线性代数笔记

1、线性代数笔记第一章行列式1第二章矩阵5第三章向量空间32第四章线性方程组49第五章特征值与特征向量错误 ! 未定义书签。第一章行列式行列式的性质给定行列式,将它的行列互换所得的新行列式称为D 的转置行列式，记为或。性质 1 转置的行列式与原行列式相等。即( 这个性质表明:行列式对行成立的性质,对列也成立 ,反之亦然 )性质 2 用数 k 乘行列式D 的某一行（列）的每个元素所得的新行列式等于kD。推论 1 若行列式中某一行（列）的元素有公因数，则可将公因数提到行列式之外。推论 2 若行列式中某一行（列）的元素全为零，则行列式的值为0。可以证明：任意一个奇数阶反对称行列式必为零。性质 3 行列式

2、的两行（列）互换，行列式的值改变符号。以二阶为例推论 3 若行列式某两行（列），完全相同，则行列式的值为零。性质 4 若行列式某两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值为零。性质5 若行列式中某一行（列）元素可分解为两个元素的和，则行列式可分解为两个行列式的和，注意 性质中是指某一行（列）而不是每一行。性质 6 把行列式的某一行（列）的每个元素都乘以加到另一行（列），所得的行列式的值不变。范德蒙德行列式例 10 范德蒙行列式 .=(x2-x1)(x3-x1)(x3-x2)1.4克莱姆法则定理对于 n 阶行列式定理如果 n 个未知数， n 个方程的 线性方程组 的系数行列式 D0, 则方程组有惟

3、一的解 :定理如果 n 个未知数n 个方程的 齐次方程组 的系数行列式解，没有非零解。推论如果 齐次方程组 有非零解，则必有系数行列式D=0。D0，则该方程组只有零第二章矩阵一、矩阵的运算1 、矩阵的加法设 A= （ aij ） m×n ， B=（ bij ） m×n ，则A+B= （ aij +b ij） m×n矩阵的加法适合下列运算规则：（ 1）交换律： A+B=B+A（ 2）结合律：（ A+B ）+C=A+ （ B+C ）（ 3） A+0=0+A=A此处 0 表示与 A 同型的零矩阵，即A= （a××ij ） mn ， 0=0m n（4）

4、矩阵 A=（ aij ）m×n，规定 -A= （ -aij） m×n，（称之为 A 的负矩阵），则有 A+ （ -A ）=（ -A ） +A=02 、矩阵的数乘设 A= （ aij ） m×n， K 为数，则KA= （ Kaij ） m×n矩阵的数乘适合下列运算规则：（ 1） K （ A+B ） =KA+KB（ 2）（ K+L ）A=KA+LA（ 3）（ KL ）A=K （ LA ）（ 4） 1*A=A（ 5） 0*A=0 （左端的零是指数 0，而右端的“ 0”表示一个与 A 行数列数相同的零矩阵。 ）3、矩阵的乘法设 A= （ aij ） m×

5、;n， B=（ bjk ） n×l，则A*B=C= （ c）m×lik其中 C= aij bjk （j=1 ， n）注意；两个矩阵相乘必须第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数；矩阵乘法不满足交换律 ，即 AB 不一定等于 BA ；矩阵乘法有零因子，即A 0（零矩阵）， B 0（零矩阵），但有可能 A*B=0 （零矩阵）矩阵的乘法适合以下法则：（ 1）结合律：（ AB ）C=A （ BC ）（ 2）分配律（ A+B ） C=AC+BCC（A+B ） =CA+CB（3） k（ AB ） =（ kA ） B=A （kB ），此处 k 是一个数。由于矩阵乘法的结合律，故对于方阵A

6、来说， A 的方幂是有意义的，即A k=A*A A 共 k个 A 相乘，从而有（1） A kA l=A k+l（2）（ A k） l=A kl（3） I nA=AI n=A4、矩阵的转置将矩阵 A 的行变成列，列变成行得到的矩阵称为A 的转置矩阵，记作AT或A/注意 A 是 m× n 矩阵，则 A T 为 n× m 矩阵矩阵的转置适合下列运算法则：（1）（ A T） T=A（2）（ A+B ）T =A T+B T（3）（ kA ） T=kA T（4）（ AB ） T=BT A T5、方阵的逆矩阵设 A，B 为同阶可逆矩阵。常数k0。则1.可逆，且。AA -1 =A -1A=

7、E2.AB 可逆，。3.也可逆，且。 （ A -1） k=（ Ak） -14.kA 也可逆，且。（ 注： K 不能为 0）5. 消去律设 P 是与 A， B 同阶的可逆矩阵，若PA=PB，则 A=B。若 a0， ab=ac 则 b=c。6. 设 A 是 n 阶可逆方阵。定义，并定义。则有，其中 k，l 是任意整数。7. 设 A 是 n 阶可逆方阵，则。逆矩阵的定义定义设 A 是一个 n 阶方阵。若存在一个n 阶方阵 B 使得。则称 A 是可逆矩阵，也称非奇异阵。并称。若这样的 B 不存在，则称A不可逆。定理可逆矩阵A 的逆矩阵是惟一的。定理阶方阵 A 可逆的充分必要条件是，且当时，。推论 设

