第10章数字信号的最佳接收1

1、1 1 引言引言 2 2 数字信号接收的统计表示数字信号接收的统计表示3 3 关于最佳接收的准则关于最佳接收的准则4 4 确知信号的最佳接收机确知信号的最佳接收机5 5 随相信号的最佳接收机随相信号的最佳接收机6 6* * 起伏信号的最佳接收机起伏信号的最佳接收机7 7 普通接收机与最佳接收机的性能比较普通接收机与最佳接收机的性能比较8 8 匹配滤波器匹配滤波器9 9 最佳基带传输系统最佳基带传输系统 第第 十十 章章 数字信号的最佳接收数字信号的最佳接收1 引言引言 通信系统的质量优劣主要取决于接收机的性能。通信系统的质量优劣主要取决于接收机的性能。最佳接收理论研究从噪声中如何最好地提取有用

2、最佳接收理论研究从噪声中如何最好地提取有用信号。信号。 “最好最好”或或“最佳最佳”的概念是在某个准则意义下的概念是在某个准则意义下说的一个相对概念。说的一个相对概念。2 数字信号接收的统计表示数字信号接收的统计表示 在数字信号的最佳接收分析中，我们不是采用先在数字信号的最佳接收分析中，我们不是采用先给出接收机模型然后分析其性能的分析方法，而给出接收机模型然后分析其性能的分析方法，而是从数字信号接收统计模型出发，依据某种最佳是从数字信号接收统计模型出发，依据某种最佳接收准则，推导出相应的最佳接收机结构，然后接收准则，推导出相应的最佳接收机结构，然后再分析其性能。再分析其性能。数字通信系统的统计

3、模型，用统计特性来描述。数字通信系统的统计模型，用统计特性来描述。XSY判决规则Rn消息空间信号空间观察空间判决空间噪声空间图 8 1 数字通信系统的统计模型 在数字通信系统中， 消息是离散的状态， 设消息的状态集合为X=x1, x2, , xm 若消息集合中每一状态的发送是统计独立的， 第i个状态xi的出现概率为P(xi)， 则消息X的一维概率分布为X1 x2 xmP(x1) P(x2) P(xm) 根据概率的性质有 1( )1miip x 若消息各状态x1, x2, , xm出现的概率相等，则有 121()()()mP xP xP xm 消息本身不能直接在数字通信系统中进行传输，因此需要将

4、消息变换为相应的电信号s(t)，用参数S来表示。将消息变换为信号可以有各种不同的变换关系，通常最直接的方法是建立消息与信号之间一一对应的关系，即消息xi与信号si(i=1, 2， ， m)相对应。 这样，信号集合S也由m个状态所组成，即 (8.2 - 1) S=s1, s2, , sm 并且信号集合各状态出现概率与消息集合各状态出现概率相等，即 同时也有1122( )()()()P sP xP sP x=()()mmP sP x=1)(1niisp 若消息各状态出现的概率相等， 则有 (8.2 - 6)P(si)是描述信号发送概率的参数，通常称为先验概率， 它是信号统计检测的第一数据。 信道特

5、性是加性高斯噪声信道，噪声空间n是加性高斯噪声。在前面各章分析系统抗噪声性能时，用噪声的一维概率密度函数来描述噪声的统计特性, 在本章最佳接收中，为了更全面地描述噪声的统计特性，采用噪声的多维联合概率密度函数。噪声n的k维联合概率密度函数为 式中，n1, n2, , nk为噪声n在各时刻的可能取值。12( )()()mP sP sP s=12( )( ,)kkfnf n nn= 若噪声是高斯白噪声， 则它在任意两个时刻上得到的样值都是互不相关的，同时也是统计独立的； 若噪声是带限高斯型的，按抽样定理对其抽样，则它在抽样时刻上的样值也是互不相关的， 同时也是统计独立的。根据随机信号分析，若随机信

