二次函数全章知识总结及练习

1、学习必备欢迎下载二次函数（1）一、二次函数概念：一般地，形如（ abc， ， 是，0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而 bc， 可以为零二次函数的取值范围是二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2yax 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。2. 2yaxc 的性质：上加下减。3. 2ya xh的性质：左加右减。4. 2ya xhk 的性质：上加下减，左加右减。52yaxbxc 的性质三、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数2yaxbxc中， a 作为二次项系数，显然0a 当0a时，抛物线开口向上，a 的值越大，

2、开口越小，反之a 的值越小，开口越大； 当0a时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大总结起来， a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小2. 一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴 在0a的前提下，当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴左侧；当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的右侧二次函数（2） 在0a的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴右侧；当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；a的符号开口方向顶点

3、坐标对称轴最值增减性0a0aa的符号开口方向顶点坐标对称轴最值增减性0a0aa的符号开口方向顶点坐标对称轴最值增减性0a0aa 的符号开口方向顶点坐标对称轴最值增减性0a0aa 的符号开口方向顶点坐标对称轴最值增减性0a0a学习必备欢迎下载当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的左侧总结起来，在a 确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置ab的符号的判定：对称轴abx2在y轴左边则0ab，在y轴的右侧则0ab，概括的说就是“左同右异”3. 常数项 c 当0c时，抛物线与y轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当0c时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标

4、为0； 当0c时，抛物线与y轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负总结起来，c 决定了抛物线与y轴交点的位置即抛物线与y 轴交于（ 0， c） ；总之，只要abc， ， 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的四、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk ，确定其顶点坐标hk，； 保持抛物线2yax 的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：向右 (h0) 【或左 (h0) 【或下 (k0)【或左 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或向下 (kx2）并且在x轴上截得的线段长为10，则1x=_，2x=_，函数的解析式为_ 1

5、6. 点),3(aa在抛物线2xy上，则点a关于y轴的对称点的坐标是_ 17. 二次函数mmxxmy22)4(222的图象过原点，则m的值 _ 18. 已知二次函数kkxxky42)4(222的图象过)0, 1(点，则k_ 19. 将函数式53212xxy写成khxay2)(的形式为 _ 20. 已知点)2(1y，)315(2y，)511(3y，在函数7822xxy的图象上，则321yyy，的大小关系为 _ 二次函数（4）21. 二次函数4212xxy，函数值y随着自变量x的增大而减小，则x的取值范围 _ 22. 若)5,2(、)5,4(是抛物线上的两点，那么它的对称轴方程是_ 23. 二次函

6、数mxmmmxy1)3(22的图象关于y轴对称，则顶点的坐标为_ _ 24. 二次函数cbxaxy2的值永远为负值的条件是_ 25. 二次函数mxxy42与x轴有两个交点，则m的取值范围是_ 26. 抛物线82bxxy的顶点在x轴上，则b的值为 _ 27. 抛物线22)12(mxmxy与x轴有两个交点，则m的取值范围是_ 28. 二次函数1)1(22kxkkxy的图象开口向下，并与x轴交于不同的两点，则k范围 _ 29. a1, 1在抛物线122122xkxky上，则抛物线的对称轴是；学习必备欢迎下载若 b 与 a 关于抛物线的对称轴对称，则b 点的坐标 _ 30 二次函数)0(2cbacbx

7、axy、， 当x取1x、2x)(21xx时，函数值都相等， 当x取21xx时，函数值为 _ 确定二次函数的解析式1. 二次函数图像经过)1 , 1()3 , 1()1 , 0(、三点，求二次函数的解析式2. 抛物线的顶点是)8, 1(，且过)6,0(，求抛物线的解析式3. 已知二次函数当1x时有最大值是6，其图像经过点)8,2(，求二次函数的解析式4. 二次函数图象过)3, 2()0,3(、两点，并且以1x为对称轴，求二次函数的解析式5. 已知抛物线与x轴交于)0, 1()0,2(ba、两点，并经过点)8 ,2(p，求抛物线的解析式6. 已知抛物线cbxaxy2的顶点坐标)2,3(，且与x轴两