8、A， B 均为 n 阶方阵，并且满足AB=E，则 A,B 都可逆，且。分块矩阵的概念对于行数列数较高的矩阵横线和竖线将其分成若干个小矩阵。阵称为分块矩阵。A，为运算方便，经常采用分块法处理。即可以用若干条每个小矩阵称为A 的子块， 以子块为元素的形式上的矩几个特殊的分快矩阵的运算（ 1）准对角矩阵方阵的特殊分块矩阵形如的分块矩阵称为分块对角阵或准对角阵，其中，均为方阵。（ 2）两个准对角（分块对角）矩阵的乘积则（ 3）准对角矩阵的逆矩阵若均为可逆阵。可逆，且。（ 4）准上（下）三角矩阵的行列式。可以证明 （1）用初等行变换方法求逆矩阵时，不能同时用初等列变换！（ 2）在求矩阵的秩时，可以只用初

9、等行变换，但也允许用初等列变换，而且不必化成简化行阶梯形矩阵定义（线性方程组的初等变换）称下列三种变换为线性方程组的初等变换。（ 1）两个方程互换位置；（ 2）用一个非零的数乘某一个方程；（ 3）把一个方程的倍数加到另一个方程上。显然，线性方程组经初等变换后所得的新方程组与原方程组同解。事实上，上述解线性方程组的过程，只要对该方程组的增广矩阵做相应的行变换即可。二、矩阵初等变换的定义定义分别称下列三种变换为矩阵的第一、第二、第三种行（列）初等变（ 1）对调矩阵中任意两行（列）的位置；（ 2）用一非零常数乘矩阵的某一行（列）；（ 3）将矩阵的某一行（列）乘以数k 后加到另一行（列）上去。把行初等

10、变换和列初等变换统称为初等变换。定义如果一个矩阵A 经过有限次的初等变换变成矩阵B，则称 A 与 B 等价，记为AB。等价具有反身性即对任意矩阵A，有 A 与 A 等价；对称性若 A与 B等价，则B与 A等价传递性若 A与 B等价， B与 C等价，则A与 C等价。三、矩阵的行最简形式和等价标准形简单地说， 就是经过行初等变换可以把矩阵化成阶梯型，进而化成行最简形，而经过初等变换（包括行和列的）可以把矩阵化成等价标准形。阶梯形矩阵的定义：满足（ 1）全零行（若有）都在矩阵非零行的下方；（ 2）各非零行中从左边数起的第一个非零元（称为主元）的列指标j 随着行指标的增加而单调地严格增加的矩阵称为阶梯

11、形矩阵。（每个阶梯只有一行）行最简形式以称满足（ 1）它是阶梯形；（2）各行的第一个非零元都是1；（ 3）第一个非零元所在列的其它元素均为零的矩阵为行最简形式。若允许再作初等列变换可继续得这最后的式子就是A 的等价标准形。 一般，任何一个矩阵的等价标准形都是分块对角阵，也可能为或。初等方阵定义对单位阵施行一次初等变换所得到的矩阵称为初等方阵。以三阶方阵为例第一种：第二种：第三种 :显然，初等阵都是非奇异阵。用初等变换法求逆矩阵因为任意非奇异阵只经行初等变换就可化成单位阵，即则这表明， 当对 A 作初等行变换将A 变成单位矩阵E 时，若对单位矩阵做完全相同的初等变换则单位矩阵的初等变换法 :E

12、将变成。于是有求逆矩阵写出分块矩阵作初等行变换，当A 化成单位阵时， E 就化成为。用初等变换法求解矩阵方程一元一次方程的标准形矩阵方程的三种标准形ax=b （a0）AX=BXA=B（ 3） AXB=C则解法：对第一类作分块矩阵对 A 作初等行变换，当A 变成单位阵时，由于B做的是同样的初等行变换，则得到的是对于第二类的可。先转化为第一类的，即由两边转置得按上例的方法求出进而求出X二 . 初等变换的性质定理设线性方程组的增广矩阵经有限次的初等行变换化为，则以与为增广矩阵的方程组同解。定理任何矩阵都可以经有限次初等行变换化成行最简形式，经有限次初等变换（包括行及列） 化成等价标准形。 且其标准形

13、由原矩阵惟一确定，而与所做的初等变换无关。定理设 A 是一个 m×n阶的矩阵，则（ 1） 对 A 做一次初等行变换，就相当于用一个与这个初等变换相应的m阶初等矩阵左乘 A；（ 2） 对 A 做一次初等列变换，就相当于用一个与这个初等变换相应的n 阶初等矩阵右乘 A；推论 1 方阵经初等变换其奇异性不变。定理对于任意的m×n阶矩阵 A，总存在 m阶可逆矩阵P 和 n 阶可逆矩阵Q，使得推论 2n 阶可逆阵（非奇异阵）必等价于单位阵。因为否则，其等价标准形不可逆。定理n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是A 能表示成若干个初等阵的乘积。证 充分性是显然的。下面证必要性。“”已知A

