2009—历年安徽高考数学理试卷答案

1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理）试题第I卷（选择题共50分）一.选择题：本大题10小题, 一项是符合题目要求的。每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有1 7i一一一一(1) i是虚数单位，若i a bi(a,b R),则乘积ab的值是(B) 2 i(A) -15(B) -3(C) 3(D) 152x 1 一一(2)若集合 A x |2x 1| 3 ,B x 0，则 An B是(D)3 x，一、1,一(A)x 1 x 一或 2 x 3(B)2-1_(C) x - x 2(D)2(3)下列曲线中离心率为 遒的是(B)2222(A) 土匕1L上1244222

2、22(C)上工 1(D) 土 £ 146410（4）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（A）(A) p： a c >b+d ,(B) p:a>1,b>1 ,(C) p： x=1 ,(D) p:a>1,q: a > b 且 c>dq： f (x) ax b(1 a2q： x xq： f (x) log a x(1 a0）的图像不过第二象限0）在（0,）上为增函数（5）已知an为等差数列,a1+a3 + a§ =105, a? a4 =99.以 Sn 表不' an 的前 n 项和,则使得Sn达到最大值的n是（B）(A) 21(B)

3、 20(C) 19(D) 182（6）设avb,函数y （x a） （x b）的图像可能是 （C）x 0(7)若不等式组 Y 3 v 4所表示的平面区域被直线x 3 y 43x y 4k 的值是(A)(A) 7(B)337.4 y kx 一分为面积相等的两部分, 3(C)一(D)(8)已知函数f(x) , 3sin x cos x(0), y f (x)的图像与直线y 2的两个相邻交点的距离等于，则f (x)的单调区间是(C)(A)k, k一,k Z1212(B) k,k 1211冠,k Z(C) k3,k(D) k6,k,k(9)已知函数 f (x)在R上满足f (x) 2f (2 x) x

4、2 8x 8 ,则曲线 yf (x)在点x (C) y 3x 2(D) y 2x 3乙也从这6个点(1,f (1)处的切线方程是(A)(A) y 2x 1(B) y(10)考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线,中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于(D)(A)(B) (C) (D)75757575二.填空题：本大题共 5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题 卡的相应位置。2、一(11)若随机变量X(,)，则P(X )=.1解答：12(12)以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程

5、为一( R),它与曲4x 1 2cos线( 为参数)相交于两点 A和B ,则|AB|=y 2 2sin解答：14(13)程序框图(即算法流程图)如图所示，其输出结果是 解答：127uuu uuu(14)给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为120o.如图umruuu uuu所示，点 C在以O为圆心的圆弧AB上变动.若OC xOA yOB,其中x, y R ,则x y的最大值是=.解答：2(15)对于四面体 ABCD ,下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号)。相对棱AB与CD所在的直线异面；由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD的三条高线的交点；若分别作 ABC和 ABD的边AB

6、上的高，则这两条高所在的直线异面；分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。解答：O 三.解答题：本大题共 6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解 答写在答题卡的指定区域内。(16)(本小题满分12分),1在 ABC 中，sin(C-A)=1, sinB=。3求sinA的值；(II)设AC= 76,求 ABC的面积。(16)本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识， 考查运算求解能力。本小题满分12分2解：(I)由 sin(C A) 1,C A ，知 C AB,0 A又A B C ，所

7、以2A B ,即2A 1,sinA 色3322故 cos2 A sin B,1 2sin 2 A(II)由(I)得：cos A . 3又由正弦定理，得：-BC- -AC-,BC snA AC 3 2,sin A sin B sin B1 _ _ _1所以 S abc AC BC sin C AC BC cos A 3. 2.2 2(17)(本小题满分12分)某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型 H1N1流感，其中只有 A到过疫区.B肯定是 受A感染的。对于C,因为难以断定他是受 A还是受B感染的，于是假定他受 A和受B感染的概率都是 1。同样也假定D受A、B和C感染的概率都是 1。在这种假定

8、之下，B、C、 23D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量。写出 X的分布列(不要求写出计算过程，并求X的均值(即数学期望).(17)本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识。体现数学的科学价值。本小题满分 解：随机变量X的分布列是X123P13121612分。1 1166，11X的均值EX 1-2-3 32附：X的分布列的一种求法A 一 B 一 C 一 DAB C lDAB C lDA 一 B一 DLCA一C一D lBA-B 馆共有如下6种不同的可能情形,在情形和之下，A直接感