6、号各样值是统计独立的，则其k维联合概率密度函数等于其k个一维概率密度函数的乘积，即 式中， f(ni)是噪声n在ti时刻的取值ni的一维概率密度函数， 1212(,)()()()kkkfn nnf nf nf n=若ni的均值为零，方差为2n，则其一维概率密度函数为噪声n的k维联合概率密度函数为根据帕塞瓦尔定理， 当k很大时有212122111( ,)() ()()exp2( 2)kkkkikinnfn nnf nf nf nn222exp21)(nininnfdttnnnTkiin)(121020122 信号通过信道叠加噪声后到达观察空间， 观察空间的观察波形为 由于在一个码元期间T内， 信

7、号集合中各状态s1, s2, , sm 中之一被发送，因此在观察期间T内观察波形为 (i=1, 2, , m) 由于n(t)是均值为零， 方差为2n的高斯过程，则当出现信号si(t)时, y(t)的概率密度函数fsi(y)可表示为( )( )( )y tn ts t=+( )( )( )iy tn tst=+20011( )exp(1,2,.,) ( )( )( 2)Tsiiknfyimy ts tdtn fsi(y)称为似然函数，它是信号统计检测的第二数据。 根据y(t)的统计特性，按照某种准则，即可对y(t)作出判决， 判决空间中可能出现的状态r1, r2, , rm与信号空间中的各状态s

8、1, s2, , sm相对应。 3 关于最佳接收的准则关于最佳接收的准则 在数字通信系统中，最直观且最合理的准则是“错误概率最小”准则。由于信号受到畸变和噪声的干扰，发送消息xi时不一定能判为ri出现，而是判决空间的所有状态都可能出现，这将造成错误接收，错误接收的概率愈小愈好。 在噪声干扰环境中，按照何种方法接收信号才能使得错在噪声干扰环境中，按照何种方法接收信号才能使得错误概率最小？误概率最小？ 假设发送信号s1(t)和s2(t)的先验概率分别为P(s1)和P(s2)，s1(t)和s2(t)在观察时刻的取值分别为a1和a2，出现s1(t)信号时y(t)的概率密度函数fs1(y)为为同理，出现

9、s2(t)信号时y(t)的概率密度函数fs2(y)为 fs1(y)和fs2(y)的曲线如图 8 - 3 所示。 dtatynTkn2010)(1exp)2(1dtatynyfTkns2020)(1exp)2(1)(2fs1(y)=图 8- 3 fs1(y)和fs2(y)的关系曲线图ya2y 0a1PPfs1( y)fs2( y)r1r2 根据判决原理，当观察时刻得到的观察值yi(-, y0)时，判为r1出现；若观察时刻得到的观察值yi(y0, )时，判为r2出现。 如果发送的是s1(t)，但是观察时刻得到的观察值yi落在(y0,)区间, 被判为r2出现，这时将造成错误判决，其错误概率为 Ps1

10、(s2)= dyyfys)(01 同理， 如果发送的是s2(t)， 但是观察时刻得到的观察值yi落在(-, y0)区间, 被判为r1出现，这时也将造成错误判决，其错误概率为 Ps2(s1)= dyyfys)(02此时系统总的误码率为Pe= p(s1)ps1(s2)+p(s2)ps2(s1) =p(s1)020)()()(21ysysdyyfspdyyf可以看出， 系统总的误码率与先验概率、 似然函数及划分点 有关。0y 在先验概率和似然函数一定的情况下，选择一个划分点y0使误码率Pe达到最小。使误码率Pe达到最小的划分点y0称为最佳划分点。y0可以通过求Pe的最小值得到。 即00ype 由此可

11、得最佳划分点将满足如下方程:)()()()(120021spspyfyfss 如果观察时刻得到的观察值如果观察时刻得到的观察值y小于最佳划分点小于最佳划分点y0，应判为，应判为r1出现，此时上式左边大于右边；如果观察时刻得到的观察值出现，此时上式左边大于右边；如果观察时刻得到的观察值y大于最佳划分点大于最佳划分点y0，应判为，应判为r2出现，此时上式右边大于左边。出现，此时上式右边大于左边。因此，为了达到最小差错概率，可以按以下因此，为了达到最小差错概率，可以按以下判决规则判决规则进行判决进行判决:,)()()()(120021spspyfyfss,)()()()(120021spspyfyf

