(完整版)高中数学公式大全完整版

1、高中数学常用公式及常用结论 1.包含关系 AI B A AUB B A B CUB CU A AI CUB CU AU B R 2 集合a,a2丄,an的子集个数共有2n个；真子集有2n - 1 个；非空子集有2n - 1 个；非空的真子集有2n - 2 个 3充要条件 (1) 充分条件：若 p q，则p是q充分条件 (2) 必要条件：若 q p，则p是q必要条件 (3) 充要条件：若 p q，且q p，则p是q充要条件 数y f(x a)与y f(b x)的图象关于直线x 10.根式的性质 (1)设 x1 x a,b,X1 X2那么 (X1 X2 f(xj f (X2) 0 f (xj f(

2、X2)0 f (x)在a,b上是增函数； X1 X2 (X1 X2) f (X1) f (X2) 0 f (X1) f(X2)0 f (x)在a, b上是减函数. X X2 (2)设函数 y f (x)在某个区间内可导，如果 f (x) 0,贝U f (x)为增函数；如果f (x) 0,贝U f(x)为减函 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然 4.函数的单调性 5.如果函数 f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内 ，和函数f(x) g(x)也是减函数；如果函数 y f (u)和u g(x)在其对应的定义域上都是减函数 ，则复合函数y fg(x)是增函数 6 奇偶函数

3、的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么 这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数. 数 7.对于函数 y f(x)(x R), f (x a) f (b x)恒成立，则函数f (x)的对称轴是函数 x a b 卄人弋 ;两个函 2 8.几个函数方程的周期(约定 a0) (1) f(x) f(x (2), f (x a) a)，则f (x)的周期 T=a； 1 (f (x) 0)，或 f (x f(x) a) 1 f(x) (f(x) 0),则f(x)的周期 T=2a； 9.分数指数幕 (

4、1) an 1 a 0,m, n N，且 (2) (a 0,m, n N ，且 n 1). 幕的对数： log a M n nlog a M ； logambn nloga b m (1)(n、a)n a. (2)当n为奇数时, 当n为偶数时，-nan |a| a,a 0 a,a 0 11. 有理指数幕的运算性质 (1) ar as ar s(a 0,r, s Q) .(2) 12. 指数式与对数式的互化式 log a N b .负数和零没有对数，.1 的对数等于 0： loga1 r s (a ) b a rs a (a 0, r,s Q) .(3) N (a 0,a 1,N 0) 0,.底

5、的对数等于 (ab)r 1: log a a b (a 0,b 0,r Q). .积的对数： loga(MN) log a M log a N，商的对数：log a log a M log a N , N 1 , 13.对数的换底公式 log a N lOgm N ( a 0,且 a 1, m 0,且 m 1, N 0). log ma loga b ( a 0,且 a 1, m,n 0 ,且 m 1,n 1, N m 21、二倍角的正弦、余弦和正切公式: 22.三角函数的周期公式 17.等比数列的通项公式 n 1 an ag n / q (n * N ); q a1(1 qn) ,q 1 a

6、1 anq q j M 其前 n项的和公式为sn 1 q 或1 q n a1,q 1 nc,q 1 其前 n项和公式为sn n n(n 1)d 2 1 18.同角三角函数的基本关系式 函数y sin( x ),x R 及函数 y cos( x 为常数，且A 0, 3 0）的周期T 函数y tan（ x 23.正弦定理 Z （A, 3 , 为常数，且AM 0,3 0）的周期T sin A sin B 24.余弦定理 c sin C 2R. 推论 logam bn 0). 15. a s, S n 1 s 1, n （数列an的前 n项的和为sn 2 a2 L an). 16.等差数列的通项公式

7、an a1 (n 1)d * dn a1 d (n N )； n a.) 2 分2 (a1 1d)n. sin2 cos2 1，tan =列 cos 19 正弦、余弦的诱导公式 n 1）2 sin n 1 si n(n 2 1) 2 cos （n为偶数） （n为奇数） 20 和角与差角公式sin（ )sin cos cos sin cos( )cos cos msin sin tan( tan tan 1 mta n tan asin bcos = . a2 b2 sin( ）（辅助角 所在象限由点（a,b）的象限决定，tan b -). a sin2 cos2 2sin cos 2 2 co