9、染了一个人；在情形、之下, 1每种情形发生的概率都是-6在情形之下，A直接感染了三个人。(18)(本小题满分13分)如图，四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线 AC=2,BD= 72, AE、CF 者B与平面 ABCD 垂直,AE=1 , CF=2。(I)求二面角 B-AF-D的大小；A直接感染了两个人;(II)求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积。（18）本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、相交平面所成二 面角以及空间几何体的体积计算等知识，考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。本小题满分13分。解：（

10、I）（综合法）连接AC、BD交于菱形的中心 O,过。作OGAF, G为垂足。连接BG、DG。由 BD±AC,BD LCF,得：BD，平面 ACF ,故 BD XAF.于是AFL平面BGD,所以BG，AF,DG，AF,/BGD为二面角 B-AF-D的平面角。由 FC，AC,FC=AC=2,得/ FAC= _ OG= 4 '2由 OBOGQB=OD=无彳导/ BGD=2 / BGO=-.22（向量法）以A为坐标原点,uur uur uuu间直角坐标系（如图）.于是B（壬呜，12,2）.BD、AC、AE方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空2x22y 2zur uuu、urn1

11、AB设平面ABF的法向量n1(x, y, z),则由ur uuirn1 AFx 2 ur令 z 1,得，（ 我, 1,1）y 1uu _同理，可求得平面 ADF的法向量n2 （J2, 1,1）。ur uu由n1n20知，平面 ABF与平面 ADF垂直，二面角B-AF-D的大小等于 一。2（II ）连EB、EC、ED,设直线AF与直线CE相交于点H,则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD 的公共部分为四棱锥 H-ABCD 。过H作HP,平面ABCD , P为垂足。因为EAL平面 ABCD , FCL平面 ABCD ,所以平面 ACFE，平面 ABCD从而 P AC,HP AC.HP HPCF

12、AEAPACPC d 口1,得HPAC1又因为 Sfe形abcd AC BD 2,21故四棱锥H-ABCD的体积V - %形ABCD HP2.29(19)(本小题满分12分)已知函数f(x) x 2 a(2 lnx),a 0,讨论f (x)的单调性. x(19)本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题满分12分。解：f (x)的定义域是(0,+ ), f (x)2 a1 2x x2x ax 22x2设g(x) x ax 2,二次方程g(x) 0的判别式a2 8.2a 8 0, a 0,即 0 a2乏时，对一切x 0都有f (x)

13、 0.此时f(x)在(0,)上是增函数。0都有当a280,a0,即a 2，2时，仅对x J2有f(x) 0,对其余的xf (x) 0,此时f(x)在(0,)上也是增函数。当a280,a0,即a 2拒时，a方程g(x) 0有两个不同的实根 X a-a一82a ,X24a 8,0 x21 X2x(0,Xi)X1(Xi,X2)X2(X2 ,)f (x)+00+f (x)单调递增T极大单调递减J极小单调递增T2 2a -Ja2 8 a J a2 8此时f (x)在(0, a-一8)上单调递增，在(a一8 , aa8)是上单调递减)上单调递增.(20)(本小题满分13分)22x y 点 P(xo, yo

14、)在椭圆1(a b 0)上，Xo a cos ,y bsin ,0 一.直线a b212与直线1i：20tX "y 1垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为，直线12的倾斜角a b为.2 X(I)证明：点P是椭圆xy a2A 1与直线li的唯一交点; b2(II)证明：tan ,tan , tan 构成等比数列。(20)本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质，等比数列等基础知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题满分13分。, 222解：（I）（方法一）由-2-x2Ty1得 y-2（a2x0x），代入椭圆一2；21,a ba y0a b.2

