矩阵分块在证明中的应用

1、矩阵分块在证明中的应用 【摘要】矩阵是一种新的运算对象，我们应该充分注意矩阵运算的一些特殊规律。为了研究问题的需要，适当地对矩阵进行分块，把一个大矩阵看成是由一些小矩阵块为元素组成的，这样可使矩阵的结构看的更清楚。矩阵分块的思想在线性代数证明、应用中是十分有用的。运用矩阵分块的思想，可以使证明更简洁，思路更开阔。本文利用矩阵的分块方法给出关于在矩阵的秩、存在性问题、分解、行列式相关问题、求逆、特征多项式相关命题的简洁证明。【关键词】矩阵分块 线性代数 矩阵的秩 初等矩阵Application of block matrix in proof【Abstract】Matrix is a kind

2、of new operation target, and we should pay full attention to the special law in operating the matrix. In order to make the structure of matrix more clearly, when we study this matter, we can divide matrix properly, and regard a big matrix as some small ones, which integrate it. The thought of dividi

3、ng matrix into blocks is very important in proving and applying the linear algebra. Use the thought of dividing matrix to blocks can help us to solve problems more pithily and think methods more widely. In this paper the method given matrix block in the matrix rank, about the problem of decompositio

4、n, the determinant, related problems, inverse, characteristics polynomial correlative propositions concise certificate.【Key Words】block matrix linear algebra rank of matrix elementary matrix石家庄学院毕业论文目 录1 引言.12 预备知识.12.1定义.12.2矩阵分块的法则.32.3矩阵分块的性质及推论.53矩阵分块在证明中的应用.93.1矩阵分块在秩的证明中的应用.93.1.1矩阵分块在秩的不等式证明中

5、的应用.93.1.2矩阵分块在秩的等式证明中的应用.103.2矩阵分块在矩阵存在性问题中的应用.113.3矩阵分块在矩阵分解中的应用.113.4矩阵分块在矩阵行列式相关问题中的应用.123.5矩阵分块在矩阵求逆问题中的应用.123.6矩阵分块在特征多项式证明中的应用.14结论.15参考文献.16致谢.1711 引言在数学名词中，矩阵（英文名Matrix）是用来表示统计数据等方面的各种有关联的数据。这个定义很好的解释了Matrix代码是制造世界的数学逻辑基础。数学上，矩阵就是方程组的系数及常数所构成的方阵。把它用在解线性方程组上既方便，又直观。例如对于方程组 我们可以构成一个矩阵因为这些数字是有

6、规则的排列在一起，形状像矩形，所以数学家们称之为矩阵，通过矩阵的变化，就可以得出方程组的解来。数学上，一个矩阵乃一个行列的矩形阵列。矩阵由数组成，或更一般的，由某环中元素组成。矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常用于很多学科中。如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等。在实际生活中有许多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛况表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，对阶数较高矩阵的处理是矩阵的相关内容中重要的一部分,当矩阵的行数和列数都较大时，矩阵的计算与证明则会是一个很繁琐的过程

7、，因此这时我们需要有一个更好的矩阵处理方法，来使这些问题得到更好的解决，矩阵分块的思想由此产生，矩阵分块形象的揭示了一个复杂或是特殊矩阵的内部本质结构。本文将在总结矩阵分块性质的基础上，比较系统的总结讨论矩阵分块在矩阵秩、矩阵存在性问题、矩阵分解、行列式相关问题、矩阵求逆、特征多项式证明方面的应用。2 预备知识 为了深入探讨矩阵分块的性质及其应用，我们有必要回顾一下矩阵分块的相关知识。2.1 定义 用纵线与横线将矩阵划分成若干较小的矩阵：其中每个小矩阵 叫做的一个子块；分成子块的矩阵叫做分块矩阵。这种方法叫做矩阵分块。 为了说明这个方法，下面看一个例子，在矩阵中，表示2级单位矩阵，而，.在矩阵

8、中， 在计算时，把都看成是由这些小矩阵组成的，即按2级矩阵来运算，于是,其中 ，.因之,.不难验证,直接按4级矩阵乘积的定义来计算,结果是一样的。以下会看到，矩阵分块有很多方便之处，常常在分块之后，矩阵间相互的关系看得更清楚。用这就是的一种分块，按分块相乘，就有.用这个式子很容易看出的行向量是的行向量的线性组合；将进行另一种分块乘法，从结果中可容易看出的列是的列的线性组合。2.2 矩阵分块的法则 我们知道,为保证分块矩阵能够进行乘法运算,必须满足:(1)左矩阵的列数等于右矩阵的行数;(2)左矩阵每列的分法与右矩阵行的分法相同;至于左矩阵行的分法与右矩阵列的分法没有任何要求。本文讨论把矩阵按行向

9、量或列向量分块,在满足上述分块法则条件下,指出它在某些命题中的应用。为此,设对于,可用表示列向量,用表示行向量,即同样用分别表示的列向量及行向量。矩阵和矩阵的几种分块乘积常见形式如下（满足分块法则）：2.3 矩阵分块的性质及其推论定义2： 对m+n阶单位矩阵作2×2分块，即，然后对其作相应的初等变换所得到的矩阵称为分块初等矩阵。分块初等矩阵具有以下形式： 分块初等对换阵： 分块初等倍乘阵： 分块初等倍加阵：其中、分别是阶和阶可逆方阵。注：在使用分块初等矩阵乘法时，要注意所作分块必须使得分块乘法的运算能进行。 由定义2，给出分块初等矩阵的性质。 性质1：对分块矩阵进行一次行(列)初等变

