人教版高中数学必修二教学案-直线的交点坐标与距离公式

1、人教版高中数学必修二教学讲义年级：上课次数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题直线的交点坐标与距离公式复习课型预习课同步课 复习课习题课授课日期及时段教学 内容直线的交点坐标与距离公式 复习【要点梳理】知识点一、直线的交点求两直线AIXBiyCiO(ABQ0)与A2XB?yC20(A2B2C20)的交点坐标，只需求两直线AXBIVCIoABICI方程联立所得方程组的解即可若有工，则方程组有无穷多个解，此时两直线Ax B2 y C2 0A2 B2 C2AiBiCiAiBi重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直A2B2C2A2B2线相交，此解即两直线交点的坐

2、标要点诠释：求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数知识点二、过两条直线交点的直线系方程一般地，具有某种共冋属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有X, y以外，还有根据具体条件取不冋值的变量，称为参变量，简称参数由于参数取法不冋，从而得到不冋的直 线系.过两直线的交点的直线系方程：经过两直线 li： AX Biy Ci 0, A2X B2y C2 0交点的直线方程 为AlX Biy Ci (A2X B?y C2) 0 ,其中 是待定系数.在这个方程中，无论取什么实数，都得不到A?x B? y C2 0 ,因此它不能表示直线2 知识点三、两点间的

3、距离公式两点R(Xi, yj, P2(X2, y2)间的距离公式为PP2 J(X2 Xi)2 (V2 Vi)2 要点诠释：此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握知识点四、点到直线的距离公式上IAXo Byo C点P(Xo, yo)到直线AX By C 0的距离为d .JA B2要点诠释：(1) 点P(Xo，yo)到直线AX By C 0的距离为直线上所有的点到已知点P的距离中最小距离；(2) 使用点到直

4、线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；(3) 此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等知识点五、两平行线间的距离本类问题常见的有两种解法：转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；距离公式：直线AX By Ci 0与直线AX By C2 0的距离为要点诠释：(1) 两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；(2) 利用两条平行直线间的距离公式d 1C-C2 1时，一定先将

5、两直线方程化为一般形式，且两条直线中X，y的系数分别是相同的以后，才能使用此公式【典型例题】类型一、判断两直线的位置关系例1.是否存在实数a,使三条直线I1 : ax y 1 0， l2 : X ay 1 0， l3: X y a 0能围成一个三角形？请说明理由.【解析】要使三条直线能围成一个三角形，则它们中任意两条都不平行，且三条直线不相交于同一点.1(1) 当 I1 /I2 时，a 一，即 a=± 1.a(2) 当 I1 /I3 时，一a= 1 ,即 a=1.1(3) 当 I2/I3 时，1 ,即 a=1.ax ay 10（4）当l1与l2、l3相交于同一点时，由得交点（一1一

6、a, 1）,将其代入 ax+y+1=0中，得Xyaoa= 2 或 a=1.故当a 1且a- 1且a 2时，这三条直线能围成一个三角形.【总结升华】本例分类讨论时容易疏忽某种情况，特别是三条直线相交于同一点这种情况更要注意.举一反三:【变式1】直线5x+4y 2m 仁0与直线2x+3y m=0的交点在第四象限，求 m的取值范围.【答案】3,2【解析】5x 4y 2m 12x 3y m 0,0,解得2m 37m 27第18页共13页2m 30所以 7,解得m 3,2心027类型二、过两条直线交点的直线系方程例2 .求经过两直线 2x3y3=0和x+y+2=0的交点且与直线 3x+y 仁0平行的直线

7、方程.【答案】15x+5y+16=0【解析】可先求出交点坐标，再根据点斜式求出所要求的直线方程；也可利用直线系（平行系或过定点系）求直线方程.解法一：设所求的直线为I ,由方程组2x 3y 3 0 得Xy20S35 .直线I和直线3x+y 仁0平行,7直线I的斜率k= 3.73根据点斜式有y 3 X55即所求直线方程为15x+5y+16=0 .解法二：直线I过两直线2x3y 3=0和x+y+2=0的交点,设直线I的方程为2x3y 3+(x+y+2)=0 ,即(+2)x+( 3)y+2 3=0.直线I与直线3x+y 仁0平行,2 323 的/曰 11 ，解得 _3 112从而所求直线方程为15x