8、s sin 2cos2 1 1 2sin2 ( cos2 1 cos2 . 2 ，sin 2 1 cos2 ) 2 tan2 2ta n 1 tan2 2 2 2 2 a 2cacosB; c a b 2abcosC .2 2 2 2 2 a b c 2bccosA; b c 1 25. 面积定理S ab sinC 2 26. 三角形内角和定理 1 bcsin A 2 1 casin B 2 在厶 ABC 中，有A B C (A B) 2C 2 2(A B). 27. 实数与向量的积的运算律 设入、卩为实数，那么 (1)结合律：入(a)=(入 28. 向量的数量积的运算律： (1) a b=

9、b a (交换律) 30. 向量平行的坐标表示 )a;(2) ；(2) 第一分配律: (a) b= 0，贝 y aPb(b b=| a| b|cos 0. (入+卩)a=入 a+卩 a; (3)第二分配律: (a b) = a b= a ( b) ；(3) 入 (a+b)=入 a+ 入 b. (a+b) c= a c +b c. 设 a=(x1) yj , b=(X2, y2)，且 b 31. a与 b 的数量积(或内积)a 32. 数量积 a b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos0的乘积. 33. 平面向量的坐标运算 (1)设 a=(X1,yJ , b=(X2

10、, y2)，则 a+b=(x 设 a=(x1,yj , b=(X2, y?)，则 a-b= (x uuu uur (3)设 A(x1,yJ , B(X2,y2),则 AB OB 设 a=(x, y), R，则 a=( x, y). (5)设 a=(x1,yj, b=(X2”2)，则 a b= (x X1X2 yy _2 2 2 X1 y1 、X2 uur ur 34.两向量的夹角公式cos J 0) xm X2% 0. X2,W y2). X2,yi y2). uur OA (X2 Xi,y2 y) yy). 35.平面两点间的距离公式 dA,B = |AB| VAB ,(X2 xj2 (y2

11、 %)2 (A(X1, yj , B(X2”2). (a=(x1, yj ,b=(X2, y2). y2 uuu- AB 36.向量的平行与垂直 设 a=(x1, y) b=(X2,y2), 且 b 0，则 b b=入 a x1 y2 X2y1 0. a b(a 0) a b=0 X1X2 y“2 37.三角形的重心坐标公式 0. ABC 三个顶点的坐标分别为A(x1,y J、 B(x2,y 2)、C(x3,y 3), ABC 的重心的坐标是 x1 x2 x3 Y1 Y2 Y3 G( 3 ). ABC所在平面上一点，角 代B,C所对边长分别为a,b,c，则 uuu 2 uui2 uuur 2

12、(1) O 为 ABC的外心 OA OB uuu uuu uuu 。歸曲O为ABC的重心 (3) O 为 ABC的垂心 OA OB OB OC OC OA. 38.常用不等式： (1) a,b R 2 a b2 2ab(当且仅当 a = b 时取 =”号). (2) a,b R a b 2 Tab (当且仅当 a= b 时取 =”号). (3) c 3 b a b a b ). 39 已知x,y都是正数，则有(1)若积xy是定值p，则当 uuu OA uuu OB uur r OC 0. x y时和x y有最小值2 p ； (2)若和x y是定值 s，则当x y时积xy有最大值 40.含有绝对

13、值的不等式 2 2 a x a 当 a 0 时, x2 1 s . 4 2 a 41.斜率公式 k y2 y1 (R(X1, yj、P2(X2, y2). x X1 42.直线的五种方程 (1)点斜式 y y1 k(x xj (直线1过点P| (x1, y-i)，且斜率为 k). (2)斜截式 y kx b (b 为直线1在 y 轴上的截距). (3)两点式 y y1 X X1 (y1 y)( R(X , yj、卩 区，y?) (X1 X2 ) y2 y1 X2 X1 (4)截距式 x y 1 ( a b分别为直线的横、纵截距， a、b 0) a b (5) 一般式 A By C 0 (其中

14、A、B 不同时为 0). 43.两条直线的平行和垂直 2 (1)若 i1： k1X bi , l2: y k2x b k2,b d； 1 12 k： (2)若 l1： Ax EB! y C 0 , l2 : A2X B2 y C2 0,且 A1、A2、B1、 B2都不为零， l1 |l2 A1 B1 C1 ；釦1 2 A1A2 B1B2 0 ； A2 B2 C2 (h：Ax B C1 0 , l2 ： A2x B 2y C2 0, AA2 B1B2 0). 直线 11与 12的夹角是一. 2 直线l1 l2时, 45.点到直线的距离 | Ax By A2 C | 一(点 P(x, y)，直线