15、22. 2得（bA）x2 Nx （斗 1） 0.aa y°ay。V。x0 a cos222将代入上式，得 x 2a cosx a cos 0,从而 x a cosy0 bsin因此，方程组2b21X0二 x a加y 1b2y 1x有唯一解vX0V0，即直线11与椭圆有唯一交点 P.(方法二)显然P是椭圆与11的交点，若Q(acos 1,bsin 1),01 2是椭圆与11的交点,代入 11 的方程 cosx siny 1 ,得 cos cos 1 sin sin 11,a b即cos( 1) 1,1,故P与Q重合。(方法三)在第一象限内，由椭圆在点P处的切线斜率k切线方程为v、2&q

16、uot; (xa V022xy2,2aby （X0）1可得yb.a a2x ,V0b 2一ja X0 , abx022aX0bk2a V0X0） y0,即曾当 a b1。因此，11就是椭圆在点P处的切线。根据椭圆切线的性质， P是椭圆与直线11的唯一交点。y b .Xnb2 .yna2a(II) tan tan , 11的斜率为 2, I2的斜率为tan 工 -tan X ay0ax)bb由此得tan tan tan20, tan ,tan ,tan 构成等比数列。(21)(本小题满分13分)12首项为正数的数列an满足an 1 -(an2 3),n N.4(I)证明：若a1为奇数，则对一切

17、n 2,an都是奇数；(II)若对一切n N都有an 1 an,求a1的取值范围。(21)本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、 运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分 13分。解：(I)已知a1是奇数，假设ak 2m 1是奇数，其中 m为正整数，则由递推关系得ak 12ak43一 m(m 1) 1 是奇根据数学归纳法，对任何 n N , an都是奇数。 1(II)(万法一)由 an1 an -(an 1)(an41 3力一万面，右0 ak 1,则0 ak 14根据数学归纳法，0 a1 1,0 an 1,3)知，an

18、1an当且仅当an 1或an 3。32 31 ；若 ak 3 ,则 ak 1 3.4n N ; a1 3 an 3, n N .综合所述，对一切n(方法二)由a2a12 34a1,得 q4&3 0,于是 0 a11 或 a13。an 1anan2 34an123(an an 1)(an an J4N都有an 1 an的充要条件是0 a11或a13。因为 a1 0,an 1an2 3,所以所有的an均大于0,因此an 1 an与an an 1同号。 4根据数学归纳法，n N , an 1 2口与22 ai同号。因此，对一切n N都有an 1an的充要条件是0 a1 1或a13。2010年

19、普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)理科数学测试第I卷(选择题共50分)、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)i是虚数单位,3i(2)(3)(A) 1 旦412若集合(A)(C)(设向量(B)13i412(C)1.3,(D) i26A x| log12,0,0(A) |a|1 ，八，则 CrA2.22(1,0),b(B)(D)|b|1、，一*，一)，则下列结论中正确的是2(B) a b (C) a b与b垂直2(D) a/b(4)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足 f (1) 1, f(2)2,则f(3)f(4) =

20、(A) -1(B) 1(C) -2(D) 2(5)双曲线方程为x2 2y21,则它的右焦点坐标为(A)葭。(B) (浮0)(D)Q3,0)(6)2ax bx c的图象可能是俯现图A的纵坐标y关于,、一 x 2 3cos , 一(7)设曲线C的参数方程为(为参数)，y 1 3sin直线l的方程为x 3y 2 0 ,则曲线C到直线l的距离为L20的点的个数为10(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4(8) 一个几何全体的三视图如图，该几何体的表面积为(A) 280(B) 292(C) 360(D) 372(9)动点A(x, y)在圆x2y2 1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周13

21、已知定时t=0时，点A的坐标是(万,)，则当0 t 12时，动点t (单位：秒)的函数的单调递增区间是(D) 0, 1(B) 1, 7(C) 7, 12(D) 0, 1和7, 12、(10)设an是任意等比数列，它的前 n项和，前2n项和与前3n项和分别为X, Y, Z, 则下列等式中恒成立的是(E) X Z 2Y(B) Y(Y X) Z(Z X)(C) Y2 XZ(D) Y(Y X) X(Z X)第II卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共 5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.(11)命题“对任何x R,|x 2| |x 4| 3"的否定是6(12) 之

22、4 的展开式中，X3的系数等于 .y 、x2x y 2 0,(13)设x, y满足约束条件 8x y 4 0,若目标函数z abx y(a 0, b 0)的最大值 x 0, y 0,为8,则a b的最小值为.(14)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出值x .(15)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有 4个红 球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐， 分别以A1, A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球 的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是 (写出所有正确结 论的编号).2 P(BQ ;5 P(B|A)