8、交点间的距离为4，求其解析式7. 当1x时，已知抛物线cbxaxy2取最大值是16，且它的图象在x轴上截得的线段长为8，求函数的解析式二次函数（5）8. 已知二次函数cbxaxy2的图象经过一次函数3xy与x轴、y轴的交点， 且过点) 1, 1(，求这个二次函数的解析式9. 抛物线12mxxy的顶点在一次函数12xy的图象上，求抛物线的解析式10.cbxxy2的对称轴在y轴的右侧， 抛物线与y轴交于)3,0(q，与x轴交点为a、b，顶点为 p，pab 的面积是 8，求解析式学习必备欢迎下载1 1 1o x y 二次函数图象与a、b、c 的关系：1.二次函数2yaxbxc的图象如图所示，下列结论

9、：ab0；c0；24bca0；1142abc 0.其中正确结论的个数是（）（a）1（b）2（c）3（d）4 2已知二次函数y=ax2+bx+c （a0）的图象如图所示，下列有5 个结论： abc0； b a+c；4a+2b+c0； 2c3b； a+bm（am+b） （m1） 其中正确的结论有（）3. 已知二次函数2yaxbxc的图象如图所示，有以下结论：0abc；1abc；0abc；420abc；1ca其中所有正确结论的序号是（）ab cd4. 已知二次函数y=ax2+bx+c （a0）的图象如图所示，与y 轴相交一点c，与 x 轴负半轴相交一点a，且 oa=oc ，有下列5 个结论：abc0

10、； ba+c； 4a+2b+c0； 2a+b=0； c+a1=-2，其中正确的结论有5. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a0 ）的图象如图所示，有下列6 个结论： abc0； ba+c； 2a+b0， b2-4ac0； 4a+2b+c0； a+bm(am+b)， （m 为不等于1 的任意实数） ；其中正确的结论有_. 二次函数（6）6. 小明从图所示的二次函数2yaxbxc的图象中， 观察得出了下面五条信息：0c； 0abc；0abc；230ab；40cb，你认为其中正确信息的个数有（）a2 个b3 个c 4 个d5 个7. 已知二次函数2yaxbxc的图象与x轴交于点( 2 0)，、1(

11、0)x ，且112x，与y轴的正半轴的交点在(0 2)，的下方下列结论：420abc；0ab；20ac；210ab其中正确结论的个数是个写出满足条件的函数解析式：1已知关于x 的函数同时满足下列三个条件：函数的图象不经过第二象限；当2x时，对应的函数值0y； 当2x时，函数值y 随 x 的增大而增大你认为符合要求的函数的解析式可以是：（写出一个即可）2将抛物线22yx沿x轴翻折后再平移，使其经过点（1， 3） ，那么变换后的抛物线的解析式可以是（写出一个即可） 3一个y关于x的函数同时满足两个条件：图象过（2,1 ）点；当x0 时，y随x的增大而减小. 这个函数解析式为_2102yx13x学习

12、必备欢迎下载4有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点甲：对称轴是直线x=4；乙：与 x 轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与 y 轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个点为顶点的三角形的面积为3二次函数应用专题1用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积s随矩形一边长l 的变化而变化。 当 l 是多少时，场地面积 s 最大？2. 如图 ,用一段长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长为 18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大,最大面积是多少？3分别用定长为l 的线段围成矩形和圆，哪种图形的面积大？为什么？4. 在周长为定值p 得扇形中，当半径是多少时，扇形面积最

13、大？最大面积是多少？二次函数（7）5.已知矩形的周长为36cm，矩形绕过它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形的长，宽各为多少时，旋转形成的圆柱侧面积最大？6.一块三角形废料如图所示，a 30 ， c90 ，ab 12。用这块废料剪出一个长方形cdef，其中，点 d、e、f 分别在 ac， ab，bc 上，要使剪出的长方形cdef 面积最大，点e 应选在何处？7. 如图，点 e 、f、g、h分别位于正方形abcd的四条边上，四边形efgh 也是正方形当点e位于何处时，正方形 efgh 的面积最小？8. 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与

