(完整版)大学应用数学(高等数学)最全公式知识点总结

1、高等数学初等函数正弦定理： （R为外接關的半径）MR A Mi） B sin C余弦定理：a2- h24-c*-2/M COS4同角三角:sin 4 esc A = Icos Asec A = Itan A cot A一IsinXtan 4 =-;CK4cos 4COM.=Y；sin 4两角和差:sin（A土8）= sin A cos B土co A sin B. cos（ A ） = cos A cos S + sin X sinB;匕anAgIT lan A tan R二倍角:sin 24 = 2 sin A cos 8;cos24 ex Aoin：A 2cos2A -12 tan 4积化和

2、畫:sin（4 + B）、in（A- ） cm A .in二丄zn（/l +） zn（ A ）cos A cos - |cos（/l 8） + cos（A -和差化积sin?A+C（HA I1 + tan A= sec* A1-2MO2A;tan 2 A ,I -lan* Asin Asin H= 一pn（A +B）cm（An宀人sin 4 4- sin W = 2 sin- cos-2 2Dr 力+B . A-B反三角函数:Mn(afVMn r) r;x -l.l; cos(afccosx)X:XG卜Ll ian(arcun x)= x;xe |-co(arccotx)=x;x |-8.z；

3、等差数列：等差数列：C）Jla,!（十 +* 求n项a. i| -（/f-1M注：d足公淮求第n项和等比数列：22 + 4令8.严求第n顶 s 广 求第n项和：厂止辺竺1竺I -q I-q算术平均数大于或等于几何平均数值：绝对值不等式：十恻士非屮卜|对数运算：1慎2严;1吧亠因式分解,!= fj 2k l)= Ix3x5xx(2w +1)一元二次方程：ax:= 0 W为A =4u0时仃刈个解：当,0时无解：a 0时JF口向上：a；旺Xj+x1*x3= q;x、 x2 x, = -r抛物线：抛物线y = ar hxc性质：对祢轴为：:顶点为*竺尹2a4a抛物线标准方稈：y2严(或？=2力)焦点：

4、卷.0):准线方程:楠圆：椭I用标准方f; y*y - I为“b时 Jo匚b；焦点F仕cO);准线方程：x;c肉心率：r = 1alab时c = JW ,焦点F(0,c):准线方程：x = d:离心那：r - Ih参数方程；产：7(0 1 其中+baaHx = a tan / |初等几何公式,设/为、卜径.h为氐f为MJK.为而积.为体职。I- JO形：Si* = -dAsinZC = -cosinZ/(an/5椭岡:S = /sub附加2折数函数打对数曲数乩为反函数。反三用函数不足三角旳数的反因数。连续性：函数厂/何在点斗的某一邻域内冇定义,如果7那么就称函数M在点几连续.连续函数的有界性：

5、设函数/&)在刖上连续，则沧)在“上有界.即 m 常数W 0对仟直的x6iJ |/(x)| S M /f;介值定理：若函数沧)在b.M上连续，“是介/(“)与张)(或扱大ttiM与最小值m)之何的任一实数,则住“上上至少 m-个, 使得/( = “.(%)零点定理：设f(x)在|a上上连续，IL/(a)/(i)0则/在(“上)中至少存在一个零点.注1: /(x).O方程的根x-xnft：为心的-个零点.注2:零点定理中的零点()(不址闭区何)二极限单调令界数列必令极限。(P JU 0(或X 0, 1，* w (氏d弘*d). “心时/ (*) 馳灯0) (Xv(x)WA 2O(AMS

6、0)渐近性：l水平渐近线：若lim /(x) = C,则y = G为/(x)的一条水半渐近线：若lim /(x) = C2則G 为/(x)的一条水平渐近线:注：同函数的水平渐近线最多冇2条.2.垂H渐近线:若lim fx)= 8,则* =几为/(x)的-条匝直渐近线:lim /(x) = 8则N=心为/(x)的条亚肚渐近线:注：垂“渐近线可能冇无穷笔条，求和渐近线实质I：足考AM的无穷何新点.3斜渐近线：若lim “0)R lim/(ijarb|則、二ir九：;(的条斜 渐近线：若lim = u,.(u 0)IL= d2.IWy = du/(x)的 条斜渐近线；注：斜渐近线協影行两条，并ri如