8、+5y+16=0 .【总结升华】直线系是直线和方程的理论发展，是数学符号语言中一种有用的工具，是一种很有用的解题技巧，应注意掌握和应用.举一反三：【变式1】求证：无论 m取什么实数，直线(2m 1)x+(m+3)y (m 11)=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标.证法一：对于方程 (2m 1)x+(m+3)y (m11)=0，令 m=0，得 X 3y11=0 ;令 m=1，得 x+4y+10=0 .x 3y 11 0解方程组y,得两直线的交点为(2, 3).x 4y 10 0将点(2, 3)代入已知直线方程左边，得(2m 1)× 2+(m+3) × (3) (m 11

9、)=4m 23m 9 m+1 仁0 .这表明不论 m取什么实数，所给直线均经过定点(2, 3).证法二：将已知方程以由于m取值的任意性,m 为未知数，整理为 (2x+y 1)m+( x+3 y+11)=0 .有2x y 10 ,解得Xx 3y 110y所以所给的直线不论m取什么实数，都经过一个定点(2, 3).类型三、对称问题例3.已知直线丨1：2x+y 4=0,求11关于直线I : 3x+4y 仁0对称的直线12的方程.【答案】2x+11y+16=0【解析】解法一：由2x3xy 4 04y 1 0，得直线l1与l的交点为P( 3, 2),显然P也在直线I 2上.在直线1上取一点A(2, 0)

10、,又设点A关于直线I的对称点为y0 04t x0 23B (x0, y0),则3202y0 1 04解得B ,5故由两点式可求得直线 I 2的方程为2x+11y+16=0 .解法二：设直线I 2上一动点M (x,y)关于直线I的对称点为M '(x',y'),则y'y4Xx'X3,解得C X'X.y' y .3410y227x 24y 62524x 7y 8257 X 24 v 624 X 7v 8显然M '(x', y')在11上，故24 O ,即2x+11y+16=0 ,这便是所求的直线252512的方程.【总结

11、升华】求一条直线关于另一条直线的对称直线的基本途径是把它转化为点关于直线对称的问题，即在其上取一点(或两点)，求出它们关于直线的对称点坐标，再由两点式即可求得所求的直线方程.一般地，当对称轴的斜率为±1时，求P (xo, yo)的对称点Q,只需由对称轴方程解出 X,再用yo代替V,即得到对称点的横坐标，类似地，可得到纵坐标.举一反三：【变式1】(1)求点P (o, yo)关于直线Xy+C=O的对称点坐标；(2)求直线I仁Ax+By+C=O关于直线l 2: x+y 3=O的对称直线I 3的方程.【答案】(1)( yo C, xo+C) ;( 2) Bx+Ay 3A 3B C=O .例4

12、.在直线I : 3x y 仁0上求一点P,使得：(1) P到A (4, 1)和B (0, 4)的距离之差最大;(2) P到A (4, 1)和C ( 3, 4)的距离之和最小.【答案】(1)( 2, 5)( 2)11 26J77【解析】 设B关于l的对称点为B: AB /与l的交点P满足(1);设C关于l的对称点为Cz, AC /与l的交点P满足(2)事实上，对(1),若P：是l上异于P的点，则P'AP'B | P'A| P'B' | AB'| IPAl| PB'| |PA| |PB | ;对于(2),若P:是l上异于P的点，则| P

13、9;A| |P'C| |P'A| | P'C | | AC'| | PA | PC | .(1)如图1所示，设点B关于I的对称点B/的坐标为(a, b),b 4kBB' kl1 ,即 31 ,a a+3b- 12=0 .又由于BB ：的中点坐标为a b 42, 2,且在直线l上,a b 4 3 - 1 0, 即卩 3a b6=0.2 2解得 a=3, b=3 , BZ ( 3, 3).于是直线AB ：的方程为y 1 X 4 ,即2x+y 9=0.3 13 4解由I的直线方程与 AB Z的直线方程组成的方程组得x=2 , y=5 ,即I与AB Z的交点坐标

14、为(2, 5),所以P (2, 5)3 24(2)如图2所示，设C关于I的对称点为C',求出C /的坐标为 _ 5 5AC /和I交点坐标为P11 26J77故P点坐标为11 26J '77 AC /所在直线的方程为 19x+17y 93=0.【总结升华】由平面几何知识(三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边)可知，要在直线I上求一点，使这点到两定点 A、B的距离之差最大的问题，若这两点 A、B位于直线I的同侧，则只 需求出直线 AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A、B两点位于直线I的异侧，则先求A、B两点中某一点(如 A )关于直线I

15、的对称点A /,再求直线A / B的方程，再求它们与直线I的交点即 可.对于在直线I上求一点P,使P到平面上两点 A、B的距离之和最小的问题可用类似方法求解.举一反三：【变式1】已知点M (3, 5),在直线I : x2y+2=0和y轴上各找一点P和0,使厶MPQ周长最小.5 97【答案】P 5 ,9、QO,72 42【解析】由点M (3,5)及直线I ,可求得点M关于I的对称点M1(5,1).同样容易求得点 M关于y轴的对称点M2( 3,5) 据M1及M2两点可得到直线 M1M2的方程为X 2y 70 ,解方程组' ，得交点P ,令X 0 ,得到M1 M 2与y轴的交点Q(0,7).

