大学微积分的教程PPT

1、1第四节一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点函数的单调性与 曲线的凹凸性 第四四章 2主要内容主要内容 函数的单调性函数的单调性 曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点 工具工具: 一阶导数一阶导数 工具工具: 二阶导数二阶导数3函数的单调性与导数符号的关系函数的单调性与导数符号的关系y = f (x)函数单调函数单调增加增加函数单调函数单调减少减少 0 0, x (a, b), 则则 f (x) 在在 (a, b) 上上 单调单调递增递增;(2) 如果如果 f (x) 0, x (a, b), 则则 f (x) 在在 (a, b) 上上 单调单

2、调递减递减.xyo)(xfy xyo)(xfy 0)( xf0)( xf5例例解解1) 讨论函数讨论函数 y = ln x 的单调性的单调性.2) 讨论函数讨论函数 y = e xx1 的单调性的单调性.y 0时时, y 0, y 在在 (0, +) 上单调递增上单调递增.解解ln x 在在 (0, +) 上单调递增上单调递增.当当 x 0时时, 6解解f (x) = 6 x218 x + 12= 6 (x1)( x 2)令令 f (x) = 0 得得:x1 = 1, x2 = 2当当 x 0, 在在 (, 1) 上单调递增上单调递增;当当 1 x 2时时, f (x) 0, 在在 (1, 2

3、) 上单调递减上单调递减;当当 2 x 0, 在在 (2, +) 上单调递增上单调递增.求函数求函数 f (x) = 2 x3 9 x2 + 12 x 3 的增减性的增减性.例例1 17求函数求函数 f (x) = 2 x3 9 x2 + 12 x 3 的增减性的增减性.解解f (x) = 6 x218 x + 12= 6 (x1)( x 2)令令 f (x) = 0 得得:x1 = 1, x2 = 2xy y(, 1)(1, 2)(2, +)12也可用列表法讨论如下也可用列表法讨论如下:00所以所以, 递增区间为递增区间为: (, 1) 和和 (2, +); 递减区间为递减区间为: (1,

4、2).例例1 18求函数求函数 f (x) = (x + 2)2(x 1)3 的单调区间的单调区间.例例2 29求函数求函数 f (x) = (x + 2)2(x 1)3 的单调区间的单调区间.解解f (x) = (x + 2)(5x + 4)( x 1)2令令 f (x) = 0 得得:xy y(, 2)1列表讨论如下列表讨论如下:x1 = 2, x2 = , x3 = 145(1, +)1(2, )4545( , 1)450 00递增区间为递增区间为: (, 2) 和和 ( , +); 45递减区间为递减区间为: (2, ).45例例2 210求函数求函数 y = 的单调性的单调性.解解当

5、当 x 0时时, f (x) 0,在在 (, 0) 上单调递减上单调递减;当当 0 x 0,在在 (0, +) 上单调递增上单调递增.32x当当 x = 0时时, 导数不存在导数不存在.例例3 311导数等于零的点和不可导点，导数等于零的点和不可导点，可能可能是单调区间的分界点是单调区间的分界点注意注意: 区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响不影响 区间的单调性区间的单调性.例如例如,3xy .),(上上严严格格单单调调增增加加但但在在 ,032 xy y2O24224x y=x3 驻点驻点, 0)0( y方法方法: 用驻点和不可导点来划分函数的用驻点和不可导点来划分函数的定义区间

6、定义区间, 然后判断区间内导数符号然后判断区间内导数符号.总结总结12利用函数的单调性证明不等式利用函数的单调性证明不等式例例4 4证证当当 x 0 时时, 证明证明 x ln(1 + x).设设 f (x) = x ln(1 + x)则则即即 x ln(1 + x).而而 f (0) = 0, f (x) f (0) = 0. 当当 x 0 时时, f (x) f (0). 在在 (0, +) 上单调递增上单调递增f (x) 在在 (0, +)上连续上连续, 在在 (0, +) 内可导内可导, 且且 f (x) 013.0)( ,1e xxx证证明明不不等等式式例例5 5证证综上所述综上所述