7、果在+-(或-8)方向令水平 渐近线.那么在该方向就不会仃斜渐近线.可厶冊斷点(左右极限相等)跳跃间斷虫(左右极阳水刘第类(D类间断点:洛必达法则:0。O型(00-8艸 T (通分)广型0型 8型 夹逼定理：XX)/(X)F(X).% liin$X4 = 00就说是关a的A阶无穷小。a5如果hm = l就说“是a等价无穷小.记0等价代换：FXTO时0)iinx - (mx - arcsin x -arctanA- x ;f-l-jr:(3)i,-1 * .ilnci:ln(Hx)*x :(1今.C -1 * mv:()I-COKX* X：SVl-x?-1 * -x:(l + fix)=/认壯-

8、*.）法线的斜率为_7（；）2微分定义：设3*（心*心）/（%），若存在常数A,使得Av AAA*- o（At）则称/（x）在x屁处M微，并称A Ax为/（x）ZL t = X。点的微分，记作dy 1一、丄卩如,.、=A At注I;微分dM_.也称为V的线件上部；注2:若山TO.则Ay如.、足山得鬲阶无穷小；H.为/Xo） * 0时（人If於心的同阶无穷小：/（心）o时dy圧山的启】阶无了小。计算:dy 1十 /（& =Ax）几何意义:亦I、= /（心）d.x表示恤线y =/&）在点切线纵帮标的増爪注：Ay 0二.导数的性贞I町导命函数（偶函数）的导数足偶函数（侖西数;.2.对

9、导周期函数的导数也足MJ期函数。3育限区阿上可导的无界函数,一定是无界函数。4导函数冇界(无界)，廉函数仃界(无界).5函数町导必连续.但是连纯不定町导。6/心)由正变负是极大值点.由负变正能极小值点。注：彷为奇=原尸匕也为偶导/(“)为偶8原尸(“必为奇 例：F(x) = .r + I . /(x)=x2卄(rj为周期R 麻F(“必为丹期 例j F(.r) x 4- 席(才他为衍例：尸()=討 /U*7重要结论:设KORU=“ui,= uilfrfu8不可导点.一个常用的结论:/(r)|x-a| 刖么它在r“处不町导：/()(“-a) x-a那么它A:xd处可导/(x)x|x*(r-l) (

10、x-2j9那么用0可导”1及x2不可导/(x) = |(x-l) (x-2)?(3)那么JT 2及JT 3可导xl不可导。9方程根的存在性：对所设函数求导如衆第n次牙爪为0, n次往灯的导数为0,说明此方程冇n个根。三.导数计算1甚本函数求导公式：(co*)1=cos +罟的“oT（哦严=（|厂曰2. +.-x*求导法则，ft/W&皿上可导则(1)(/(A)K(X)=/*(.r)K，U)2(/(*) &(*) = /(讪小 _/ 佩w(“(.*)=/&)3翔)=13喈伴！2如Q*3复合函数求导公式：设，/（）对“可导讽QWJT可导.則y/!祕灯阳可导且y （/1爪）胡灯

11、ax4参数方程求导，5反函数求导、y - y(x).x = A(ylAI.V) -(c) =0.(r为常数)(a) = alnrr(0)(sinx)二cos*(cosx)=-sinx(lan x) =sec:x/(c(x x) =-csc:X/(secA)=sec. tan. (ccr) M-cxxcoljr(lnx)=丄xigN-J!(Q0)xina(arjinx)=Vi-x2(arxosx)laivtonx) =r(o/ccot x) =-1 + F必_血_心=也dx F(x)(r) =*6高阶导数的计饶:0. m Mn?.w = n）莱布尼茨公式：/（）讼）四.几个定理（理论）1罗尔中值