15、1 : Ax By C 0). 46. 圆的四种方程 (1) 圆的标准方程 (2) 圆的一般方程 47. 直线与圆的位置关系 直线Ax By C d r 相离 (x 2 x a)2 2 y (y Dx d r 相交 0与圆(x 0; d a)2 0.其中d 48.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O, 外离 d r1 r2 r1 r2 d r1 Aa b)2 Ey F 0( D 2 E2 4F 0). (y 相切 Bb C b)2 B2 C2,半径分别为1,2, 4 条公切线；d r1 相交 2条公切线 r2的位置关系有三种： 0； O1O2 d 外切 3 条公切线； 内切 r2 ;d

16、 2 内含 无公切线. 0 d 49.圆的切线方程 (1)已知圆x2 y2 过圆上的F0(X0,y。)点的切线方程为xx y2 Dx Ey F 0 . 已知圆 y0y 2 2 x y 2 r ; r2 1条公切线; 2 50. 椭圆务 a x2 51. 椭圆 p a b2 1(a y2 0)的参数方程是 a cos bsi n b2 1(a 52.椭圆的的内外部 0)焦半径公式 PF! e(x a2 ),PF2 2 e( x). c 2 2 2 2 y by b2 2 2 2 y by b a x ()点 P(xo,y)在椭圆一2 a 2 x (2)点 P(Xo, yo)在椭圆一2 a 2 2

17、 0)的内部 卑卑 1. a b 2 2 , x0 y0 0)的外部 2 2 1. a b2 2 2 53. 双曲线 冷 爲 1(a 0,b 0)的焦半径公式 a b 54. 双曲线的方程与渐近线方程的关系 2 X a (1 )若双曲线方程为 渐近线方程: 2 x 2 a PFi 2 y_ b2 |e(x 若渐近线方程为 bx a 0 双曲线可设为 2 x 2 a b y x. a 2 y 2 若双曲线与笃 a 2 y 55.抛物线 2 y_ b2 2 px的焦半径公式 1有公共渐近线, 可设为 2 x 2 a 0 ,焦点在 抛物线y2 过焦点弦长 2px(p 0)焦半径 CF Xo CD X

18、i p X2 2 xi x2 56.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB 2 2 .(1 k2)(x2 G2 |xi b消去 y 得到ax2 bx 0 AB| ;(xi X2)2 (yi y2)2 或 |yi y2 b 1 x2 | . 1 tan2 y kx F(x,y) 57(i)加法交换律：a + b=b + a. (2) 59 共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b丰0 ), P、A、B三点共线 AP|AB 60. 向量的直角坐标运算 设a=忌心),b= (bibb)则 (i) a+b = (ai bi,a2 b2,a3 b3)； (4) a b = aib1 a2b2 a3b3

19、； 加法结合律: a / b uuu AP a |e( x)|. c x 轴上， 0 ,焦点在 y 轴上). 2 cot (弦端点 A(Xi, yi), B(X2, y2)，由方 0,为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率) (a+ b) + c=a+ ( b + c). (3)数乘分配律: 存在实数入使 a=入 b . uuu tAB uuu OP (i t)OA tOB . (2) a b= (ai bi,a2 uuu 61. 设 A(xi, yi,zi) , B(X2, 丫2乙)，则 AB 62. 空间的线线平行或垂直 r r r 设 a (M,yi,z), b (X2, y2,Z2)，则

20、a 63. 夹角公式 uuu OB uuu OA = (X2 uuu uuu d,a3 b3)； (3)入 a= ( ai, 人”2 yi,Z2 zi). XiX2 yiy2 NZ2 0. 入(a+ b)=入 a+入 b. a2, a?)(入 R)； 设 a= (ai,a2,a3), b= (ddb)，贝 V cos a. b a# 吵2 asbs .a2 a| a；, b2 b2 64.异面直线所成角 cos | cos. a,b | = (其中 (0o 90o)为异面直线 65.直线AB与平面所成角 uuu u arc sin IAIB m (m 为平面 |AB|m| 2 2 2 Xi y

21、i 乙 a, b所成角，a,b分别表示异面直线 |a| |b| 的法向量). 66.二面角 I 的平面角 IT r m n亠 arc cos 或 |m| n| i34.空间两点间的距离公式 uun |x!X2 yiy2 ZiZ2 2 y2 . X22 a,b的方向向量) 2 Z2 IT r m n arc cos r- |m| n| IT r (m , n为平面 , 的法向量). 若 A(xi,yi,zi) , B(X2,y2,Z2)，则 dA,B=| AB|、AB AB (x? xj2 (y? yj2 (z? zj2 . 67.球的半径是 R,则 4 3 其体积V R3,其表面积S 4 3