16、x 2y 2 02 42类型四、两点间的距离例5.已知直线I过点P (3, 1),且被两平行直线I 1： +y+1=0 , I2： x+y+6=0截得的线段长为 5,求直 线I的方程.【答案】y=1或x=3【解析】 设直线I与直线I 1、I 2分别交于点 A (X1, y1)B (X2、y2),则x>y1y210 ,两方程相6 0减，得(X1 x2)+(y 1 y2)=5 ,由已知及两点间距离公式，得(X1 X2)2+(y1- y2)2=25,由解得x1x25X1或y1 y20y1X20 ,又点A (X1, y1)、B (x2, y2)在直线I上，因此直线I的斜率为y250或不存在，又直

17、线I过点P (3, 1),所以直线I的方程为y=1或x=3 .【总结升华】 从交点坐标入手，采用“设而不求” “整体代入”或“整体消元”的思想方法优化了解题过程.这种解题思想方法在解析几何中经常用到，是需要掌握的技能.另外，灵活运用图形中的几何性质，如对称，线段中垂线的性质等，同样是很重要的.举一反三：【变式1】如图，直线l上有两点A、B , A点和B点的横坐标分别为 X1, X2,直线I方程为y=kx+b ,求A、B两点的距离.【答案】IABl ,(1 k2)(x2 x1)2；1 k2x2 X1 |例6已知函数f() JX2 2x 2 Jx2 4x 8 ,求f (x)的最小值，并求取得最小值

18、时 X的值.【答案】4 ,.103【解析】将函数表达式变形为：f() .(X1)2(01)2X(X 2)2(02)2,可以看作P(X,0)到点A ( 1, 1)与到点B ( 2, 2)的距离之和，即在 X轴上求一点P,使PA+PB最小. f(x) X2 2x 2.x2 4x 8.(X 1)2 (0 1)2.'(X 2)2 (0 2)2 .0)到点B (2, 2)的(2, 2)的距离之和的(2, 2)间的距离，其它表示点 P (X, 0)到点A (1, 1)的距离加上点 P (X, 距离之和，即在 X轴上求一点P (X, 0)与点A (1 , 1)、B 最小值.由下图可知，可转化为求两点

19、AZ ( 1 , 1)和B距离为函数f (X)的最小值. f (X)的最小值为 讥1 2)2 ( 1 2)2.4 4再由直线方程的两点式得A' B的方程为3x y 4=0 .令y=0 ,得X - .当X 时，f (x)的最小值为3310 .【总结升华】本例中，由“x2 2x 2. (X 1)2 (0 1)2 ”与两点间距离公式结构相似，因而可得到“ f(x) ”的几何意义，利用图形的形象直观，使问题得到简捷的解决.举一反三：【变式1】试求f (X)XX1)21MX 2)24的最小值.【答案】3&【解析】f (x). (X1)2(0 1)2(X 2)2(0 2)2 ,它表示点P

20、(X, 0)到点 A ( 1, 1)的距离加上点 P(X,0)到点B (2,2)的距离之和，即在X轴上求一点P(X,0)与点 A ( 1, 1 )、B(2,2)的距离之和的最小值可转化为求两点A /( 1 , 1)和B (2, 2)间的距离，其距离为函数f (X)的最小值. f (X)的最小值为(1 2)2( 12)Z 3 2 类型五、点到直线的距离例7 .已知在厶ABC中，A (1 , 1),B(m,、而,C(4, 2)( 1v m< 4),求 m为何值时， ABC的面积S最大?【答案】4【解析】以AC为底，则点B到直线A ( 1,1), C (4, 2),AC4 1)2 (2 1)2

21、.10.AC的距离就是又直线AC的方程为X3y+2=0 ,AC边上的高，求出 S与m之间的函数关系式.点B(m, m)到直线AC的距离d.10再利用点到直线的距离公式求出这边上的高，从 S1 ACld11 m Wm2| 1m222. 1< m< 4, 1m*21m3 122 2 0歸J1 S1m 324242当m3 0,m9时,S最大.24故当m 9 时，ABC的面积最大24【总结升华】 利用两点间距离公式求出三角形的一边长,而求出三角形的面积，这是在解析几何中求三角形面积的常规方法，应熟练掌握，但应注意的是点到直线的距离公式中带有绝对值符号，因此在去掉绝对值符号时必须对它的正负性