12、定理：设川）在*1上连续，在（“上）上可导,且则金少存在一点个 （“使/1/（.）=0至多有n个根.2.拉格朗日中值定理：设/（0在“上连续,在（“）上可导.则至少疗在点化（M）使厂（0缨二曲成立。b-a3.柯西中低定理：设/（%）们“.时1：连绒，在（“上）上可导，且F-（x）xO则节少存在-点氏仙使帶號卜網成立.4泰勒中值定理：设/V）在趴几宙（卄慚导数.WxeUM有:/（） =XJ-a）-4；（xx）：+0 Y（X7J十儿（戈）其中“）需（。严或吩y”響戶）（严 其中个介Tlo, xZ间（0? lX/f.（x）= o|（x-x0r|5达布定理：/（“在b.M匕町导,几厂（“）“ /U）-

13、（0 - 0注：构造F&）可占虑以下形式：in x),u,(co*)1=cos +罟的“oT（哦严=（|厂曰（球 半：）7（0/分别使用J：“所耍证得等式是加法八减法” “函数导数”五导数应用】.极值点：设川）在仇）上二阶可导，川）图形在叫上址凹（凸的VA（/（.CWI/1J）0.（W小伯【叫 厂&）0（樣大值.乃）（厂（X）由正变负是极大值点，由负变iE是极小值点）2.最值点：先求出所仃的极值点，对所冇的极值点进行比牧.眾大的就足眾大值氐帕小的就足址小值点.3驻点：0的点.足驻点.可导函数的极血恵一定是肛虑。4拐点：设”m）在u（xj二阶町导，且厂（农）0,若厂在斗点左右异号

14、,则k./（x0）点为拐点。（拐点就是曲线凹 凸分界点）7曲率半径：RM8曲率Bh（一/（%门（曲率中心（M）茯凹侧的法线上） 注，曲率用于描述的育曲程度，曲率越人.弯曲程度越高:反之就越第三章一元函数积分学一.概念：概念：1原曲数：已知/（“/如果存在隨数F（x）. IVxef有FU）T（jr）成工.則称F（.r）/（4/.上的个贩曲数.1/连次 则/U）-定仃原网数.2/廉函数仃无穷多个.3/任总网个廉常数ZZf.!、”个滋数4/(A)的全体原函数町衣爪为F(xh e2.不定积分：定义f(x)的全体療函数又叫做Mr)的不定积分为J7(XHX(QW3不定积分与导数(微分)关系：1(M)- /

15、(xhdlj/UMi-/(畑2”(啊-/(x)+aj#(x)/(!)+ 4定积分； /(. X /(*.)注巴这證卜皿5反常积分(广义积分)：设f(ca.af f(x)dx lim ( /(xHv = lim|F(b)-F(“)二性质1定积分的基本性质 i) /(xHv = o： f(x)dx = - f(x)dx :f(xlx= fF/(x)ir： /(.rU(x) d血VW则打2 f/(0O./(t) * 0則/(x)tfr 0: 2奇偶性:1若儿)在3卫)为命曲数.则f2若/(JT)在(-仏a)为偶曲数.則J /(x)rfr 2/(x)r :r. /u)为 般旳禺 则ff注：-见到枳分上

16、下限为相反数.則先占虑被枳换数的奇偶性3.周期性：r；r(x)是以T为周期的周期甬数，则加訂 川加4.常见的枳分不等式：对值不等式：2施瓦尔玆不等式:f/U)g(xMx：Ct需证A =(2ft) -4AC = 4(1P-AC)MO.只需证g(f)20证明：g(r) = /?| /(xUr十町f(x)g(x)(tr + j*沁小丫知&(=btr)4g(x)FdxN0W即衍证3明柯夫斯棊不等式：訂几)*(册心糾丫厂(必訂加三. 计算1基本积分公式:(I)JM=U(3)卜也占严+,.0(5)Jcos皿二zn x ;(7)Jdx =IMX+C;(9)= jcsc .u/.i = ln|csc

17、x _ coec x r；(12)|csc xco xdx -CSC X + c;(13) J j(fa.arcdnA(I4)j aictanxc(I5)j*di二e令r：(I6)|r/x =Y(I7)j(an u/c ln|cos. tc;(I8)jcx xdx = In卜in x .c;JLZI= U(4)J-x la.t|4c;卜in xdx =cz* + c;(8)fde=_co+c; UinJT(19)(3r丄arctan-%aa H ( .X aiAm1- idf|-L . Jr2 4.-11 .一(22)J、p時1中*a注打贬严的原函数足存在的,但不足初等函数。XXX2分部积分，