22、(3) 球与正四面体的组合体： R2 . 棱长为a的正四面体的内切球的半径为 存,外接球的半径为 1 68V柱体 _ Sh ( S是柱体的底面积、 3 69.分类计数原理(加法原理) h是柱体的高).V锥体 m1 70.排列数公式 Arm = n(n 1) (n 71.组合数公式cn 72.组合数的两个性质 =Am_n(n (1) 1) 1 Cm = C n Cn =Cn 155.组合恒等式(1) cm a. 4 1 Sh ( S是锥体的底面积、h是锥体的高) 3 m2 L mn. 1)=匚. (n m)! m 1) =_ 2 m m! (n m)! m ；(2) cm+c 1=crm1.注:

23、规定 c0 (n 2) Cn m A m! Cm . n个元素中取 n! m N,且 m n ).注:规定 0! 1. m N，且 m n ) n (4) cn=2n； r 0 73. 排列数与组合数的关系 74. 单条件排列以下各条的大前提是从 (1) “在位”与“不在位” 某(特)兀必在某位有 /种；某(特)元不在某位有 A； A AC A 1AC1 (着眼元素)种. (2) 紧贴与插空(即相邻与不相邻) 定位紧贴：k(k m n)个元在固定位的排列有 AikAk种 浮动紧贴：n个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有 A； $ 1A：种注：此类问题常用捆绑法； 插空：两组元素分别有 k

24、、h个(k h 1)，把它们合在一起来作全排列， k 个的一组互不能挨近的所有排 列数有AhX 1种. (3) 两组元素各相同的插空 m个大球n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？ 当n m 1时，无解；当n m 1时，有 A (4) 两组相同元素的排列：两组元素有 m 个和 75. 分配问题 (1 ) m个元素的排列. m m 1 n An 1 (补集思想) An 1Anm11 (着眼位置) N cmn (平均分组有 归属问 题)将相异 的m、 n n (mn)! C2n Cn m . (n!)m C n C n Cmn n cmn 2n cm 1种排法. n个，各组元素分别相同的排

25、列数为 n个物件等分给m个人，各得 cn m n n件，其 分配方法 数共有 (2) N Cmn (平均分组无归属问题)将相异的m n个物体等分为无记号或无顺序的 m堆， n n n n Cmn n Cmn 2n C2n Cn (mn)! m! m!(n!)m . 其分配方法数共有 (3)(非平均分组有归属问题)将相异的P(P=nn2+L +nm)个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n1 , p!m! n 1! n2! .nm! n，nm件，且n ,门2，nm这m个数彼此不相等, 则其分配方法数共有 cP1 cp2 n1.Cnnm m! 76. 二项式定理(a b)n c an C：an

26、1b C；an 二项展开式的通项公式 Tr1 C：anrbr(r 0,1,2 77.n次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 78. 离散型随机变量的分布列的两个性质( 1) p 79. 数学期望 E x2P2 L xnR L 80.数学期望的性质(1) E(a b) aE( ) b. (2)若 B(n, p),则E X1P X2 P2 L 2b2 C；an rbr Cnnbn ； ,n). Pn(k) C：pk(1 0(i 12L )； (2) p P)n P2 np . 2 2 2 81.万差 D x- E p-i x2 E p2 L xn E Pn L 标准差 =.D 82.方差的

27、性质(1) D a b a2D ；(2 )若- -B(n, p)，则 D np(1 P). 83. f (x)在(a,b)的导数 f (x) y dy df y f (x lim lim x) f(x) dx dx x 0 x x 0 X 84. 函数y f (x)在点X0处的导数的几何意义 函数 y f (x)在点X0处的导数是曲线 y f (x)在P(X0,f(X0)处的切线的斜率 f (X0)，相应的切线方程是 y y0 f (X0)(x X0). 85. 几种常见函数的导数 (1) C 0( C 为常数).(2) (Xn) nxn In Q) .(3) (sin x) cosx . 1 (cosx) sin X (5) (ln x) ;(log ax) 1 / X、 (6) (e ) ex; (ax) axlna. X xln a 86. 导数的运算法则 1 1 1 1 1 1 1 1 u u v uv (1(