23、5;11事件B与事件A1相互独立；A1，A2, A3是两两互斥的事件；P(B)的值不能确定，因为它与A1, A2, A3中究竟哪一个发生有关.三、解答题：本大题共 6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的指定区域内.(16)(本小题满分12分)设 ABC是锐角三角形，a,b,c分别是内角A , B, C所对边长，并且sin2 A sin( B)sin( B) sin2 B.(I )求角A的值；(n)若 aB AC 12,a 2用,求 b,c (其中 b c).(17)(本小题满分12分)设a为实数，函数f(x) ex 2x 2a, x R.(I)求f (x)

24、的单调区间与极值；(II)求证：当 a ln 2 1且x 0时，ex x2 2ax 1.(18)(本小题满分13分)EFXFB, AB=2EF ,如图，在多面体 ABCDEF中，四边形 ABCD是正方形，EF/AB ,中的每一项都不为 0.差数列的充分必要条件1 n . anan 1a1an 1BFC 90 , BF=FC , H 为 BC 的中点(I)求证：FH平面EDB;(II)求证：AC,平面EDB;(III)求二面角B DEC的大小.(19)(本小题满分13分)1已知椭圆E经过点A (2, 3),对称轴为坐标轴，焦点 Fi, F2在x轴上，离心率e 2(I)求椭圆E的方程；(II)求

25、F1AF2的角平分线所在直线l的方程；(III)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在， 说明理由.(20)(本小题满分12分)设数列 a1,a2, an,证明，an为等11aa2 a2a3(21)(本小题满分13分)品酒师需要定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分现设n=4,分别以a1,a2,a3,a4表示第一次排序时被排为 1, 2, 3

26、, 4的四种酒在第二次排序时的序号，并令X |1 a1 | |2 a2 | |3 a31 |4 a4|.则X是对两次排序的偏离程度的一种描述.(I)写出X的可能值集合；(II)假设a1，a2,a3,a4等可能地为1, 2, 3, 4的各种排列，求 X的分布列；(III)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有 X 2 ,(i)试按(II)中的结果，计算出现这种现象的概率(假定各轮测试相互独立)；(ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由参考答案一、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.(1) B(2)A(3)C(4)A(5)

27、 C(6) D(7)B(8)C(9)D(10) D二、填空题：本大题共 5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.(11)存在 x R,使得 | x-2|+| x-4| 3(12) 15 (若只写C2或C4 ,也可)(13) 4(14) 12(15)三、解答题：本大题共 6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，； 答写在答题卡上的指定区域内.(16)(本小题满分12分)向量的本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，特殊角的三角函数值，数量积，利用余弦定理解三角形等有关知识，考查综合运算求解能力解：(I)因为sin2 A (3cosB 1sin B)(

28、3 cosB - sin B) sin2 B2222-cos2 Bsin2 B sin2 B -,444所以sin A逆,又A为锐角，所以A -.23uur uuur(II)由 AB AC 12 可得cbcosA 12.由(I)知A 一,所以 3cb 24由余弦定理知a2 c2 b2 2cbcosA,将a 2 J7及代入，得+x 2,得(c b) 100 ,所以c b 10.因此，c, b是一元二次方程t2 10t 24 0的两个根.解此方程并由c b知c 6,b 4.(17)(本小题满分12分)本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分

29、析和解决问题的能力(I)解：由 f(x) ex 2x 2a,x R知f (x) ex 2,x R.令f (x) 0,得x ln 2.于是当x变化时，f (x), f (x)的变化情况如下表：x(,ln 2)ln2(ln 2,)f (x)0+f(x)单调递减、2(1 ln 2 a)单调递增故f (x)的单调递减区间是(，ln 2),单调递增区间是(ln 2,),f (x)在x ln 2处取得极小值，极小值为 f (ln 2) eln2 2ln 2 2a 2(1 In 2 a). x 2(II)证：设 g(x) e x 2ax 1,x R,于是 g (x) ex 2x 2a,x R.由(I)知当