18、水定枳分：JM(X)VU)ch: = wAH(x)-陋 定积分:“(“心冷=(机-f使用部分积分公式时应把押如卜竝规律:1对菲函数勺指数函敌的乘枳枳分时一股与股将拆敌函数放住微分号d的后面,2対菲曲数,j二角肉数的乘枳时，般羽心将一如换数放仏微分3对指数曲数与三角换数的乘枳枳分时，将一#中任盘个放在微分巧H的厉血均叽 但必须分部枳分M次.然祈通过移项得出结果:*1要把(诋变形成f/(xWx(A)再使用分部枳分时，皿)中 股不川是反二介甬数或对数臥数。3右理函数积分法：利用观察広或估定系数法将被枳旳殺分解成氐函数L1知的些枳分线件细合.然后分别进行枳分。fzsmx-hcosxJ3sinx-cos

19、x J3sinx-cmxAt十ln|35in x - cwA令cA. B用比较系数.lhsin(34 + fi)+cosx(-A + 3)=2sinx+cosx4.三角函数有理式积分法：利用力能代换公式(令lanp将【化成冇理呦數积分.5.简单无理函数积分法：上根号(用FJ代换或根式代换)6.常用换元法：1被枳诙数中含+令x = HatWK = “yeS di2被枳函数中含Vx2-7;令x = asec/r = a sec? ranfdi3彼积网数中含QQ27,令” =/sin/./. = a *cos/Jr4负代换令 7 和尢代换令r.r/彳代换令.r-f周期为T的代换令x-Tlii8倒代换

20、令丄9万能代换令(an sr.drA=-y.cosx = |r214-f1+厂l + f7.几个有用的积分公式：jrf /(sinx)di = p (sin.tM = j(sinx山3/(Mnx)d =2f /(sinx)rf.i=2f /(cosx)di -lnpMn,v-co58几个常见的反常积分：注1：闪衣示不屉过的放人惟数。例:|23 = 2:1.8 = 1;|0.6 =(k|-1.4| = -2注2：定枳分的“开放”必须加绝对值.台则就错“四. 定积分的集合应用1面积：S = fW極表示由x-u.x-b.X轴及y =几）所圉成的图形面 积 $ = /（.讪*f /（M f f（x）d

21、x利用定积分的几何点义：dx = b-a -x1dx=（半関面枳）2.求平面曲线的弧长：心（如，+（如 （加微分）1角坐标系卜： / = 、|.厂（训改2极坐标系卜：”fr（和不）F&3冬数方秤卜： /訂、顾帀丽顾艸:沽3.旋转体的侧面积：s=切（臥i + LT（x）M五. 理论定理利川札利斯公式：f sin xtix = fees皿=IMn x x tr)=九M卜tf(x)/(M(x)e(K)= ：/“ M；(x)/(g(Y)-| (x)/1纠()4.定积分中值定理:设伽|0.bWf/(x)dr-/(-)5第二积分中值定理：没/(*)%们旌线1(炸bM卜不妒;则 北 以便f /(.r

22、)g(x)dr /()(*协第四草多冗函数微分学一概念1定义：设二*(4训(化)仃定义dy吒Ay为y-yn2全微分：记&二f(xtt个Ax.儿 +Ay)-/(x(I,y01令JZ +A)1则称Z*/(A.,V)6 (XO.vc)Hj微.并称(.)点的做分(也称兀为工的线性主部)，记作知“即血h 7二人山十4= -/()/(心个上几)一/(心儿)存在二|讪/(儿也)-贝勺丿戈-斗)limA-MIiirr：fc*仏如汴：以个儡导数存在且各偏导数连续 n 臥数叮微（反之不址）2咻讪7（沐是東函数的全微分的充要条件超丫 器ch* dr可丫 乞偏导数连续UU冇极限 = 连续 可偏导U可枳3.梯度

