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文档简介
1、-立体几何中的传统法求空间角知识点:一异面直线所成角:平移法二线面角1.定义法:此法中最难的是找到平面的垂线 .1.)求证面垂线, 2).图形中是否有面面垂直的结构,找到交线,作交线的垂线即可。2.用等体积法求出点到面的距离sinA=d/PA三求二面角的方法1、直接用定义找,暂不做任何辅助线;2、三垂线法找二面角的平面角.例一:如图 , 在正方体 错误 ! 未找到引用源。 中 , 错误 ! 未找到引用源。、错误 ! 未找到引用源。 分别是 错误 ! 未找到引用源。 、错误 ! 未找到引用源。 的中点 , 则异面直线 错误 ! 未找到引用源。与错误! 未找到引用源。所成的角的大小是_90_.考向
2、二线面角例二、如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是矩D1C1A1B1NDCMAB形, AD PD, BC=1,PC=2 3 , PD=CD=2.( I )求异面直线 PA 与 BC所成角的正切值;( II )证明平面 PDC平面 ABCD;( III )求直线 PB 与平面 ABCD所成角的正弦值。练习 :如图,在三棱锥PABC中, PA底面ABC , PAAB ,ABC60,BCA90,点 D , E 分别在棱 PB, PC 上,且 DE / BC()求证:BC平面 PAC ;()当 D 为 PB 的中点时,求 AD 与平面 PAC 所成的角的正弦值;() PA底面 ABC ,
3、PA BC .又BCA90 , AC BC. BC平面 PAC.() D 为 PB 的中点, DE/BC ,1 DEBC,2又由()知,BC 平面 PAC, DE 平面 PAC,垂足为点E. DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角, PA底面 ABC , PA AB ,又 PA=A B, ABP 为等腰直角三角形,AD1AB ,2在 Rt ABC 中, ABC 60, BC1 AB.2在 Rt ADE 中, sin DAEDEBC2AD2AD,4考向三:二面角问题在图中做出下面例题中二面角例三: .定义法( 2011 广东理 18)如图 5在椎体P-ABCD 中, ABCD 是边长为 1
4、的棱形,且 DAB=60, PAPD2 ,PB=2,E,F 分别是 BC,PC 的中点(1) 证明: AD(2) 求二面角平面 DEF;P-AD-B 的余弦值法一:( 1)证明:取AD 中点 G,连接 PG,BG, BD 。因 PA=PD ,有 PGAD ,在 ABD 中, ABAD1,DAB60 ,有ABD 为等边三角形,因此BG AD, BGPGG,所以AD平 面PBGAD PB, ADGB.又 PB/EF,得 ADEF ,而 DE/GB 得 ADDE,又 FEDEE ,所以 AD平面 DEF 。(2)Q PGAD, BGAD ,PGB 为二面角 PAD B 的平面角,RtPAG中, PG
5、 2PA2AG 27在4RtABG中 ,BG=AB sin60=3在2PG2BG2PB273421cos44PGB2PG BG737222法二:( 1)取 AD 中点为 G,因为 PAPD,PGAD.又 ABAD , DAB60 ,ABD 为等边三角形,因此,BG AD ,从而 AD平面 PBG。延长BG到O且使得 POOB,又 PO平面 PBG,POAD, AD OBG,所以 PO平面 ABCD 。以 O 为坐标原点,菱形的边长为单位长度,直线OB,OP 分别为 x 轴, z 轴,平行于AD 的直线为 y 轴,建立如图所示空间直角坐标系。P(0,0, m), G (n,0,0), 则A(n,
6、1 ,0), D ( n, 1 ,0).设22uuuruuur3Q|GB | AB | sin 602B(n3 ,0,0), C ( n3 ,1,0), E(n3 , 1 ,0), F ( n3 , 1 , m).22222422uuuruuur(3,0,0),uuur( n3 ,0,m)AD(0,1,0), DEFE由于2242uuuruuuruuuruuur得 ADDE0, ADFE0, ADDE,ADFE ,DEFEEAD平面 DEF 。uuur( n,1 ,uuur(n3 ,0,m)Q PAm), PB( 2)22m2n212,( n3 )2m22, 解之得 m1,n3 .422取平面
7、 ABD 的法向量 n1(0,0, 1),设平面 PAD 的法向量 n2( a, b, c)uuur0, 得 3 abuuur0, 得 3 abPA n2c 0,由 PD n2c 0,由2222n2(1,0,3 ).取2321cosn1 ,n22.77142、三垂线定理法例四 ( 广东省惠州市 2013届高三第三次调研理) (本小题满分14分)如图,在长方体ABCD A1B1C1 D1 中, AD AA11, AB2 ,点 E 在棱 AB 上移动(1)证明: D1EA1D ;(2)当 E 点为 AB 的中点时,求点E 到平面 ACD1 的距离;(3) AE 等于何值时,二面角D1 EC D 的
8、大小为 4 ?18( 本小题满分 14分)(1)证明: 如图,连接 D1 B ,依题意有:在长方形A1 ADD1 中, AD AA11,四边形 A1ADD 1A1DAD1平面 AD1B又 AB 平面 A1 ADD1ABA1DA1 DA1D D1EADI ABD1E平面 AD1BA 4 分1EACD1383DDFEC EC FD1FDFD 1D1ECDDFD 14D1DFD1D1DF1102sinDCFDF1BCFDCDCF32612tanBEBE3ABBE233BCAEAE23D1ECD414练习 .如图,在四面体A BCD 中, AB AD2,BD 2,DC 1, 且 BDDC ,二面角 ABD C 大小为 60o (1) 求证:平面 ABC平面 BCD ;(2) 求直线 CD 与平面 ABC 所成角的正弦值17解: (1) 在四面体 ABCD 中,取 BD、BC 中点分别为M、N ,连接 MN ,则 MN / / DCQ BDDC ,则 MNBD又 ADAB2则 AMBDAMN 中, AM1,MN1AMN60o ,2可知 ANM90o又 BD面AMN ,则BDANAN 和两相交直线BD 及 MN 均垂直,从而AN 面 BDC又面 ABC 经过直线AN ,故面 ABC面 BCD(6分 )(2) 由 (1
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