04新初三数学自主招生进度一解直角三角形(2)(教师)

1、解直角三角形（2）【知识点归纳】1 .解直角三角形：直角三角形中共三边三角（直角已知） ，已知两个元素（至少已知一边，直角除外），求其余的边和角的问题。2 .解直角三角形常用的关系：（1）两个锐角之和为 90 , （2）勾股定理，（3）锐角三角比。3 .仰角和俯角：MN CE 30 10 3在 RtADMN 中，DN MN tan 3010J3 104 .坡角和坡比（坡度）的意义：如上右图，坡比（也称坡度）i h:l ,通常化为i 1: m的形式。另外，坡比 坡角的正切值，i tan 。 【例题精讲】例1.已知：如图，在 RtzXABC中， C 90 , AC J3 .点D为BC边上一点,且B

2、D 2AD , ADC 60 。求zABC的周长（结果保留根号）解：.C 90 , ADC 60CD AC tan 301 .AD . AC2 CD2.12 (3)2 BD 2AD 4 AB . AC 2 BC22 7AABC 的周长 AB AC BC 5例2.如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡2 币 33。AB 的坡比 i 1: <3 ,且 AB 20m。身高为1.7m的小明站在大堤 A点，测得高压电线杆端点D的仰角为30。已知地面BC宽30m ,求高压电线杆 CD的高度.（结果保留根号）解：过A点作AE BC ,垂足为E 。 i 1:V3, AB 20 AE 10, BE 10V3

3、 o.DC DN NC DN MA AE 21.7 10 3【巩固提高】10米高的1 .已知传送带与水平面所成斜坡的坡度地方，那么物体所经过的路程为 i 1 : 2.4,如果它把物体送到离地面米.（答案：26）otan 372 .如图，某数学课外活动小组测量电视塔AB的高度，他们借助一个高度为30m的建筑物CD进行测量，在点C处塔顶B的仰角为45，在点E处测得B的仰角为37 （ B、D、E三点在一条直线上）.求电视塔的高度 h （参考数据：sin 370.60, cos37 0.80,解：CD 30, E 37 , EC 40,tan 370h ,解得:h 12040 h3 .某兴趣小组用高为

4、1.2米的仪器测量建筑物 CD的高度.如示意图，由距 CD 一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为，在A和C之间选一点B ,由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为测得A , B之间的距离为4米，DCBAtan 1.6, tan1.2，试求建筑物 CD的高度.解：设 CD x,则 DG x 1.2, tan-DG- 1.6GFtanDG DG ”一 1.2,EG GF 4代入解得CD x 20.44.如图，小明在大楼30米高（即PH的俯角为15 ,山脚B处的俯角为6030米）的窗口 P处进行观测，测得山坡上 A处,已知该山坡的坡度i为1:J3,点P、H、B、C、A在同一个平面上.点 HB、C

5、在同一条直线上，且 PH HC。求AB的长（结果保留根号）.tan ABC解：.坡度i为1 : J3, ABC 30易知： PAB 45 , HPB 305.解:6.ABP 90°,易知AB PB如图，自来水厂 了搞好工程预算,PH 30, . . PB 204320J3 。A和村庄B在小河l的两侧，现要在 A , B间铺设一根输水管道.为 需测算出A、B间的距离。一小船在点P处测得A在正北方向，B位于南偏东24.5方向，前行1200m,到达点Q处，测得A位于北偏西位于南偏西41方向.求A、B间的距离.（参考数据cos41 0.75 ）易求QPBQBP 65.5 , QPQB 120

6、0在RtAPQ中，PQ 1200, AQP41cos易知:在Rt如图,AQPAQB49方向，BPQ,. AQ 1600AQABQ 中,一架飞机由90 ,由勾股定理解得 AB2000mA向B沿水平直线方向飞行，在航线AB的正下方有两个山头 C、Do飞机在A处时，测得山头 C、D在飞机的前方，俯角分别为 60和30 .飞机飞行了 6千米到B处时，往后测得山头方.求山头C、D之间的距离.BAC 60 , ABC 30 ,CBDACB 90 ,AB 6, . AC3,BD 2 V3，过点C分别作CE易知：CE 理3, CF 9, 22C的俯角为30 ,而山头D恰好在飞机的正下60BC3.3AB于ECF