23、：（方向导数）. dr/ du du；注:= unulu /,= Ycosa，+-cos/i + y-cos/y- + -j + y-*/ 为1卩位向；d，cosa.cos/y.cosr为力向余弦注2：梯度描述数临场变化蹑大.4散度：（散度是个数皐场）伽“（儿）.：）薯十聘+竽角P.Q.R）Tu（p“）divA=譽 +嘤 4 学Pdi ax ddz注:(tivgradii=0称儿源场5.旋度：佔=*炸;VroM=6称为无旋场P Q R二.偏导数计算偏导数计算1对貝体曲数：炎求%只须将 A 视为常数.对K求导数c OX2对抽線函数:使用如下链式法则宣合函数求导法）：陡式法则*设2 /3山M(.c

24、.,vv (x.y)则更_Ma前、加也dx d” dx ch* dx3对BMfe寻书八g：八？八务护z d f辺护z a ajlaha比d ra：l结论：若/（a）具仃二阶连续偏导数.則瞥鹽三.判断隐函数的存在性（阴函数的存在定理）设皿小仏,）点的臬邻域内II仃连续偏廿数，且F（x0“）二0F：（几.Jr。.“）工0 则方ft f（x, j.z） = 0在（心y.z.）的某邻域 内恒仃能确定个!Rj连续偏导坡的曲数四.多元函数极值1务元函数取得极值的必要条件：若2川环）们5儿）点的三个 阶偏导数存在.J1収御极值1n齐小：凱”“o；執2；记忆：対可导函数而窪.极值点 淀址驻点.2.二元函数取得

25、极值的充分条件：3y dy dvdy巾為阶偏片数:对I函数= /U. vl Vif!（xa. jo） = 0.y.） = 0记人= /：（*儿）：=冗山儿）：C = /*（x0,ye）:则1专4=8（时，/tr.儿M、足极仙2当胪人CvaH，/（%.儿堆极fflbJl当人vOH/（x0.y.）融极大值当/（.r0.y0）Ji极小值.注：当，-AC“时须另厅判斯。3.条件极值：“ 0.妝=0时就不足拉格團H乘数法了问88,求“ =/（*.“赃讽xyz）=o条件卜的极值。求決（拉格朗H乘数汰）：1做拉格朗日函数乙f（x, V. z） + 2祕xv.z）2令乙：-0上：（U；-0丄；=0.圳出（心。

26、心）3根据问题的实麻盘义说明/k.y0.:JUU为所求的极伉（不需判 定）注：求条件极值时不必弓出辨别过程，但求无条件楼他时必须吗出判 别过稈。4.二元函数二阶泰初公式：设/（杓胜点伉.的菜-领域内连续fl冇“到卄1阶的连续偏 导敷,（心4九九灯为此邻域内任一点.则存在&伽）使得/九yo)T(x.y)屮彩+丐/*(“)* 碍镇”(几儿)* V 碍”訝 G“為幌訝八WZ)第fi草笫元函数积分学jjf(x. yia = lim /(A亿(da = dxdy = rddlr )/2.性质：(性质与疋枳分完全 致)有类似性颅Jpi7 = X其中A为D的面积.nVi D ODM Jj/( r.

27、yio - J”(儿 + J“(x9D4毎比较定理：若在D 1：恒有7(a)“(xy)则JJ/(x.y/ /一重积分的对称性定理21D关厂轴对称O./(jry诜于y为奇宙 fi即/(儿-)=-/(x.y) pg、W 2pg y “6 /(*. y)关冇为偶甬敌K中0为。低轴的I：丫半而部分2D关于轴对称/(%C”Yr-二重积分二重积分do./C.y)X hr为侖除数即/(屁 *-/(= 2 Jf/（r, y）dff.f（.x.J关于 *.y为偶两数H-中卩为/）的上半平ifri部分4D关于H线yx对称，则ff/U.vVT= jjf（y.x）dcrDD3计算：化一匝枳分为一次枳分（疋限方法：先投

28、影（投紛只能他次.拆穿针）1无界区域上的二重积分反常（广义）积分:求如其屮D为第彖限斛:脈式=Jim JJ duly Jim f j* e rdr tiff推论：f r1/r 0rx(kD为x2y2o5由侧面方程求侧面积：侧啲方程为二(小P6如何进行坐标选择:坐标枳分 域D形 状被枳曲数形式M积元素da变届肾换枳分衣达式亘/ft标D为矩彤.三ffl形 或ff虑彤/Uy)do a dxdy/JJ/UoW/yDD为恻域 坏域JIU|环m域/W)叱)咗)da - pdpdft=pcos& = pdn&p英中/(mis /(pcos.pMn &)二三重积分1定义5M - Um

