(浙江专版)高中数学第一章三角函数1.4.2第二课时正弦函数、余弦函数的单调性与最值学案新人教A版必修4

1、1第二课时正弦函数、余弦函数的单调性与最值课前自土学习率稳才能楼削预习课本 P3740，思考并完成以下问题(1) 正、余弦函数的单调区间分别是什么？(2) 正、余弦函数的最值分别是多少？取最值时自变量新知初探正弦函数、余弦函数的图象和性质正弦函数余弦函数图象r-i值域1,11,1单调性nn在 2kn=,2kn+ (k Z)上递增，n3n在 2kn+ , 2kn+ k (k Z)上递减在2knn,2knk Z)上递增， 在2kn,2kn+n(k Z)上递减最值nnX=2+2kn(k Z)时,ymax=1：x= +2kn(k Z)时，ymin= 1x= 2kn(k Z)时，ymax= 1:x= 2

2、kn+n(k Z)时，ymin= 1点睛(1)正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定义域上的单调函数，即正弦 函数、余弦函数在整个定义域内不单调.(2) 正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此 时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值.小试身手1.判断下列命题是否正确.(正确的打“V”，错误的打“X”)(1)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数.()存在x R 满足 sinx= . 2.()(3) 在区间0,2n上，函数y= cosx仅当x= 0 时取得最大值 1.()答案：X(2)X(3)Xx的值是多少?22.在下列区间中，使函数y= sinx为增函数

3、的是()n3nA. 0, nB. 2，2n nc. 2， 2D.n，2n答案：c3.函数y= 2 sinx的最大值及取最大值时x的值为()A.ymax= 3,x=2nB.ymax=1,x= + 2kn(kZ)nC.ymax= 3,x= + 2kn(k Z)nD.ymax=3,x= +2kn(kZ)答案：C4._ 函数y= 3+ 2cosx的最大值为.答案：5fea黑谍堂腓练设计.举能通娄邇題型一正、余弦函数的单调性n典例 求函数y= 3sin 2x的单调递减区间.nn解/y= 3sin 2x= 3sin 2x,n y= 3sin 2x是增函数时，ny= 3sin 2x是减函数.3nn函数y=

4、sinx在一+ 2kn, + 2kn(k Z)上是增函数，nnn +2kn2x +2kn,232卄n5n即一；+knWx0,co0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ox+0看作一个整体，可令“z=ox+0”，即通过求y=Asinz的单调区间而求 出函数的单调区间若o0,则可利用诱导公式将x的系数转变为正数.活学活用n求y= cos 3 2x的单调增区间.nn解：因为y= cos 2x= cos 2x,33n所以令n+2knW2x W2n+ 2kn,k 乙3典例比较下列各组数的大小:三角函数值的大小比较卜kn ,kZ.得2n+knx7n6+kn,kZ.所以函数y= cosny 2x 的

5、单调增区间为2 n .7nV+kn，6(1)sin 250 与 sin 260;(2)cos 畔与 cos14n8解(1)函数y= sinn3nx在,上单调递减，且 90 250 260 sin 260cos罟nn=cos2n 石=cos8，14ncos=cos4n2n T4n=cok函数y= cosx在0 ,n 上单调递减,5 n4n且 8cos86(1) 比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的 角，再利用函数的单调性比较.(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同 上.活学活用比较下列各组数的大小.n13n(1)cos

6、与 COS；(2)sin 194与 cos 160解：(1)cosnn8 =cos百，7n n解：因为x ,nn2n所以 2x+亍，丁，1n从而壬cos 2x+w1.nnn所以当 cos 2x+ = 1,即 2x+ = 0,x=时，ymin= 3 4= 1.n1_n2nn .1当 cos 2x+=恳，即卩2x+=,x=时，ymax= 34X-= 5.323362nn综上所述，当x=时，ymin= 1；当x=时，ymax= 513ncos=cosn2n =cosnn7=cos .n n0?cos 专,87n即 cos cos8713n(2)sin 194 = sin (180 + 14 ) =

7、sin 14 ,cos 160 = cos(180 20 ) = cos 20 = sin70n/ 0 14 70sin 14 ，即一 sin 14 sin 70故 sin 194 cos 160正、余弦函数的最值旦La+b= 3,a=1,解析：当a0 时，得a+b= 1,b= 2.a+b= 1,当a0,1wsinxw1,B.C.11- 1wsinxw1.12当 sinx= 1 时，ymax= ；当sin x=1时，ymin=#n(2) .1wcos 2x+3w1,n当 cos 2x+ = 1 时，ymax= 5 ;n当 cos2x+ = 1 时，ymin= 1.10.比较下列各组数的大小.(

8、1)sin 嶋与11nsin;5n16n丁与cFsin解：（1）I函数y= sinx在y,n上单调递减,且巴1711n17 .cos5n7tn=cos 2n二-=cos ,33316n2nCOS=cos 2n 2n =cos石.函数y= cosx在0 ,n 上单调递减,n2ncos严可，cos35n16n0,0, sinxV0.又一 10）的周期为n,则其单调递增区间为3nnA.kn ,kn +4(kZ)133.下列关系式中正确的是()A. sin 11vcos 10vsin 168B. sin 168vsin 11vcos 10C. sin 11vsin 168vcos 10D. sin 1

9、68vcos 10vsin 11解析：选 C sin 168 = sin(180 - 12 ) = sin 12 , cos 10 = cos(90 - 80)=sin 80 .因为正弦函数y= sinx在区间0,90 上为增函数，所以 sin 11vsin 12vsin 80 ，即卩 sin 11vsin 168vcos 10 .nn x cos +x(x R)的最小值等于(5.函数值 sin , sin 瞥，sin 穿从大到小的顺序为 _ （用“”连接）.5510n3n4n9nn解析：T二-v二一v匚才冗，又函数y= sinx在，n上单调递减,2551024n. 9nsin5 sin花c3

10、n,2knnB.2kn4+T(kZ)3nn2n周期T=n,二-=n, .3=2,二y=2sinco八n2x4, n由一2 +2knW2xk z,得k3nnnT赛xwk十,k乙4.函数y= 2sinn y=2sin -B. 2C.1nnnx+x362，cosn=2cos x+石cos x+67t=cosymin 1.3nsin 一5解析：选 CA. 3解析：选 C14答案：3n4n9nsin5sin5sin10156函数y= cosx在区间n,a上为增函数，则a的取值范围是 _ .解析： y = cosx在n, 0上是增函数，在0,n上是减函数， 只有一nVaw0时满足条件，故a ( n,0答案：(一n,07.设函数f(x) =：2sin 2x-n ,x R.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；n3n求函数f(x)在区间8，4上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值.2n解：(1)最小正周期T=n,nnn由 2kn 2x4 W2kn + (kZ),rn3n