无限不循环小数的小数叫做无理数;注:它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。2. 常见无理数的几种类型:(1)特殊意义的数,如:圆周率以及含有的一些数,如:2-,3等;(2)特殊结构的数(看似循环而实则不循环):如: 2.010 010 001 000 01(两个1 之间依次多1 个 0)等。(3)无理数与有理数的和差结果都是无理数。如:2-是无理数(4)无理数乘或除以一个不为 0 的有理数结果是无理数。如2, (5)开方开不尽的数,如:39,5,2等;应当要注意的是:带根号的数不一定是无理数,如:9等;无理数也不一定带根号,如
2、:)3. 有理数与无理数的区别:(1)有理数指的是有限小数和无限循环小数,而无理数则是无限不循环小数;(2)所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成是分母为1 的分数),而无理数则不能写成分数形式。例: (1)下列各数: 3.141 、 0.33333 、75、252.、32、 0.3030003000003 (相邻两个3 之间 0 的个数逐次增加2) 、其中是有理数的有;是无理数的有。(填序号)(2)有五个数 :0.125125 ,0.1010010001 ,-,4,32其中无理数有 ( )个【算术平方根】 :1.定义:如果一个正数x 的平方等于a,即ax2,那么,这个正数x 就叫做 a
3、 的算术平方根, 记为: “a” ,读作, “根号 a” ,其中, a 称为被开方数。例如32=9,那么 9 的算术平方根是3,即39。特别规地, 0 的算术平方根是0,即00,负数没有算术平方根2. 算术平方根具有双重非负性:(1)若a有意义, 则被开方数a 是非负数。(2)算术平方根本身是非负数。3. 算术平方根与平方根的关系:算术平方根是平方根中正的一个值,它与它的相反数共同构成了平方根。因此,算术平方根只有一个值,并且是非负数,它只表示为:a;而平方根具有两个互为相反数的值,表示为:a。例: (1)下列说法正确的是()a1 的立方根是1; b24; (c) 、81的平方根是3;( d)
4、 、0 没有平方根;(2)下列各式正确的是()a、981 b、14.314.3 c 、3927 d、235(3)2)3(的算术平方根是。 (4)若xx有意义,则1x_。学习必备精品知识点(5)已知 abc的三边分别是,cba且ba,满足0)4(32ba,求 c 的取值范围。(6) (提高题)如果x、y 分别是 43 的整数部分和小数部分。求x y 的值 . 平方根:1. 定义:如果一个数x 的平方等于a,即ax2,那么这个数x 就叫做 a 的平方根;,我们称 x 是 a 的平方(也叫二次方根) ,记做:)0(aax2. 性质:(1)一个正数有两个平方根,且它们互为相反数;(2)0 只有一个平方
5、根,它是0 本身;(3)负数没有平方根例(1)若x的平方根是 2,则 x= ;16的平方根是(2)当 x 时,x23有意义。(3)一个正数的平方根分别是m和 m-4,则 m的值是多少?这个正数是多少?3.的性质与22)0()(aaa(1)77)0()22)如:(aaa(2)|2aa中, a可以取任意实数。如5|5|523|3-|3-2)(例: 1. 求下列各式的值(1)27( 2)27- )(3)249-)(2. 已知1) 12aa(,那么 a 的取值范围是。3. 已知 2x3, 化简|3|)-22xx(。【立方根】1. 定义: 一般地,如果以个数x 的立方等于a,即 x3=a,那么这个数x
6、就叫做 a 的立方根(也叫做三次方根)记为3a,读作, 3 次根号 a。如 23=8,则 2 是 8 的立方根, 0 的立方根是0。2. 性质:正数的立方根的正数;0的立方根是0;负数的立方根是负数。立方根是它本身的数有0,1 ,-1. 例:(1) 64 的立方根是(2) 若9 .28,89.233aba, 则 b 等于(3)下列说法中:3都是 27 的立方根,yy33,64的立方根是2,4832。其中正确的有() a、1 个 b、2 个 c、3 个 d、4 个【估算】用估算法确定无理数的大小:对于带根号的无理数的近似值得确定,可以通过平方运算或立方运算并采用“夹逼法” ,即两边无限逼近,逐级
7、夹逼来完成。首先确定其整数部分的范围,再确定十分位,百分位等小数部分。“精确到”与“误差小于”的区别:精确到1m ,是指四舍五入到个位,答案唯一;误差小于1m ,答案在其值左右学习必备精品知识点1m内都符合题意,答案不唯一。方法点拨: 解决此类问题的关键是依据平方根(立方根)及开平方(开立方)的定义,进而采取两边夹逼的办法求解。例: 估算下列各数的大小(1)(误差小于1 .0327(2)(精确到1.0327(3)(误差小于 133453用估算的方法比较数的大小用估算法比较两个数的大小,一般至少有一个是无理数,且在比较大小时,一般先采用分析法,估算出无理数的大致范围,再作具体比较当比较两个带根号