29、/(久刀m(“V )u(l2.三重积分对称性；侧liU枳：5(/)1设1关j呼丽仰“0)平而对称Q严创沦0a为(儿儿7)/(3沱阳则”(5恥2册(5脚112Q关ix = y = =()对林/(-匕儿：)=/(x-r. :) = /(-. .-:)=/(JO.s)则/=町(儿$二血1打足3在第彖限/(-t.).：)= /(t.-y. z)=/(xy. z)则/ 4j|j/(.r.-)rfv.ni= llnt 2 0nv 2 0u3三莹积分解得步骤：1检査对称性和轮换对称杵；2足否球坐标;3浪抑;J和 a 特点适当的选择投影法戒枝面法与WW关条时化为柱坐标，注石发现不对换牙顺庠。+2+二加=P：P

30、2、inp/p =-欣，n$4三重积分的应用：1口的质址：M = 0员儿)二如ActD2。的用：心GJJ)JJJ tp(r. y.: ixdydzJJJ)Q(儿头二WAr/* c_ _JJ(仏)Z)JxdlzauJJJs(Ky2“u/Mu5如何进行坐标系选择:(2矣j x = v = 0対称坐系枳分域Q形 状被枳曲数/(x.y.z)的形状体枳尤炎fit秤換枳分形式Q为 长方 体.四任迂形 dxdydz/ =血Um朮C)体ft标n为 柱休 . 俄体.dlihH曲.惟临ME转栅iKiMM它 曲 面所 用 成的形I )血+宀临)dv =pdpdetizX UQCOS0 y=/9MIIz = z/口伽

31、)M昭K*l fM= f(pcos.psin.r)ft 为 球体戒 球体的 一棉分tt#(?y =C = rcos9/ = ffj/Wrsin*drdie其中/(m)rsincosd. frsinJJJ(E=JJW 2“Q q第六章曲线曲面枳分一.曲线积分1.第一类曲线积分定义：对呱K的曲线枳分!也/也疸Ml物理慰义；线密度为“/()的弧般I.的质讯计算方法：1“(儿必儿处)J匚“(：dxJ中乙:y -处)”a.b2J /(& y. z) * f/(4dr(/K二十/(M +/(di其中:y=(/),虫血0Z =：(0第一类曲线积分步骤：1将曲面方程代入化简；2检金对称性和轮换对称件：

32、3根据題定.适为选収参数，化为定枳分.注：轮换对称性：jx:ds =+ Ak*2.第二类曲线枳分定义：对坐标的曲线枳分f P&.M + Q(x.My 艸临”,氐Qh禺物理意义：变力八/(. +0( =讽Ja 起懸w终点p(儿八二皿十a丄 川儿头r )dz2从卜曲)H?：总点终点二z(r)第二类曲线积分步0Ldx - /sin 0.dy - c/sin /?格林公式：设P, Q在D上有一阶连续偏导数L为D的正向边界（D在L的 左侧）则空间第二类曲线的步骤：1当L不封闭，用於数：2当L刃闭.L为参数衣示，用设参数3L封创L一般式.三选择：a方法：b面选择：c两类枳分选择斯托克斯公式：设P.

33、Q.RAt上有连绩偏#数.为的边界曲线.的止向勺工的侧符介右戸法贝9曲线方丘代入化简计算找奇点*务罟卜用蓼歌或格林公式亠冷加分何二常或坐杯轴挖去奇点用枳分僧先分毎盘.伍选Y,堂标轴有奇点用参数或足恪林公式加平行坐标轴的辅助线j3两类曲线积分的关系:彳Pdx + Qdy + Rdz= jjl(lzdzdx dd(). kcos/ 0. ii?co、a 0, I co、卩 “aEy讣Rg y.z）*C为场内一条有向闭曲线r为C沿指定正向的单位切向起，则称：（卜办=4人二f P/K+ QMy + Rdz为向昭场A沿C的环以四.穿越曲面的流量（通量）；设向罐场A P（x, y,zlQ（x. y.zR（