7、BD于F.3DF 2在 Rt CDF 中，CD JCF2 DF2<21 （千米）7.如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼.已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与 MN相交于点D ,且 BDN 30 , 假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响.（1）过点A作MN的垂线，垂足为点H .如果汽车沿着从 M到N的方向在 MN上行驶, 当汽车到达点 P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板.当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离 QC为39米，那么对于这一排居

8、民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（精确到1米）（参考数据：J31.7）解：（1）联结PA,由已知，AP 39m ,PH J PA2 AH 236 （米）;（2）由题意，隔音板位置应从 P到Q。在 Rt ADH 中，DHAH cot 3015<3 （米）在 Rt CDQ 中，DQCQsin3078 （米）PQ PH QH PH DQ DH 36 78 15.3114 15 1.7 89（米）8.在梯形ABCD中，ADBC, AD 1.5, DC 6 ,点 E 是腰 AB 上一点，且1AE -AB ,3EDC 90 .把 DEC沿EC折叠，点D恰好落在BC边上的点解：由翻折性质

9、知: AG / BFF处，求tanAE AGBE BFGEEF1 GE EF2EDtanBFtan9.当03 30ADC 120 ,/ DE- 31 DC 33.ABCEFBF60时,DCB30 DC2'，36, DE2<3 , GE卜列关系式中有且仅有一个正确.(A) 2sin(30sin3 (B)2sin( 30 )2sin 、. 3(C )2sin(303 sincos(1) 正确的选项是(2)如图 1 , ZXABC 中，BC，请利用此图证(1)中的结论。(3) 两块分别含45和30的直角三角板如图 2方式放置在同一平面内,BD 8后求 SA ABCC 。解：(1)取30

10、验证,发现只有C正确，正确的选项是(2)过A点作AEBC,交BC的延长线于点RtABCD 中B 30BCE ,过C作CD AB交AB于点E ,1 ,CDRtAACD 中，CDACADcosACA12AC3 sin2ADcos2AC在 RtAACE中,ACE30sin(30AEACAEACsin( 30易知:ABBD AD.3AD2且AB2AE ,AD2AC sin(30 ),.-. 2sin(30 )2AD2AC2sin(30 )3 sincos 。(3) BD872,AB8, BC 4,6ABC30452sin(4530 )3sin 45 cos45 6、 221.一 一 一sin(4530

11、 ) AB BC sin ABC 24 8y3。2【课后作业】1 .如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学卞I1的高度 AB .小刚在D处用高1.5m的测角仪CD ,测得教学楼顶端 A的仰角为30 ,然后向教学楼前进 40m到达E ,又 测得教学楼顶端A的仰角为60 .求这幢教学楼的高度 AB .解：在 RtA AFG 中，tanAFGAGFGAGFG tan AFGAG.3在 RtzXACG 中，tanACGAGCG答案：30 30,3 82.0cc AGCG tan ACG又 CG FG 40AG，340AG 20 . 3AB 20 . 3 1.5答：这幢教学楼的高度AB 为(20m

12、1.5)米.【备用】2 .如图所示，小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点 A处看电梯楼顶部点 B处的仰角为60°,在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°,两栋楼之间的距离为30m,求电梯楼的高 BC。（精确到0.1,参考数据：2 1.414 V3 1.732 ）3 .如图所示，四边形ABCD是正方形，E为BC上一点。将正方形折叠，使A点与E点重合，折痕为MN ,若tan AEN1八 八DC CE 10,3求：（1） ANE的面积；（2）求sin ENB的值。101033解：（1）设CD a,CE b,由题意得:a b 103ab a解得:BE BC CE 6 4 2在Rt BEN中:222EN 2 BN 2 BE2 22 2 EN 2 6 EN22ENAN-S*A AEN1-AN .BE 2110 c 10 22 33(2) sin ENBBEEN3.在直角梯形 ABCD 中，AB / CD , ABC 90 , AB 2BC 2CD，对角线 AC与BD相交于点O,线段OA、OB的中点分别为E、F 。(1)求证：FOEzXDOC;(2)求 sin OEF 的值；(3)若直线EF与线段AD、BC分别相交于点G、H ,求A