7、, 当当 x 0 时时, 总有总有 e x 1 + x令令 f (x) = e x (1 + x)则则 f (x) = e x1当当 x 0 时时, f (x) 0, f (x) 在在 (0, +) 为增函数为增函数即即 e x 1 + x f (x) f (0) = 0. 当当 x 0 时时, f (x) 1 + x f (x) f (0) = 0. 14利用函数的单调性讨论方程的根利用函数的单调性讨论方程的根由连续函数的由连续函数的介值定理介值定理知知, 例例6 6证证证明方程证明方程 有且只有一个实根有且只有一个实根.设设f (x) 在在 (0, 1) 内至少有一个根内至少有一个根.又因

8、为又因为所以所以, f (x) 在在 (0, 1) 内有且只有一个实根内有且只有一个实根.f (x) 在在 (0, 1) 上单调递增上单调递增.15二、曲线的凹凸性与拐点二、曲线的凹凸性与拐点问题问题: 如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyoNABM16函数曲线除了有上升和下降外函数曲线除了有上升和下降外, 还有还有什么特点？什么特点？17曲线凹向的定义曲线凹向的定义 如果在某区间内如果在某区间内, 曲线弧位于其上任意一点的切线曲线弧位于其上任意一点的切线的上方的上方, 则称曲线在这个区间内是则称曲线在这个区间内是上凹上凹的的; 如果在某区间如果在某区间内内, 曲线弧位于其上任意

9、一点的切线的下方曲线弧位于其上任意一点的切线的下方, 则称曲线在则称曲线在这个区间内是这个区间内是下凹下凹的的.上凹上凹下凹下凹18曲线凹向的定义曲线凹向的定义设设 f (x) 在在 a, b 上连续上连续, 在在 (a, b) 内可导内可导. 如果对如果对(a, b) 中任意一点中任意一点 x0, 总成立总成立:f (x) ( 0, x (a, b) 且且 x x0则称曲线在则称曲线在 a, b上是上是上上 (下下) 凹凹的的. 连续曲线在上凹与连续曲线在上凹与下凹的分界点下凹的分界点, 称为称为拐点拐点.19曲线的凹向与函数的导数的单调性曲线的凹向与函数的导数的单调性拐点拐点上凹上凹下凹下

10、凹当曲线是上凹的时，当曲线是上凹的时， f (x)单调增加。单调增加。当曲线是下凹的时，当曲线是下凹的时， f (x)单调减少。单调减少。曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点拐点。20 xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递递增增)(xf abBA0 y递递减减)(xf 0 y定理定理 设函数设函数 f (x) 在在 a, b 上连续上连续, 在在 (a, b) 内二阶可导内二阶可导.则曲线则曲线 y = f (x) 在在 a, b 上是上是上凹上凹的的;(1) 如果如果 (2) 如果如果 则曲线则曲线 y = f (x) 在在 a, b 上是上是下凹下

11、凹的的;21解解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x, 0 y；为下凹的为下凹的在在曲线曲线0 ,(时，时，当当0 x, 0 y；在在为上凹的为上凹的曲线曲线), 0 x yO3xy 求函数求函数 y = x3 的上凹、下凹区间及拐点的上凹、下凹区间及拐点.拐点为拐点为 (0, 0). 例例7 722得得解解求函数求函数 y = 3x 4 4 x 3 + 1的上凹、下凹区间的上凹、下凹区间及拐点及拐点.x)0 ,(),32()32, 0(032)(xf )(xf 00上凹上凹下凹下凹上凹上凹拐点拐点拐点拐点)1 , 0()2711,32(令令例例8 823拐点的求法：拐点的求法：1 1. 找出二阶导数为零的点或不可导点；找出二阶导数为零的点或不可导点；2 2. 若它两边的二阶导数值异号若它两边的二阶导数值异号, 则为拐点则为拐点; 若同号若同号, 则不是拐点则不是拐点. .24求曲线求曲线 y = 的拐点的拐点.解解当当 x 0 时时,3xx = 0 是不可导点是不可导点, 都不存在都不存在. 点点 (0, 0) 是曲线是曲线 的拐点的拐点.当当 x 0当当 x 0 时时, 0例例9 925求曲线求曲线 y = 的拐点的拐点.解解当当 x 0 时时,32xx = 0 是不可导点是不可导点, 都不存在都不存在. 点点 (0,