34、x.y.zn为仃|：M曲血.上的点（5）处指定侧的单位向足,则JJ/皿 |（4 tub jjPdydz * Qdidz -t Rdxdy称为向詁、场A M过曲而，存指定侧的涼（通域）第匕承微分方程-.一阶常微分方程的解法1可分离变屋微分方程?程形式：，伽（.）dx2齐次方程及其解法:1方程形式：糸=/（引2求解思路：令知）諏 n “竺代入方P?得,xdxdx化为町分离变城得微分方程求給ax求解方法,盍* （讪訂出奸” （讪3 阶线性微分方程及其解法：方程形尢r+p(x)y=e(x)通解公式：)*庐畀似“%+)4贝努利方程及其解法：(I)方秤形式：字十PU)Y=U)V*,(H中刃AO.”A1)a

35、x求解思路頫方稈即广字+严氐)弋&)OX令Z严n刍(i)r字axdxn 令十(I -n)P(x)z = (I -n )0(*)dxn z=J(|如r)=广.丿卄q j(l血阳5.全微分方程及其解法：1方tv形式:皿)汕+。(凡皿=o【q哮=貨dv drr2通解公式：f Px.y)dx J (Xv0-) M *二.二阶微分方程解法：1.可降阶方程：1方程形式：宀Hr.)2求解思路：v* = /(x)n y = |/(x)dv + c = y = j|jf(xpx + +P = /(*P)求岀P再求y3.不显含A的二阶方程：方程形式：r=/6.n4二阶线性齐次（非齐次）常系数微分方程：方程

36、形式s齐次方秤：y*4 py qy 0IF齐次方程：ypygy/（）2特征方程：才亦“03方程的通解:特征根通解中的对应项单实根人给出一项：卅两个单实根人A給出两项：八“占两航实根人=人给出河项,m1*K重实根给出K项：G今畸-对单芟根给出两顼:rrt,(q cos tr 4-c2sin/Sr)一对K重复根為a土讷给出2K顼；严G+ (rf| * d + 4,f4xI,)sinjfik 方程的特解:求解思略:哙.fy.求出 4 “ = %)i当$7%严时特解,y d、oC+加八+心上为重特征根（如值相刚的个数）11 C(x) = (.t)sin /h.(ricsin fix)特解:v e* M

37、(x)- sin fix 0 (x) cos jflrlr1 JI中(才)为为完全的n次幺项式(他们的n足dig)中的处)决定的)Apaifl.不是特征力程的根_|l. atifJ.是特的方秤的根(必是单根)非齐次方程的解-齐次方程的通解+0齐次方栉的-个特解。5线性微分方程解的性质：1齐次方H餅时任盘线性组介仍为该齐次方程的解“2扑齐次方程的任垃两个斛的羞为对应齐次方程的解。3叠加原理:若片升分别媳严+a, (Q严+ “+%Wv = fM艸+皿)严+ “)宀3=厶的解则心2必为3“(x)严 + , |(x)/*o,(x)y = /,(x)+ /,(x)的解.6.欧拉方程及解法(持殊的变系数线

38、性方出：方程形人十产严严“4+人小C.r-/(x)塔本解法：令Q(D I) (D * O.v-I K中 Q可将原方程化为常系数线杵微分方 ft 求解并还原即可得到方榨的解。第八帝无穷级数一.数项级数1定义：称记号耳为数项级数；称为级数*,的前n项和;/silai若lim5.=S,则称,收敘.并战定.=S杆!吧打不在.则称发IPL2性质：若与力都收敛R（M,+MO收飲.H推论：若件收敛.力发fft=k6）发散. “ !注：2；：与”,郁发散书,。）发笊. I2対收敛级数的项任怠加括U（但不改变从來的次序），所构成的新级数仍收敛并H和不变。注：上述结论対发故级数不成工。3右级数的前面加I或掉右限项