10、换，相当于左(右)乘一个相应的分块初等矩阵。 性质2：分块初等矩阵是可逆矩阵。性质3：对一个分块矩阵左(右)乘一个分块初等矩阵，不改变原分块矩阵的秩。在行列式计算中，我们经常用到下面三条性质：1）若行列式中某行有公因子，则可提到行列式号外面；2）把行列式中的某行乘上某一个非零数，加到另一行上去，其值不变；3）把行列式的某两行互换位置，其值变号。利用矩阵的分块，我们可以把行列式的三条性质在分块矩阵上进行推广。性质4 设方阵A是由如下分块矩阵组成 其中都是矩阵，又是任一级方阵，对于矩阵 则。证明：设为级单位矩阵，则于是 .性质5设矩阵是由如下分块矩阵组成 其中都是矩阵，又是任一级方阵，对于矩阵则。

11、证明：由其中为级单位矩阵，对上式两边同时取行列式得。性质6 设方阵和写成如下的形式：其中都是矩阵，则：，当为偶数时；-，当为奇数时。证明：可由中的与相应的两行对换而得到，而对换行列式得两行，行列式反号，故当为偶数时，当为奇数时-。可以证明，对于一般分块矩阵也具有类似的性质。同时，这些性质不仅对行成立，对列也同时成立。推论1 设都是阶方阵，则有 （2.5）证明：作2阶行列式由拉普拉斯展开定理得。又由性质2并应用于列的情况，有 。推论2 设都是阶方阵，则有 （2.6）证明：根据性质5并应用于列的情况，有 。下面举例说明这些性质在行列式证明中的应用。推论3 设、都是阶方阵，其中，并且，则有 （2.7

12、）证明： 根据性质2.因为可逆，并注意到，用乘矩阵的第一行后加到第二行中去得 从而。 把行列式的性质在分块矩阵中进行推广之后，我们又由这三个新的性质得到三个结论.设、都是阶方阵.则有 （2.5） （2.6） （2.7）结论(2.5)告诉我们两个方阵的乘积的行列式等于这两个方阵行列式的乘积。结论(2.6)则说明,当一个行列式可以分解成四个级数相等的方阵、时(即),那么我们可以转化为求这样我们就把求2级的行列式转换成了求级的行列式。结论（2.7）同样也说明当一个行列式可以分成四个级数相等的方阵、时（即），我们可以转换为求，同样将一个2级的行列式转换成了级的行列式，这样的处理能给我们的计算带来很大的

13、方便。3 矩阵在证明中的应用3.1 矩阵分块在秩的证明中的应用3.1.1 矩阵分块在秩的不等式证明中的应用例1 设，证明：。证明 构造对其进行如下初等变换：又 故 又由于 注：本例中，若，则。例2 两个矩阵和的秩不超过这两个矩阵秩的和，即。证明,记,则同时有，, ,所以。3.1.2 矩阵分块在秩的等式证明中的应用例3 设A为n阶矩阵，证明：。证明 构造对其进行如下初等变换：即 。例4 设A为n阶矩阵，则证明,所以， 因此，3.2 矩阵分块在矩阵存在性问题中的应用例5 设，。且证明：存在，且，使。证明设，则存在阶可逆矩阵,使,取，则，3.3 矩阵分块在矩阵分解中的应用例6证明 ：任一矩阵都可写为

14、，证明： 设，则存在n阶可逆矩阵，使 ,且,可逆例7 （满秩分解） 证明：对任意阶矩阵,设，则有,其中，且。证明 ，所以。3.4 矩阵分块在矩阵行列式相关问题中的应用例8证明：证明 构造对其进行如下初等变换：注： 此题也可转化为证明秩的问题.3.5 矩阵分块在矩阵求逆问题中的应用例9 已知矩阵求证可逆，且。证明 构造n+m阶分块矩阵所以，由分块矩阵的逆，可得：例10 设A、B是n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，E+AB可逆，证明|E+AB|=|E+BA|。证明另一方面。例11设是秩为的矩阵，则存在秩为的矩阵和秩为的 矩阵,使得。证明 因为秩，则可逆阵，使得设 , ,显然是秩为的矩阵，是秩为的矩阵，且

15、。另证：因为秩，则可逆阵，使得 ，令, ,其中是秩为的矩阵，是秩为的矩阵，于是 。例12 设为n阶矩阵，若可逆，则也可逆。证明: 因为，所以，由此可得， 可逆 也可逆。3.6 矩阵分块在特征多项式证明中的应用例13设为n阶矩阵，则与有相同的特征多项式，即 。证明： 当时，等式成立。而当时，因为所以.结论在高等代数中，利用矩阵分块方法证明矩阵问题的内容还有很多，这里只是列举了其中的一些加以讨论。由以上例子可以看出，矩阵分块在矩阵证明中是一种较简洁、有效的方法。以上我们在回顾矩阵分块相关知识的基础上，进一步系统的阐述了矩阵分块的一些重要性质和应用，希望能为大家更好地掌握这一方法提供帮助。 参考文献:1李守金，郭秀刚，牟树杰.分块矩阵的初等变换在行列式中的应用J.中国教育技术装备，2009（11）：91-94.2雷英果.分块矩阵及其应用J.工科数学，1998,14（4）;150-154.3王品超.高等代数新方法M.济南：山东教育出版社，1989.4王萼芳.高等代数教材M.北京：清华大学出版社，1996:111.5谢邦杰.线性代数M.北京; 人民教育出版社，1978:47-87.6北京大学数学系.高等代数M.北京;高等教育出版社，1988.128-130.7王湘浩，谢邦杰.高等代数M