春季五年制小学奥数四年级容斥原理

1、1 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：ab abab (其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思。)，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。图示如下 : a 表示小圆部分，b 表示大圆部分，c 表示大圆与小圆的公共部分，记为：a b，即阴影面积。1先包含 ab重叠部分a b 计算了 2 次，多加了1 次；2再排除 aba b把多加了1 次的重叠部分a b 减去。a

2、类、 b 类与 c 类元素个数的总和a 类元素的个数b 类元素个数c 类元素个数既是a 类又是 b类的元素个数既是b类又是 c 类的元素个数既是a 类又是 c 类的元素个数同时是a 类、 b 类、c 类的元素个数。用符号表示为：ab c abca b bca ca b c图示如下：图中小圆表示a 的元素的个数，中圆表示b 的元素的个数，大圆表示c 的元素的个数。1先包含 abca b、b c、c a 重叠了 2 次，多加了1次。2再排除 abca bbca c重叠部分 ab c 重叠了 3 次，但是在进行abcabbca c 计算时都被减掉了。3再包含 abca bbca ca b c一个长方

3、形长12 厘米， 宽 8 厘米，另一个长方形长10 厘米，宽 6 厘米，它们中间重叠的部分是一个边长 4 厘米的正方形，求这个组合图形的面积。例 1容斥原理2 50 名同学面向老师站成一行。老师先让大家从左至右按1、2、3、 49、50 依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转。问：现在面向老师的同学还有多少名？求 12009 这 2009 个自然数既不能被7 整除又不能被41 整除的自然数有多少个？在 1 到 2004 所有自然数中，既不是2 的倍数又不是3 和 5 的倍数的数有多少个？如图，已知甲乙丙三个圆的面积都是30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的

4、面积分别为6，8，5，三个圆覆盖的总面积为73，求空白部分的面积。例 4例 3例 23 (第六届“中环杯”五年级初赛)甲、乙、丙三人浇花，甲浇了68 盆，乙浇了62 盆，丙浇了56 盆。已知共有花90 盆，则三人都浇了的花至少有多少盆？五年级 3 班有 46 名学生参加三项课外活动，其中24 人参加了绘画小组，20 人参加了合唱小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的3.5 倍，又是三项活动都参加人数的7 倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的2 倍， 既参加绘画小组又参加合唱小组的有 10 人，求参加朗诵小组的人数。测试题1 把长38厘米和53厘米的

5、两根铁条焊接成一根铁条。已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？2有100种食品，其中含钙的有68种，含铁的有43种，那么同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是多少？3学而思组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有42人，参加中国象棋比赛的有55人，参加国际象棋比赛的有33人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有18人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有10人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有9人，其中三种棋赛都参加的有5人，问参加棋类比赛的共有多少人？4在前100个非零自然数中，能被2或3整除的数有多少个？例 6例 54 5有三个面积各为30平方厘米的圆

6、，两两重叠的面积分别为5平方厘米、6平方厘米、8平方厘米，三个圆共同重叠的面积为3平方厘米（如图）。三个圆共盖住多大面积？6甲、乙、丙三人同时在读同样的故事书，书中有100个故事，每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读，已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事，那么甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有多少个？5 答案1答案：因为焊接部分为两根铁条的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长3853487（厘米）。2答案：最小值684310011种，最大值就是含铁的种数43种。3答案：根据包含排除法，先把参加围棋比赛的42人，参加中国象棋比赛的55人与参加国际象棋比赛的33人

7、加起来，共是425533130人。把重复加一遍同时参加围棋和中国象棋的18人，同时参加围棋和国际象棋的10人与同时参加中国象棋和国际象棋的9人减去，但是，同时参加了三种棋赛的5人被加了3次，又被减了3次，其实并未计算在内，应当补上，实际上参加棋类比赛的共有：130(18109)598（人）。或者根据公式：abcabcabbcacabc ，参加棋类比赛的总人数为：42553318109598（人）。4答案：cba如图所示，a圆内是前100个自然数中所有能被2整除的数，b圆内是前100个自然数中所有能被3整除的数，c为前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数。前100个自然数中能被2整除的数有：100250(个)。由1003331知，前100个自然数中能被3整除的数有：33个。由 100(23)164知，前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数有16个。所以a中有50个数，b中有33个数，c中有16个数。因为a，b都包含c，根据包含排除法得到，能被2或3整除的数有：50331667(个)。5答案：三个圆共盖住面积：303030568374平方厘米6答案：先考虑甲、乙两个人