39、，英敛散件不变。（注：其和对能发牛变化）4级数收敛的必耍条件是兀通项址J-0,即“,收5J=lirnu.-03正项级数：定义，若6二0（一心）则称三叭为正顶级数r-l结id正项级数收效的充要条件址曲n顶部分和数列仃界.丄血1）几何级数 5 级数：工吋=1-/啊I发做侗|21）级数：斗驚夕讣注时.称为调和级亂正项级数的审敛法（判别法）：达朗贝尔比值审敛法X设兔5讥）.若li亠“iQ.i则半1时.丄代发散：ii则、如1时.叫收敛。x|注：勺/|时.心另厅判定2柯西根值判别法：设fl.20.（ = U,-）.若嚣 1i则当心I时，发Itt：ii则当/Hhb叫收敛.I注：当心1时.匕另廿判定.3比较判

40、别法：仪0M“” Mb.（八N）i十鼻收敛时收敛；发枚时发Ift;沖：使用比校判别法时，常用的比较标准为g级数和p级数.4比较判别法的极限形式设oa（n川im*“*F Pt.则当o c v的乩与化的敛敗性相同注：当40或/一时 外卩5未必冇相同的敛畝性.4.任怠级数:绝对收敛与条件收敛：1林心收敛，则“一定收飲，此时工心叫绝对收敛2若心|发散，则“收敛，此时心叫条件收敛。0*1N4交错级数及其审敛法：J）定义：（-“,或（】）“（兀中“.o宙敛法（莱布尼茨判别法人对丁交钳级数若linwjO. II单调递减,則原函数收纽 反之不然.5.判定数项级数的敛散性的步骤：1fla足否的0.若不口于o：則

41、丄代发散护馮TO2看“是台大于0 （即是否为匸项级数）：杆足.则先考虑便用比 值（根值）判别法，若无浓判断.在考虑使用比较判别法比较 标准为g级数和p级数:若否3石是苦绝対牧敛：若是，则收敛：若否4看是否为交俳级数：使用莱布尼茨方法：若仍失败5看limS.是否存在：若是.则枚敛；卄古.則发散。二.專级数1定义：称aX为关 C 的專级数.称s（一订为关fx-xn的料T$级数2“广的收敛域一收散点的全体（使叫兀收敘的Y称为化斗的收 ! -敛点九注：的收敛威求法（对求八等级数的收敛4i域不便川.可变换成“r住使川）注:收敛半径U为o也町为 8先求出收敛半徨R:2药出收敛K间（-&Q,注，收敛

42、区仙必为开区叭3分别研5tx = -4iix = /e时级数的做散性.从而釘出收敛域-乩尺威（-RK域卜（-K.K）3幕级数的性质：1事叽九-Ug 5XK (- RRR =丽仪.比 42(号订0兀卜( +a hi+UX.tG (- R.RR三min/?i/?3若 $&)=“.rM.WlS#(x)= 叫x_,“(-/?/?)XI若5（.） = d,J*. W po= x*-1. x e （- W. A?）4.函数的那级数廉开；泰勒级数：卄沧）任斗仃任意阶牙数，則称亡驭（一订为 儿f的泰勒级数，记作川）上乎（“订 注：称/在氏=0处的泰勒级数为/（X）的交克芳林级数。常用函数的麦克劳林展开

43、式；宀吕I 刀- .!g=呂卜丽可g 论 3 丽XG( (-g.2) )(-8.4)JG(-,4o)在垃(TW117-M%为述续点守+却.g 学九、in竽卜危曲血-学岂刮堕点叶“咻几叫 妆（2,2）2第九眾向址代数与空间解析儿何一.向量代数= O d-=n/na, =7( /(x)cosd.(n=0J.2)称为MTl M歼;a3 几个概念：1向量（矢量）：吒有大小.又仆方向的蜃.注h两个向尿不能比较大小（长度能比较.方向不行）1右向线段乔:2華本表示:a =0/ + “J + a*.其中廿为与x.y；轴同向的1丫I位向氐%坷畑在3二轴上的投影。3坐标袤示*=!.a.a,2向“的模（长度）：“的大小，即同応齐F3单位向僮：长度为】的向虽.结论,a-p|dw,特例:M：本单位向 ffi:i = 1.0.0, j OXO.A = O.O.l4.零向址0：长度为0的向址。（注：0没有确定的方向5