14、池中心的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？9.下图中是抛物线形拱桥，当水面在时， 拱顶离水面2 m, 水面宽 4m, 水面下降 l m. 水面宽度增加多少?18m菜园墙abcdhgfedcba学习必备欢迎下载10. 某商品现在的售价为每件60 元，每星期可卖出300 件，市场调查反映：每涨价1 元，每星期少卖出10 件；每降价1 元，每星期可多卖出20 件，已知商品的进价为每件40 元，如何定价才能使利润最大？11. 某宾馆有50 个房间供游客居住，当每个房间定价为每天180 元时，房间会全部住满。当每个房间每天的定价增加10 元时，就会有一个房间空闲

15、，如果游客居住房间，宾馆每间每天需花费20 元的各种费用，房价定为多少时宾馆利润最大？二次函数（ 8）稍难1.已知二次函数215yxx, 当自变量x 取 m时, 对应的函数值大于0, 当自变量x 分别取 m-1,m+1 时对应的函数值1y、2y, 则必值1y,2y满足 ( )a. 1y0,2y0 b. 1y0,2y0 c.1y0 d.1y0,2y0 2.已知二次函数y=x2x+a(a0)，当自变量x取m时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中正确的是（）(a) 1m的函数值小于0 (b) 1m的函数值大于0 (c) 1m的函数值等于0 (d) m-1 的函数值与0的大小关系不确定3二次函数2y

16、axbx的图象如图， 若一元二次方程20axbxm有实数根，则m的最大值为（）a3b3 c6d9 4二次函数y=ax2+bx+1（ a 0）的图象的顶点在第一象限，且过点（1，0） 设 t=a+b+1，则 t值的变化范围是（）a0t1 b0t 2 c1t2 d 1t1 5 设二次函数y=x2+bx+c ， 当 x1时，总有 y 0，当 1 x3 时，总有 y 0，那么 c 的取值范围是 （）a c=3 b c3c 1 c3d c36若x1,x2(x1x2) 是方程 (x -a)(x-b) = 1(a 0) 的两实根分别为，则 ， 满足（）a. 12 b. 12 c. 12 d.28. 关于x

17、的方程2()0a xmb的解是x1= 2，x2=1（a，m，b均为常数，a 0） ，则方程2(2)0a xmb的解是。9. （2012 天津市 3 分）若关于x的一元二次方程（x2） （x 3）=m有实数根x1,x2，且x1x2，有下列结论：x1=2，x2=3；1m4；学习必备欢迎下载二次函数y=（xx1） （xx2）m的图象与x轴交点的坐标为（2， 0）和（ 3，0） 其中，正确结论的个数是（）（a）0 （b）1 （c）2 （d）3 10.已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列6 个结论： abc 0；b a+c；2a+b0，b2-4ac 0；4a+2b+c 0；a+

18、b m(am+b)，（ m为不等于1 的任意实数）；其中正确的结论有_. 11.已知二次函数2yaxbxc的图象与x轴交于点( 2 0)，、1(0)x，且112x，与y轴的正半轴的交点在(0 2)，的下方下列结论：420abc；0ab；20ac；210ab其中正确结论的个数是个12.已知二次函数y=ax2+bx+c （a0）的图象如图所示，与y 轴相交一点c，与 x 轴负半轴相交一点a，且 oa=oc ，有下列5 个结论：abc0； ba+c； 4a+2b+c0； 2a+b=0； c+a1=-2，其中正确的结论有二次函数（ 9）13利民商店经销甲、乙两种商品. 现有如下信息: 请根据以上信息，解答下列问题：（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元? （2）该商店平均每天卖出甲商品500 件和乙商品300 件经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降 0.1 元，这两种商品每天可各多销售100 件为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m 元. 在不考虑其他因素的条件下，当m 定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？14. 某汽车租赁公司拥有20 辆汽车据统计，当每辆车的日租金为400