函数单调性的判断和证明PPT

1、函数单调性习题课（约3课时）函数单调性的判断和证明在定义域上是减函数。：证明：函数例xxf-)(1是减函数。在（即则且，任意两个不相等的实数是设，的定义域为证明：),0 x-x)f).f(x)f(x,0)(-)(0,0-)(-(-x)x(-x-)(x-)(,0-,0,0-)(121221212121212121211212212121xfxfxxxxxxxxxxxxxxxfxfxxxxxxxxf用定义证明函数的单调性的步骤用定义证明函数的单调性的步骤:(1). 设设x1x2, 并是某个区间上任意二并是某个区间上任意二值值;(2). 作差作差 f(x1)f(x2) ;(3). 判判断断 f(x1

2、)f(x2) 的符的符号号:(4). 作作结论结论. 分解因式分解因式, 得出因式得出因式(x1x2 配成非负实数和。配成非负实数和。方法小结方法小结有理化。有理化。 例例2：证明函数f(x)= x3在R上是增函数. 证明证明：设x1,x2是R上任意两个 实数， 且x1x2,则 f(x1)-f(x2)=x13-x23 =(x1-x2)(x12+x1x2 +x22 ) = (x1-x2)(x1+ x2) 2 + x22 因为 x1x2 ，则 x1-x2 0 所以 f(x1)-f(x2)0 即 f(x1)0）在x0上的单调性xk解：对于x2x10,f(x2)-f(x1)=x2-x1+1xk2xk-

3、=1212xxxx (x1x2-k)因1212xxxx 0X12-k x1x2-k x22-k故x22-k0即x2时，f(x2)f(x1)总之，f(x)的增区间是 ，减区间是,kk, 0k用定义求函数单调区间的步骤用定义求函数单调区间的步骤:(1). 设设x1x2, 并是定义域上任意二并是定义域上任意二值值;(2). 作差作差 f(x1)f(x2) ;方法小结方法小结 ）下结论（的符号。）的符号，从而得出区间，讨论各个区间）根把定义域分成若干（的根求（）令既提取因式6)f(-(50,(4) )(x-()(-)(,-31221121212xxfxxxxxfxfxx- - - -| -)(52单调

4、递减区间是：函数例xxxf点评：单调区间的求法1、定义法2、图像法的单调递减区间。求函数练习34.2xxy点评 1、定义法 2、图像法含参数函数的单调性的判断上的单调性。在：试讨论函数例) 1 , 1(-)0(1-)(62xaxaxxf)1)(1()1)()1)(1(11)()(11-,2221211221222112212222112121xxxxxxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxxfxfxxxx则且解：任取）上是增函数。在（函数时当）上为减函数在（函数（时，当1 , 1-)(0)(- )(01 , 1-)(0)(- )00) 1-)(1-( , 01, 0-112121222121

5、1221xfxfxfaxfxfxfaxxxxxxxx抽象函数单调性的判断上的增函数。是求证：并且当都有对任意的：函数例RxfxfxbfafbafRbaxf)(1)(, 0, 1)()()(,)(7调性。的值并判断该函数的单求的值）求（且有时当满足对任意的上的函数：定义在例) 1()2()0(12) 1 (, 1)(0),()()(,),(8fffxfxbfafbafRbaxfyR)(1)()0(,21) 1(),1() 1 () 11 ()0(1, 121)0()0() 1 ()01 (1, 01xfxfxfxffxbxafffffbaffffab（则令则则）令（则）解：令（上的增函数。是则设

6、时，当时，有当RxfxxfxfxxfxfxfxxfxfxfxxxfRxxfxfx)(1)-()()-()()()x-()()(0)(1)(-01)(0121211211221小结：小结：同增异减。研究函数的单调性，首先考虑函数的定义域，要注意函数的单调区间是函数定义域的某个区间。三三.复合函数单调性复合函数单调性的单调性。的单调性，从而得出与的单调性，必须考虑对于复合函数)()()()(xgfyxguufyxgfy)(xgu )(xfy)(xgfy 增函数增函数增函数增函数增函数增函数减函数减函数减函数减函数减函数减函数2212,3ux 又在上是减函数。2432,3yxx 在上是减函数。243

7、2,3 。yxx故函数的单调递减区间为小结:在求解函数单调区间时必须注意单调区间是定义域的某个区间。？）的单调递增区间是什么问：函数34(2xxy的单调递减区间。求函数例34. 92xxy，即解：03403422xxxx。，即函数的定义域为 3 , 131x，故令uyxxu342增函数。是定义域内是的单调递uy 分段函数的单调性例10：已知函数 ， ，1)(bxxfaxxaxxxg,)(2Rba,（1）当a=0,b=2时，求f(g(x)和g(f(x)的解析式，并判断哪一个函数在其定义域上单调。（2）当a,b满足什么条件时，f(g(x)在定义域上单调。是。上是增函数，在时，解：当)(R)(21,