30、a ln2 1 时，g (x)最小值为 g (ln 2) 2(1 In 2 a) 0.于是对任意x R,都有g(x) 0,所以g(x)在R内单调递增,于是当a ln 2 1时,对任意x (0,工都有g(x) g(0),而g(0) 0,从而对任意x (0,), g(x) 0.即 ex x2 2ax 1 0,故ex x2 2ax 1.(18)(本小题满分13分)本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明，考查二面角的求法以及利用向量知识解决几何问题的能力，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力综合法(1)证：设 AC与BD交于点G,则G为AC的中点，连 EG, GH ,1 寸 1又

31、 H 为 BC 的中点， GH /-AB,XEF/-AB, EF/JGH. 一2-2一四边形EFHG为平行四边形，EG/FH ,而 EG 平面 EDB ,FH/平面 EDB.(II)证：由四边形 ABCD为正方形，有 ABLBC,又EF/AB , EFXBC.而 EFLFB,EFL平面 BFC,EFXFH, . AB，FH.又 BF=FC, H 为 BC 的中点，FHXBC.FHL平面 ABCD ,FHXAC ,又 FH/BC , AC=EG.又 ACBD, EG BD=G , . AG，平面 EDB.(III)解：EFXFB, /BFC=90° ,. BF，平面 CDEF , 在平

32、面CDEF内过点F作FKDE交DE的延长线于 K, 则/ FKB为二面角 B-DE-C的一个平面角.设 EF=1 ,则 AB=2 ,FC= .2, DE= 3又 EF/DC , ./ KEF= / EDC,sin / EDC=sin / KEF=,2FK=EFsin / KEF=丝,tan / FKB= BF- 品：./ FKB=60 °3FK二面角 B DE C 为 60° .向量法.四边形 ABCD 为正方形，AB ± BC,又 EF/AB ,. EFXBC.又 EFLFB, . EFL平面 BFC. EFXFH,AB XFH.ABC.盛曲堂法用国又 BF=F

33、C, H 为 BC 的中点，FHXBC , . FH，平值 uuruuir以H为坐标原点，HB为x轴正向，HF为z轴正向，建立如图所示坐标系.设 BH=1 ,则 A (1, 2, 0), B (1, 0, 0),C (1, 0, 0), D (1, 2, 0), E (0, 1,1),F (0, 0, 1).uuir /GE.EBD,(I)证：设 AC与BD的交点为G,连GE, GH, uuuunrunr则 G(0, 1,0), CE (0,0,1)，又 HF (0,0,1) HFGE 平面EDB , HF不在平面 EDB内，FH/平面 uuiruuruuu uiir(II)证： AC ( 2

34、,2,0), GE (0,0,1), AC GE 0, AC GE.又 ACBD, EGA BD=G , . AC,平面 EDB.uuuuur(III)解：BE ( 1, 1,1),BD( 2, 2,0).设平面BDE的法向量为n1(1,y1,z1),uuuuur则 BE n11yl 4 0,BD n11 2yl0,V11,乙 0,即 A (1, 1,0).uuruuuCD (0, 2,0), CE (1, 1,1),uur设平面CDE的法向量为n2(1,y22),则n2 CD 0, y20,故 n2(1,0, 1),n n211cos n1，n2,|n1 | 匹 |222An60o,即二面角

35、B DE C为60° (19)(本小题满分13分)本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式，点关于直线的对称等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力、探究意识与创新意识 .22解：(I)设椭圆E的方程为与乜 1a2 b2由 e 1，即 c - ,a2c,得 b2a2 c2 3e2,2 a 222椭圆方程具有形式 j 匕 1.4c23e2,.、.113 .一将A (2, 3)代入上式，得J241,解彳导c 2, c c22椭圆E的方程为巳匕 1.1612(II)解法 1：由(I)知 F1( 2,0), F2(2,0),所以

36、3直线AF1的方程为：y (x 2),即3x 4y 6 0, 4直线AF2的方程为：x 2.由点A在椭圆E上的位置知，直线l的斜率为正数.设P(x, y)为l上任一点，则|3x 4y 6|5|x2|.若 3x 4y 6 5x 10,得x 2y 80 (因其斜率为负，舍去)所以直线l的方程为：2x y 10.解法2：uuruuuuQA(2,3),F1( 2,0), F2(2,0),AR ( 4, 3),AF2(0, 3).uuuruuuuAFAF114uuu1-tutu ( 4,3) -(0, 3)(12).| AF111AF2 | 535I 2,l : y3 2(x1),即2x y 10.(I