14、 为 n 阶可逆阵，则A 与等 价 ， 故 存 在 有 限 个n阶 初 等 阵，即，亦即 A 能表示成有限个初等矩阵的乘积。必要性得证。推论 3任意可逆阵A（非奇异阵） 只经过有限次的初等行（列） 变换就能化成单位阵。对 n 阶方阵 A，初等变换不改变其奇异性。定义矩阵 A 的最高阶非零子式的阶数称为该矩阵的秩。记为 r（ A），有时也记为秩（A）。事实上，如果A 有一个 r 阶子式不等于零，而所有r+1 阶子式都等于零，则r （ A）第三章向量空间一、 n 维向量线性运算的定义和性质;定义 ：设是一组 n 维向量构成的向量组。如果存在一组不全为零的数使得则称向量组线性相关。否则，称向量组线性

15、无关。向量线性运算的性质： 向量的运算满足下列 8 条运算律：设，都是 n 维向量，k， l 是数，则（ 1） += +；（加法交换律）（ 2）（ +） + =+（ +）；（加法结合律）（ 3） +0=；（ 4） +（-） =0（ 5） 1× =（ 6） K （ +） =k +k；（数乘分配律）（ 7）（ k+l ） =k +l ；（数乘分配律）（ 8）（ kl ） =k（ l ）；（数乘向量结合律）二、 n 维向量组的线性相关性1. 向量组的线性相关性的定义和关于线性相关的几个定理;（ 1）m个 n 维向量线性相关的充分必要条件是至少存在某个是其余向量的线性组合.线性无关的充分必要

16、条件是其中任意一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.（2）如果向量组线性无关,而线性相关,则可由线性表示, 且表示法唯一.（ 3） 线性相关的向量组再增加向量所得的新向量组必线性相关. （部分相关，则整体相关；或整体无关，则部分无关）（ 4）若向量组线性无关 , 则接长向量组必线性无关 .2. 判断向量组的线性相关性的方法（ 1）一个向量 线性相关（ 2）含有零向量的向量组必线性相关；（ 3）向量个数向量维数时， n 维向量组线性相关；（ 4）向量个数 > 向量维数时 , 向量组必线性相关；（ 5） 若向量组的一个部分组线性相关，则向量组必线性相关；（ 6）若向量组线性无关，则其接长向

17、量组必线性无关；（ 7）向量组线性无关向量组的秩所含向量的个数，向量组线性相关向量组的秩<所含向量的个数；（ 8）向量组必要条件是齐次方程组线性相关（无关）的充分有（没有）非零解.向量组的秩一个向量组1， 2， m 的部分组i1， i2 ， ，ir 满足如下条件：（ 1） i1 ， i2 ， ， ir 线性无关（ 2）该向量组任意一个向量添加到这个部分组后得到的向量组线性相关则称 i1， i2， ，ir 为向量组1， 2， m 的极大线性无关部分组。性质：（ 1）一个向量组的任意向量可由极大无关组线性表示且表示式系数唯一；（ 2）一个向量组的两个极大无关组所含向量个数相等。一个向量组1，

18、 ， m的极大无关组所含向量个数称为向量组的秩，记作2r（ 1， 2， m）。一个 m× n 矩阵 A ，其行向量组的秩称为矩阵A 的行秩；列向量组的秩称为矩阵A 的列秩。性质：（ 1）一个 m× n 矩阵 A 的行秩等于列秩等于矩阵A 的秩。（ 2）对 m× n 矩阵进行初等变换不改变列向量之间的线性关系，进行初等列变换不改变行向量之间的线性关系， 因此可以用初等行变换求一组列向量的极大无关组并将其余向量用极大无关组线性表示。三、向量组的极大无关组及秩1. 极大无关组的定义2. 向量组的秩 求向量组的秩和极大无关组，并将其余向量由该极大无关组线性表示的的方法四、

19、子空间的定义，基、维数、向量在一组基下的坐标向量空间的概念定 义维 实 向 量 的 全 体 构 成 的 集 合 称 为 实n维 向 量 空 间 ， 记 作。定义设 V 是的一个非空子集， 且满足（1）若则；（1）若，则则称 V 是的子空间。定义对任意的一组n 维向量，由它们的全体线性组合组成的集合生成的子空间，记为基，维数，坐标定义设 V 是的一个向量空间（子空间）。若V 中的向量组；（ 1）线性无关；（ 2）V 中的任意一个向量，都能由线性表出（,线性相关，且表示法惟一），即存在惟一一组数，使得。则称向量组为 V 的一个基，称r 为向量空间 V 的维数，称为向量 在这个基下的坐标。没有基，定义为0 维。第四章线性方程组一、线性方程组的三种表示方法二、齐次线性方程组1. 齐次方程组解的性质设 , 都是 Ax 0 的解，则C1 C2 也是 Ax 0 的解（ C1， C2 为任意常数）2. 齐次方程组有非零解的条件1）齐次方程组AX 0 有非零解的充分必要条件是r （A）未知数的个数（即矩阵A 的列数） .2） n 个未知数n 个方程的齐次方程组AX0 有非零解的充分