8、 1-221,) 1-2()(0, 1-20, 1-2)(0,0,)(1-2)(2, 0222xfggxfxxxxxfgxxxxxgfxxxxxgxxfba单调递增满足（则使递增在单调递增，在时，）（时不单调；）显然（、)(,01-)-1-0201, 1, 1)(222xgfbxyabxybbaxbxaxbxxgf10,0,101-1-0)()-10(21011022aabaababaaxgfabxybaababaa或综上或递减满足则使递减，在时，）或点评v分段函数的单调性，首先判断各段函数的单调性，若 每段函数的单调性一致，再判断分界点处函数值的大小关系，符合单调性的定义，则在整个定义域上是

9、单调函数。函数的单调性的应用v1、比较数（式）的大小v2、解函数不等式v3求参数的取值范围v4、求函数值域（最值）题型一、比较大小：题型一、比较大小：例例1：函数：函数f(x)在在(0,+ )上是减函数上是减函数,求求f(a2-a+1) 与与f( )的大小。的大小。43解：因为解：因为f(x)在在(0,+ )是减函数是减函数因为因为a2-a+1=(a- )2+ 0434321所以所以f(a2-a+1) f( )43n解（1）1（2）2/3,1/2 (3) 1n(4)当a0时，b0或当a0时，b0n(5)当a0时，最大值为3-4a最小值为-1n 当0a2时，最大值为-1，最小值为3-4a.),3

10、() 12(,9 , 9)(的范围求且满足上的增函数是定义在练习：已知xxfxfxf题型二、解不等式：题型二、解不等式：例例2：解：因为函数解：因为函数f(x)在定义域上是增函数在定义域上是增函数9399129312xxxx54|xx54x( )f x(0,)( )( )( ),(2)1xff xf yfy(1)已知函数已知函数 是定义在是定义在 上的增函数上的增函数且且 ,解不等式解不等式1( )()23f xfx(2)已知已知 为为 上的减函数，则满足上的减函数，则满足 的实数的实数 的取值范围是的取值范围是 （ ）( )f xR1()(1)|ffxxA、 B、 C、 D、( 1,1)(0

11、,1)( 1,0)(0,1)(, 1)(1,) 练习f ()( )(),f2f ()(2)(1),f (1)011( )()212-f (1)(1)()2(1)()2x1,-xxfxfyyfffxfxfxfxfxfxx且 （ 2） =1，因 为 函 数 为 增 函 数 ，解 得 ， 12题型三、求参数范围：题型三、求参数范围：例例3:f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间在区间(- ，4)上上是减函数，求是减函数，求a的取值范围。的取值范围。解：函数解：函数f(x)图象的对称轴为图象的对称轴为x=1-a当当x 1-a时，函数单调递减时，函数单调递减已知函数在已知函数在 上是减函数上是减函数

12、4，所以所以4 1-a,即即-3 a练习练习(1)已知函数已知函数 在区间在区间 上上是减函数，则实数是减函数，则实数 的取值范围是（的取值范围是（ ）2( )2(1)2f xxax(,4aA、 B、 C、 D、(, 3 3,)(,33,)（2）已知）已知 在在 上是增函数，求实上是增函数，求实数数a的取值范围的取值范围.3( )f xxax (0,1（3）已知函数）已知函数 在在 上是增函上是增函数，求实数数，求实数 的取值范围。的取值范围。( )2aaf xxx(1,)a四、利用函数单调性确定函数的值域或最值.2222,3yxxx，( )2xf xx2( )40,1f xxxax ，（1）

13、求二次函数 上的最值.(2).函数 在区间2，4上的最大值为 最小值为（3）已知函数 ，若有最小值-2，则 的最大值为( )f x( )f x（4）若函数 在 上为增函数，则实数 的范围是 .( )| 2f xa xb0,), a b(5)求 在区间 上的最大值和最小值2()21fxxa x0, 21.函数最大（小）值首先应该是某一个函数值函数最大（小）值首先应该是某一个函数值,即存在即存在 ， 使得使得 ；0 xI 2.函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的对于任意的xI，都有，都有f(x)M（f(x)M）3.如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a，b上单调递上单调递增增，则函数，则函数y=f(x)在在x=a处有处有最小值最小值f(a),在在x=b处有处有最大值最大值f(b) ；4.如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a，b上单调递上单调递减减，在区间，在区间b，c上上单调递单调递增增则函数则函数y=f(x)在在x=b处有处有最小值最小值f(b)；