37、II)解法 1：假设存在这样的两个不同的点B(x1，y1)和C(x2, y2),QBC l, kBcy2y1x2X设BC的中点为M(%,y0),则x1x2% V2,Vo由于M在l上，故2xo yo 10.22又B, C在椭圆上，所以有上 2116122X2162 y2121.22两式相减，得x一生16120,即(X1 X2)(X2 X1)16(y1 y2)(y2 y1)12将该式写为-X-X282y2 y1 1 y1 y2 -0 5x2X1 62并将直线BC的斜率kBc和线段BC的中点，表示代入该表达式中，,自11信Xo yo 0,即 3xo 2 y00.812x 2得X22,y03,即BC的

38、中点为点A,而这是不可能的，不存在满足题设条件的点B和C.解法2:假设存在B（x1，y1）, C（X2, y2）两点关于直线l对称，则 l BC, kBCbc设直线BC的方程为y-x m,将其代入椭圆方程 * 1 1, 216 12得一元二次方程3x24( 2Xm)248,即x2mx m2 12 0,则X与X2是该方程的两个根,由韦达定理得x1 x2 m,工曰1/c3m于正 yy22（xX2）2m,b, c的中点坐标为（m 3m）2 ' 4又线段BC的中点在直线y 2x 1上，3m m 1,彳3m 4.4即B, C的中点坐标为（2, 3）,与点A重合，矛盾.不存在满足题设条件的相异两点

39、.（20）（本小题满分12分）本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能 力.证：先证必要性设数列an的公差为d,若d若d 0 ,则11 L 1aa2 a2 a3anan 11 尸2 a1 a3 a2 .( Ld a1a2a2 a3-1(-)(-) d a1 a2a2 a31111 an 1 J()d a an 1 d aan10,则所述等式显然成立,an 1ananan 3n.a© 1证法1：(数学归纳法)设所述的等式对一切n N都成立，首先，在等式再证充分性a1a2a2 a3a1a3两端同乘a1a2a3，即得a1 a3 2a2，所以a1,a2, a

40、3成等差数列,记公差为d,则a2 a d.假设 aka1(k 1)d,当nk 1时，观察如下二等式1aa21 k 1ak 1 aka1a2aa211 kaakaka-aak1将代入，得k 11 kaakakak 1s1ak 1在该式两端同乘 a1,akak1,得(k 1)ak 1 a1ka1.将aka(k 1)d代入其中，整理后，彳#ak 1akd.由数学归纳法原理知，对一切 n N都有anai (n 1)d,所以an是公差为d的等差数列证法2：直接证法依题意有11aa2a2 a31 nananiaan 111aa2a2 a311n 1anan 1an闭2aan 2一得1 n 1 nanan

41、2aan 2 a1an 1在上式两端同乘 42门冏2,得a1 (n 1)an 1 nan 1,同理可得anan (n 1)an 1,一得2nan 1n(an 2 an)即an 2 an 1 an 1 an,所以an是等差数列，(21)(本小题满分13分)本题考查离散型随机变量及其分布列， 考查在复杂场合下进行计数的能力， 能过设置密 切贴近生产、生活实际的问题情境，考查概率思想在现实生活中的应用， 考查抽象概括 能力、应用与创新意识.解：(I) X的可能值集合为0, 2, 4, 6, 8.在1, 2, 3, 4中奇数与偶数各有两个，所以a2,a3中的奇数个数等于a1，a3中的偶数个数，因此|1

42、 a1 | 13a 3 |与12a3 | 14a4 |的奇偶性相同，从而X (|1 a2 | |3 a3 |) (|2 a? | |4 al)必为偶数.X的值非负，且易知其值不大于8.容易举出使得X的值等于0, 2, 4, 6, 8各值的排列的例子.(II)可用列表或树状图列出1, 2, 3, 4的一共24种排列，计算每种排列下的X值，在等可能的假定下，得到X 02468P 1379424 24 24 2424、，41。八，(111) (i)首先P(X 2) P(X 0) P(X 2) 一 一，将三轮测试都有 X 2的246概率记做p,由上述结果和独立性假设，得1 1p.63216,151-，