12、ss判为 r1( 即s1)判为 r2( 即s2)似然比准则：似然比准则： 在加性高斯白噪声条件下，似然比准则和错误概率最小在加性高斯白噪声条件下，似然比准则和错误概率最小准则是等价的。准则是等价的。 当s1(t)和s2(t)的发送概率相等时，即P(s1)=P(s2)时，则有 fs1(y)fs2(y), 判为r1(即s1) fs1(y)fs2(y), 判为r2(即s2) 上式判决规则称为最大似然准则最大似然准则，其物理概念是，接收到的波形y中，哪个似然函数大就判为哪个信号出现。 以上判决规则可以推广到多进制数字通信系统中，对于m个可能发送的信号，在先验概率相等时的最大似然准则为 fsi(y)fs

13、j(y), 判为si(i=1, 2, , m; j=1, 2, , m; ij) 错误概率最小准则错误概率最小准则是数字通信系统最常采用的准则， 除此之外，贝叶斯(Bayes)准则、尼曼-皮尔逊(Neyman-Pearson)准则、 极大极小准则等有时也被采用。 在数字通信系统中，接收机输入信号根据其特性在数字通信系统中，接收机输入信号根据其特性的不同可以分为两大类，一类是的不同可以分为两大类，一类是确知信号确知信号，另一类，另一类是是随参信号随参信号。所谓确知信号是指一个信号出现后，。所谓确知信号是指一个信号出现后，它的所有参数它的所有参数(如幅度、频率、如幅度、频率、 相位、到达时刻等相位

14、、到达时刻等)都都是确知的。如数字信号通过恒参信道到达接收机输是确知的。如数字信号通过恒参信道到达接收机输入端的信号。在随参信号中，根据信号中随机参量入端的信号。在随参信号中，根据信号中随机参量的不同又可细分为的不同又可细分为随机相位信号随机相位信号、随机振幅信号。、随机振幅信号。随机振幅随机相位信号随机振幅随机相位信号(又称又称起伏信号起伏信号)。 信号统计检测是利用概率和数理统计信号统计检测是利用概率和数理统计的工具来设计接收机。的工具来设计接收机。 所谓所谓最佳接收机设计最佳接收机设计是指在一组给定是指在一组给定的假设条件下，利用信号检测理论给出满的假设条件下，利用信号检测理论给出满足某

15、种最佳准则接收机的数学描述和组成足某种最佳准则接收机的数学描述和组成原理框图，而不涉及接收机各级的具体电原理框图，而不涉及接收机各级的具体电路。路。 本节分析中所采用的最佳准则是本节分析中所采用的最佳准则是错误错误概率最小准则。概率最小准则。 4.1 二进制确知信号最佳接收机结构二进制确知信号最佳接收机结构 接收端原理图如下图 所示。设到达接收机输入端的两个确知信号分别为s1(t)和s2(t)，它们的持续时间为(0, T)，且有相等的能量，即 E=E1= tTdttsEdttS0222021)()( 根据上一节的分析我们知道，在加性高斯白噪声条件下， 最小差错概率准则与似然比准则是等价的。因此

16、，我们可以直接利用似然比准则对确知信号作出判决。 最佳接收机s(t)n(t)输出y(t)= s1(t)+n(t), 发送s1(t)时 s2(t)+n(t), 发送s2(t)时 由上一节分析可知，当出现s1(t)或s2(t)时观察空间的似然函数分别为 fs1(y)= dttstynTkn0210)()(1exp)2(1dttstynyfTkns0220)()(1exp)2(1)(2根据似然比判决规则：TTdttstyUdttstyU022011)()()()(判为s1(t)出现，而TTdttstyUdttstyU022011)()()()(则判为s2(t)出现。 式中： U1= lnP(s1)U

17、2= lnP(s2)20n20n 在先验概率在先验概率P(s1)和和P(s2)给定的情况下，给定的情况下，U1和和U2都为常数。都为常数。 根据上式所描述的判决规则，根据上式所描述的判决规则， 可得到最佳接收机的结构如可得到最佳接收机的结构如图图10 - 5 所示，其中比较器是比较抽样时刻所示，其中比较器是比较抽样时刻t=T时上下两个支路时上下两个支路样值的大小。样值的大小。 这种最佳接收机的结构是按比较观察波形这种最佳接收机的结构是按比较观察波形y(t)与与s1(t)和和s2(t)的相关性而构成的，因而称为的相关性而构成的，因而称为相关接收机相关接收机。其中相乘器与积分。其中相乘器与积分器构