8、的无理数的大小时可用如下结论:(1)若 ab0, 则ba(2)若 ab,则3333baba或(3)若 a、b 都为正数,且ab 时,则 a2b2例:通过估算比较下列各组数的大小比较两个数的大小:方法一:估算法。如310 4 方法二:作差法。如ab 则 a-b 0. 方法三:乘方法. 如比较3362与的大小。例:比较下列两数的大小(1)2123-10与(2)5325与【实数】定义: (1)有理数与无理数统称为实数。在实数中,没有最大的实数,也没有最小的实数;绝对值最小的实数是0,最大的负整数是-1 。(2)实数也可以分为正实数、0 负实数。实数的性质: 实数 a 的相反数是 -a ;实数 a 的
9、倒数是a1(a0) ;实数 a 的绝对值 |a|=)0()0(aaaa,它的几何意义是:在数轴上的点到原点的距离。实数的大小比较法则:实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同:即正数大于0,0 大于负数;正数大于负数;两个正数,绝对值大的就大,两个负数,绝对值大的反而小。(在数轴上,右边的数总是大于左边的数) 。对于一些带根号的无理数,我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。实数的运算: 在实数范围内,可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一实数与数轴的关系:每个实数与数轴上的点是一一对应的学习必备精品知识点(1)每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。
10、(2)数轴上的每个点都表示已个实数。例: (1)下列说法正确的是() ;a、任何有理数均可用分数形式表示; b 、数轴上的点与有理数一一对应;c、1 和 2 之间的无理数只有2; d、不带根号的数都是有理数。(2)a,b 在数轴上的位置如图所示,则下列各式有意义的是( ) a、ba b、ab c、ba d、ab(3)比较大小 ( 填“ ”或“ 0,则 ab=1; ()2把下列各数分别填入相应的集合里| 3| ,213, 1234,227 ,0 ,9 , 318 , 2 ,8 , (2 3 )0,3 2,ctg45 ,1.2121121112 中无理数集合负分数集合整数集合非负数集合*3已知 1
11、x2,则|x 3|+(1-x)2 = 。4下列各数中,哪些互为相反数?哪些互为倒数?哪些互为负倒数?学习必备精品知识点3, 2 1, 3 , 0 3, 31, 1 +2 , 313互为相反数:互为倒数:互为负倒数:*5已知、是实数,且(x2 )2和 2互为相反数,求, y 的值6. ,b 互为相反数, c,d 互为倒数, m的绝对值是 2,求|a+b|2m2+1 +4m-3cd= 。*7已知( 3)224a+20,求 = 。三、解题指导:1下列语句正确的是()a、无尽小数都是无理数 b、无理数都是无尽小数c、带拫号的数都是无理数 d、不带拫号的数一定不是无理数。2和数轴上的点一一对应的数是()
12、a、整数 b、有理数 c 、无理数d、实数2零是()a、最小的有理数 b 、绝对值最小的实数c、最小的自然数 d、最小的整数4. 如果 a 是实数,下列四种说法:(1)2和都是正数,(2),那么一定是负数,(3)的倒数是1a, (4)和的两个分别在原点的两侧,几个是正确的有个*5比较下列各组数的大小: (1) 323 12 (2)ab0时, 1a1b6若 a,b 满足|4-a2|+a+ba+2 =0, 则2a+3ba的值是*7实数 a,b,c在数轴上的对应点如图,其中o是原点,且 |a|=|c| (1) 判定 a+b,a+c,c-b的符号(2) 化简|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b|
13、学习必备精品知识点*8数轴上点 a表示数 1,若 ab 3,则点 b所表示的数为9已知 x0 ,且 y|x| ,用 连结 x,x,|y| ,y。10最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么?11绝对值、相反数、倒数、平方数、算术平方根、立方根是它本身的数各是什么?12把下列语句译成式子:(1)a 是负数; (2)a、b 两数异号; (3)a、b 互为相反数;(4)a、b 互为倒数;(5)x 与 y 的平方和是非负数;(6)c、d 两数中至少有一个为零; (7)a、b两数均不为 0 。*13. 数轴上作出表示2 ,3 ,5 的点。四独立训练:10 的相反数是,3的相反数是
14、,38 的相反数是;的绝对值是,0 的绝对值是,2 3 的倒数是2数轴上表示 32 的点它离开原点的距离是。a表示的数是12,且 ab 13,则点 b表示的数是。3 33 , ,(1 2 )o, 227 ,0 1313,2cos60o, 31 ,1 101001000( 两 1 之间依次多一个0), 其中 无 理数有,整数有, 负 数有。4. 若 a 的相反数是 27,则 a| ;5若|a| 2 ,则 a= 5若实数 x,y 满足等式( x3)24y0,则 xy 的值是6实数可分为() a、正数和零 b 、有理数和无理数 c 、负数和零 d 、正数和负数*7若 2a 与 1a 互为相反数,则 a 等于 a= 8当 a 为实数时,a2
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