43、 一、一，E， J L ，.(ii)由于p 是一个很小的概率， 这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试 216 1000都有X 2的结果的可能性很小，所以我们认为该品酒师确实有良好的味觉鉴别功能， 不是靠随机猜测.2011年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(理科).选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)设i是虚数单位，复数 L为纯虚数，则实数 a为2 i(A) 2(B) -2(C) - 1(D)-2222(2) 双曲线2x y8的实轴长是(A) 2(B)2.2(C)4(D)4.2(3)设f(x)是定义在R上的奇函数，当

44、x 0时,- 2-f(x) 2x x, f (1)(A) -3(B) -1(C) 1(D) 3(C) 1,-2(D) 2 ,2cos 的圆心的距离为(6)同(4)设变量x, y满足|x| | y| 1,则x 2y的最大值和最小值分别为(A) 1,-1(B) 2 , 2(5)在极坐标系中，点(2,)到圆3(A) 2(B)豆 (C)(6) 一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为(A) 48(B)32 8.17(C)48 8,17(D) 80(7)命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是 (A)所有不能被2整除的数都是偶数(B)所有能被2整除的数都不是偶数(C)存在一个不能被2整除的

45、数都是偶数(D)存在一个不能被2整除的数都不是偶数(8)设集合 A 1,2,3,4,5,6, B 4,5,6,7,则满足 S A且 SI B 的集合 S 为(A) 57(B) 56(C) 49(D) 8(9)已知函数f(x) sin(2x ),其中为实数，若f(x)f(一)对x R恒成立，且 6f(2)f(),则f (x)的单调递增区间是(A)k , k (k z)36(B)k , k (k z)22(C)k -, k (k z)63(D) k , k (k z)2(10)函数 f(x)nxm(1 x)n在区间上的图像如图所示，则(A) m=1, n=1C C) m=2, n=1(B) m=1

46、, n=2(D) m=3, n=1m,n的值可能是第II卷(非选择题共100分)考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效 二.填空题：本大题共 5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置(11)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是212.21 一，(12)设(x 1) a0 a1x a2x L a21x ,贝U &o an =.(13)已知向量a, b满足(a 2b)g(a b) 6, |a|=1, |b|=2,则a与b的夹角为.(14)已知 ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为 4的等差数列，则ABC的面

47、积为(15)在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x, y)为整点，下| 始 T"飘I IDUBB列命题中正确的是 (写出所有正确命题的编号)存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点如果k与b都是无理数，则直线 y kx b不经过任何整点直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点直线y kx b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数存在恰经过一个整点的直线(17)(本小题满分12分)OA 1, OD 2, OAB、 OAC、ODE、 ODF都是正三角形三.解答题：本大题共 6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 解答写在答题卡

48、的制定区域内.(16)(本小题满分12分)x设f(x) 上不，其中a为正实数1 ax44(i)当a a 时，求f(x)的极值点；33(n)若f (x)为R上的单调函数，求 a的取值范围。如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上,(I)证明直线BC/EF ;(n )求棱锥F OBED的体积.(18)(本小题满分13分)在数1和100之间插入n个实数，使得这n 2个实数构成递增的等比数列， 将这n 2个数的乘积记作Tn ,再令an lgTn (n 1)(I)求数列an的通项公式;(n)设 bn tanangtanan 1,求数列bn的前 n项和 Sn.(19)(

49、本小题满分12分)(I)设x 1,y 1,证明111x y xyxyx ylogab logbC logcalogb a logc b log a c.(20)(本小题满分13分)工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个再派人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出,P1, P2, P3,下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别假设Pl, P2, P3互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立（I）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（n ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q1,q2, q3 ,其中qi,q2,q3是Pi, P2, P3的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值（数字期望）EX ;（出）假定1 pi p2 P3,试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员 数目的均值（数字期望）达到最小。（21）（本小题满分13分）2uuiruuu设 0,点A的坐标为（1,1 ）,点B在抛物线y x2上运动，点Q满足BQ QA ,经uuuuuuir过Q点与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足QM MP ,求点P的轨迹方程。,卜：.利十，