22、进行讨论.举一反三：【变式1】I过点M(-2,1),且与点A(-1,2) , B(3,0)的距离相等，求直线I的方程.【答案】y 1 X 2y 0【解析】法一：直线I过AB的中点(1, 1),所以I的方程为y 1 .直线I / AB ,则设I的方程为y 1 k(x 2)1则k ,所以I的方程为：x 2y 02法二：由题意知直线I的斜率存在，设I的方程为y 1 k(x 2),则A、B两点到直线I的距离Ik 1|5k 1|1 k21 k2解得：k 0,k-2所以I的方程为：y 1和X 2y 0【变式2】若点P( a, b)在直线+y+仁O上，求 a2 b2 2a 2b 2的最小值.【答案】3 22

23、类型六、两平行直线间的距离例&两条互相平行的直线分别过点A (6, 2)和B ( 3, 1),并且各自绕着 A、B旋转，如果两条平行直线间的距离为 d.(1) 求d的变化范围；(2) 当d取最大值时，求两条直线的方程.【答案】(1) (0,3 v10 ;( 2) 3x+y 20=0 和 3x+y+10=0【解析】(1)当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为x=6和X= 3,则它们之间的距离为 9.当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为I 1: y 2=k(x 6), I 2: y+仁k(x+3),即I 1： kxy 6k+2=0 ,|3k_1_6k_2|>k2 1I 2：

24、kx y+3k 1=0.3|3k1| ,即(81 d2)k2 54k+9 d2=0.k21T k R,且 d 0, d>0, =542 4(81 d2)(9 d2)0,即 0 d 综合可知，所求的d的变化范围为(0,3-,10.(2)由右图可知，当d取最大值时，两直线垂直于 AB .Wl 2 ( 1) 1而 kAB _6 ( 3)3所求的直线的斜率为一3.故所求的直线方程分别为y2= 3(x 6)和y+1 = 3(x+3),即3x+y 20=0和3x+y+10=0 .【总结升华】 在寻求问题的解的过程中，作图是非常重要的，它既可以给人以直观的感觉，又是解题的方法的再现，这说明数形结合可优

25、化思维过程举一反三：【变式1】已知直线l: 2x y+a=O (a>0),直线I 2： 4x+2y+1=0和直线13: x+y 1=0，且11与l 2的距离是 5 10(1)求a的值;(2)能否找到一点 P,使得P点同时满足下列三个条件： P是第一象限的点；P点到I 1的距离是P点1 _到I 2的距离的：P点到I 1的距离与P点到I 2的距离之比是,'2 : 5 若能，求P点坐标；若不能，请说明2理由.(2) P 1,379 181y 20 ,Ia (12)|7、5,22 110【答案】(1) a=3【解析】(1)直线12即2x11与12的距离d解得a 3 (2)能找到点P,使得

26、P点同时满足三个条件.设点P(o, yo),若P点满足条件,则P点在I1、I 2平行的直线I :2X y且 c _3|1|C1,即 C 13或 C2 .5 21162Xo yo 13P点满足条件,0 或 2x0 yo ；由点到直线的距离公式,l2xo yo 3I 2 |xo yo 1|Xo 2yo 40 或 3xo 20由P在第一象限，所以3x020不可能.联立方程C13 C2X0 y° c 0 ,解得xo3,y。2xoXo 2yo 4 01 ,应舍去.2yo卫o6,解之得X0Xo 2yo 4 09，yo3718p（1,37）即为同时满足三个条件的点励学国际学生课后作业年级：上课次数：作业上交时间：学员姓名：辅导科目：数学 学科教师：梁春晓作业内容作业得分作业 内 容【巩固练习】1.直线3x （k+2）y+k+5=0与直线kx+（2k 3）y+2=0相交，则实数 k的值为（）A . k 1 或 k 9 B . k 1 或 k 9 C. k 1 且 k9 D. k 1 且 k 92 .斜率为1的直线与两直线2x+y 仁0和x+2y 2=0分别交于A、B两点，则线段AB的中点坐标满足方程（）.A . X y+仁0B . x+y 仁0C. X2y+3=0D . x 2y 3=03 .直线y=2x 4 与 y IX22关于直线I对称，则直线I的方程