18、成相关器。器构成相关器。 接收过程是分别计算观察波形接收过程是分别计算观察波形y(t)与与s1(t)和和s2(t)的相关函数，的相关函数，在抽样时刻在抽样时刻t=T，y(t)与哪个发送信号的相关值大就判为哪个信与哪个发送信号的相关值大就判为哪个信号出现。号出现。 图图 10 5 二进制确知信号最佳接收机结构二进制确知信号最佳接收机结构积分器y(t)s1(t)输出积分器s2(t)U1U2比较器y(t)S1(t)S2(t)积分器积分器比较判决t = Ts若此二进制信号的先验概率相等，则上式简化为最佳接收机的原理方框图也可以简化成 1200( ) ( )( )( )TTy t s t dty t s

19、 t dt112200( ) ( )( )( )TTUy t s t dtUy t s t dt 4.2 二进制确知信号最佳接收机的性能二进制确知信号最佳接收机的性能 相关器形式的最佳接收机与匹配滤波器形式的最佳接收机是等价的，下面从相关器形式的最佳接收机角度来分析这个问题。最佳接收机结构如图 8 - 5 所示，输出总的误码率为 Pe=P(s1)Ps1(s2)+P(s2)Ps2(s1)其中, P(s1)和P(s2)是发送信号的先验概率。Ps1(s2)是发送s1(t)信号时错误判决为s2(t)信号出现的概率；Ps2(s1)是发送s2(t)信号时错误判决为s1(t)信号出现的概率。分析Ps1(s2

20、)与Ps2(s1)的方法相同，我们以分析Ps1(s2)为例。 设发送信号为s1(t)，接收机输入端合成波为 y(t)=s1(t)+n(t) 其中, n(t)是高斯白噪声，其均值为零，方差为2n。若 U1+ y(t)s1(t)dtU2+ y(t)s2(t)dtT0T0则判为s1(t)出现，是正确判决。若 U1+ dttstyUdttstyTT02021)()()()(则判为s2(t)出现，是错误判决。 先验概率相等时误码率的计算在噪声强度给定的条件下，误码率完全决定于信号码元的区别。现在给出定量地描述码元区别的一个参量，即码元的相关系数 ，其定义如下：式中E0、E1为信号码元的能量。当s0(t)

21、 = s1(t)时，1，为最大值；当s0(t) = -s1(t)时，1，为最小值。所以 的取值范围在-1 +1。 10010021020010)()()()()()(EEdttstsdttsdttsdttstsssssTTTTsTdttsE0200)(sTdttsE0211)(式中 误差函数 互补误差函数 Eb 码元能量； 码元相关系数； n0 噪声功率谱密度。上式是一个非常重要的理论公式，它给出了理论上二进制等能量数字信号误码率的最佳（最小可能）值。在下图中画出了它的曲线。实际通信系统中得到的误码率只可能比它差，但是绝对不可能超过它。002)1 (212)1 (121nEerfcnEerfP

22、bbexzdzexerf022)()(1)(xerfxerfcdB 相关系数 对于误码率的影响很大。当两种码元的波形相同，相关系数最大，即 = 1时，误码率最大。这时的误码率Pe = 1/2。因为这时两种码元波形没有区别，接收端是在没有根据的乱猜。当两种码元的波形相反，相关系数最小，即 = -1时，误码率最小。这时的最小误码率等于 例如，2PSK信号的相关系数就等于 -1。 当两种码元正交，即相关系数 等于0时，误码率等于 例如，2FSK信号的相关系数就等于或近似等于零。0021121nEerfcnEerfPbbe002212121nEerfcnEerfPbbe 若两种码元中有一种的能量等于零，例如2ASK信号，则误码率为 比较以上3式可见，它们之间的性能差3dB，即2ASK信号的性能比2FSK信号的性能差3dB，而2FSK信号的性能又比2P