三个推论及空间等角定理

1、1北师大版高中数学必修北师大版高中数学必修2第一第一章立体几何初步章立体几何初步复习：公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内1、判断直线是否在平面内的依据。、判断直线是否在平面内的依据。应用：2、检验一个面是否是平面。、检验一个面是否是平面。推论1 过一条直线和直线外一点有且只有有且只有一个平面。公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有有且只有一个平面 .al3、公理的推论这是确定平面的依据之一 推论推论2 过两条相交直线有且只有一个平面。推论3 过两条平行线有且只有一个平面 。公理3 如果两个不重合平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。应用应用：判

2、断多点是否共线 过一条直线和直线外的一点有且只有一个平过一条直线和直线外的一点有且只有一个平即：一条直线和直线外的一点即：一条直线和直线外的一点确定一个平面确定一个平面。bacl 推论推论2过两条相交直线有且只有一个平面过两条相交直线有且只有一个平面即：两条相即：两条相交直线确定一个平面交直线确定一个平面推论推论1推论推论3过两条平行直线有且只有一个平面。过两条平行直线有且只有一个平面。即：两平即：两平行直线确定一个平面行直线确定一个平面cabbacbaba7证：证： （存在性）（存在性）由公理3，经过不共线的三点a,b,c有一个平面 .bacl因为b、c在平面 内，所以根据公理1，直线l在平

3、面 内,即 是经过直线l和点a的平面 。（唯一性）（唯一性）因为b、c在直线l上，所以任何经过l和点a的平面一定经过a,b,c . 于是根据公理3，经过不共线的三点a,b,c的平面只有一个所以经过l和点a的平面只有一个.推论推论1证明证明在l上任取两点b、c，则a,b,c不共线;公理4 平行于同一条直线的两直线互相平行 （空间平行线的传递性）空间平行线的传递性）理解： （1）已知直线a、b、c，且ab，bc，则ac （2）空间平行直线具有传递性 （3）互相平行的直线表示空间里的一个确定的 方向复习复习: :相交直线相交直线:平行直线平行直线:共面直线共面直线异面直线异面直线:不同在任何一个平面

4、内，没有不同在任何一个平面内，没有公共点公共点 同一平面内，有且同一平面内，有且只有一个公共点；只有一个公共点； 同一平面内，没有同一平面内，没有公共点；公共点； 空间中的直线与直线之间有几种位置关系？空间中的直线与直线之间有几种位置关系？它们各有什么特点？它们各有什么特点？10思考思考4:4:为了表示异面直线为了表示异面直线a a，b b不共面的不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托衬托, ,如图如图. . baab11关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法最合适？最合适？ a. a. 平面内的一条直线和这平面外

5、的一条直平面内的一条直线和这平面外的一条直 线；线； b. b. 分别在不同平面内的两条直线；分别在不同平面内的两条直线； c. c. 不在同一个平面内的两条直线；不在同一个平面内的两条直线； d. d. 不同在任何一个平面内的两条直线不同在任何一个平面内的两条直线. . baab12知识探究：等角定理知识探究：等角定理思考思考1:1:在平面上，如果一个角的两边与在平面上，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个另一个角的两边分别平行，那么这两个角的大小有什么关系？角的大小有什么关系？ 13思考思考2:2: 如图如图, ,四棱柱四棱柱abcd-abcdabcd-abcd 的底面是平

6、行四边形，的底面是平行四边形，adcadc与与adc, adc, adcadc与与badbad的两边分别对应平行，的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何这两组角的大小关系如何 ?badcabdcbadcabdc14思考思考3:3:如图，在空间中如图，在空间中ab/ abab/ ab，ac/ acac/ ac，你能证明，你能证明bacbac与与bac bac 相等吗？相等吗？ bcab c a ee dd 15思考思考4:4:综上分析我们可以得到什么定理综上分析我们可以得到什么定理? ? 定理定理 空间中如果两个角的两边分别空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补对应平行，

7、那么这两个角相等或互补. 思考思考5:5:上面的定理称为上面的定理称为等角定理等角定理，在等，在等角定理中，你能进一步指出两个角相等角定理中，你能进一步指出两个角相等的条件吗？的条件吗？ 角的方向相同或相反角的方向相同或相反1两个平面重合的条件是（ ）a有两个公共点 b有无数个公共点c存在不共线的三个公共点 d有一条公共直线巩固练习：巩固练习：2下列命题中，真命题是（ ）a空间不同三点确定一个平面b空间两两相交的三条直线确定一个平面c两组对边相等的四边形是平行四边形d和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内c3空间有四个点，其中无三点共线，可确定 _ 个平面一个或四个一个或四个d17 例例1

8、1 如图，空间四边形如图，空间四边形abcdabcd中，中，e e，f f，g g，h h分别是分别是abab，bcbc，cdcd，dada的中点的中点. . (1) (1) 求证：四边形求证：四边形efghefgh是平行四边形是平行四边形. . (2) (2) 若若ac=bdac=bd，那么四边形，那么四边形efghefgh是什么图形是什么图形? ?fgdaebch18 例例2 2 如图是一个正方体的表面展开图如图是一个正方体的表面展开图, ,如果将它还原为正方体，那么如果将它还原为正方体，那么abab，cdcd，efef，ghgh这四条线段所在直线是异面直线这四条线段所在直线是异面直线的有

9、多少对的有多少对? ? fahgedcbcdbaefgh例2、正方体abcda1b1c1d1中，ac1平面a1bd=m，求作点m。 本题体现了转化的思想，将在空间难以把握的线面交点转化为同一平面内的线线交点，确定了交点的位置。 a ad dc cb bc c1 1b b1 1a a1 1d d1 1例3：求作下列截面：adcbc1b1a1d1 mndmnnm作截面为中点，,) 1 (adcbc1b1a1d1 m ndmnnm为中点，作截面为中点，作截面,练习：(2)正方体abcda1b1c1d1中，试画出过其中三条棱的中点p,q,r的平面截得正方体的截面形状。23作业作业: :p26p26习题习题1.