空间向量与立体几何知识点(改后)

1、立体几何空间向量知识点总结一、共面向量1、定义平行于同一平面的向量叫做共面向量2、共面向量定理rrurr r若两个向量 a 、 b 不共线，则向量 p 与向量 a 、 b 共面的充要条件ur rr是存在实数对 x、y,使得 p = xayb 。3、空间平面的表达式空间一点 P 位于平面 MAB 的充要条件是存在有序实数对x、y 使uuuruuuruuurMPxMAyMB或对空间任一定点O, 有或uuuruuuruuuruuuurz 1）这几个式子是 M,A,B,P 四点共面OPxOAyOB zOM（其中 x y的充要条件二、空间向量基本定理1、定理r r rur如果三个向量 a 、b 、 c

2、不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯urrrr一的有序实数组 x、y、z，使 p = xaybzc2、注意以下问题（ 1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底r（ 2）由于 0 可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零r向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是 0 。（ 3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，两者是相关联的不同概念rrr由空间向量的基本定理知，若三个向量a 、b 、c 不共面。那么所ur urrrr有空间向量所组成的集合就是p | pxaybzc, x, y, z R , 这个集合r r rr r ra, b, c可看做是

3、由向量 a 、 b 、c 生成的，所以我们把称为空间的一个rrr基底。 a 、b 、c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底三、 直线方向向量与平面法向量uruur1、若两直线 l 1、l 2 的方向向量分别是 u1 、u2 ，则有 l 1/ l 2uruuru1 /u2 ，uruurl lu1u2212、若两平面、的法向量分别是uruurv1 v2 uruurv1 、 v2 ，则有 /uruurv1 /v2 ，rr若直线 l 的方向向量是 u ，平面的法向量是 v ，则有 l / rrl u / vrru v ，四、平面法向量的求法若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要

4、建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：r1、设出平面的法向量为n( x, y, z) 2、找出（求出）平面的两个不共线的向量的坐标rra (a1,b1, c1 ), b (a2 , b2 ,c2 )r r0n ar r3、根据法向量的定义建立关于x，y，z 的方程组 n b04、解方程组，取其中一个解，即得法向量五、用向量方法证明空间中的平行关系和垂直关系（一）用向量方法证明空间中的平行关系空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行1、线线平行设直线 l 1rrl 2，只需证、l 2 的方向向量分别是 a 、b ，则要证明 l 1/rrrr明 a / b ，即 a

5、kb( kR)2、线面平行rr（ 1）设直线 l 的方向向量是 a ，平面的法向量是 n ，则要证明rrr rl /，只需证明 an ，即 a n 0 .（ 2）根据线面平行的判定定理：“如果直线（平面外）与平面的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可（3）根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行， 只要证明这条直线的方向向量能够用平面两个不共线向量线性表示即可3、面面平行（ 1）由面面平行的判定定

6、理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可rr（ 2）若能求出平面、的法向量u 、 v ，则要证明 / ，只rr需证明 u /v（二）用向量方法证明空间中的垂直关系空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直1、线线垂直设直线 l 1 、lrr2 的方向向量分别是 a 、 b ，则要证明 l 1 l 2，只需r rrr证明 a b ，即 a b02、线面垂直rr（ 1）设直线 l 的方向向量是 a ，平面的法向量是 u ，则要证 lrr，只需证明 a /u（ 2）根据线面垂直的判定定理，转化为直线与平面的两条相交直线垂直3、面面垂直（ 1）根据面面垂直的判定定理转化为

7、证相应的线面垂直、线线垂直（ 2）证明两个平面的法向量互相垂直六、用向量方法求空间的角（一）两条异面直线所成的角1、定义：设 a、b 是两条异面直线，过空间任一点 O作直线 a/ / a, b/ / b ，则 a/ 与 b/ 所夹的锐角或直角叫做 a 与 b 所成的角022、围：两异面直线所成角的取值围是3、向量求法：设直线rra、b 的方向向量为 a 、 b ，其夹角为，则rra bcos | cos | rr有ab4、注意：两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但两者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角（二）直线与平面所成的角1、定

8、义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面的射影所成的角2、围：直线和平面所成角的取值围是02rr3、向量求法：设直线l 的方向向量为 a ，平面的法向量为 u ，直线rr与 平 面 所 成 的 角 为 ， a 与 u 的 夹 角 为， 则 有r r a usin| cos|rr 或 cossinau（三）二面角1、二面角的取值围： 0,2、二面角的向量求法（ 1）若 AB、CD分别是二面角l的两个面与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量uuuruuurAB 与 CD 的夹角（如图（a）所示）ur uur（ 2）设 n1 、 n2 是二面角l的两个角、的法向量，则向uruur量 n

9、1 与 n2 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小（如图（ b）所示）七、用向量的方法求空间的距离（一）点面距离的求法如图（ a）所示， BO平面，垂足为O，则点 B 到平面的距离就是线段 BO的长度若 AB是平面的任一条斜线段，则在 RtuuuruuurBOA中， BOBA cosABO=uuuruuurABOBABO coscos ABOuuurrBO。如果令平面的法向量为n ，考虑到法向量的方uuurruuurABnBOr向，可以得到 B 点到平面的距离为n。因此要求一个点到平面的距离，可以分以下几步完成：1 、求出该平面的一个法向量2 、找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向

10、量3 、求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离rnuurrn0由于 n可以视为平面的单位法向量，所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该点出发的斜线段向量的数量积的uuuruur绝对值，即dAB n0 另外，等积法也是点到面距离的常用求法（二）线面距、面面距 均可转化为点面距离用求点面距的方法进行求解。（三）两异面直线距离的求法r如图（ b）所示，设 l 1、l 2 是两条异面直线， n 是 l 1 与 l 2 的公垂线段 AB的方向向量，又C、D 分别是 l 1、l 2 上的任意两点，则 l 1 与 l 2uuuruuurrCDnd ABr的距离是n。【典型例题】例 1. 设 a 、b 分别是直线l 1、 l2 的方向向量，根据下列条件判断l 1 与 l 2 的位置关系。（ 1） a =（ 2， 3， 1）， b =（ 6， 9， 3）；（ 2） a =（ 5， 0，2）， b =（0， 4， 0）；（ 3） a =（ 2，1， 4）， b =（ 6， 3，3）例 2. 设 u 、v 分别是平面、的法向量，根据下列条件判断、