2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学Ⅰ(含答案)

1、2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 .本试卷共4页，均为非选择题（第1题第20题，共20题）。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。 考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。2 .答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3 .请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。4 .作答试题，必须用 0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。5 .如需作图，须用 2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗

2、。nXi i 11 n _样本数据x1, x2，xn的方差s2 - x X柱体的体积V Sh,其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.1 锥体的体积V - Sh,其中S是锥体的底面积，h是锥体的高.3、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上1 .已知集合 A 1,0,1,6 , B x|x 0,x R，则 AI B 2 .已知复数（a 2i）（1 i）的实部为0,其中i为虚数单位，则实数 a的值是 3 .下图是一个算法流程图，则输出的S的值是 4 .函数y47 6xx兀，2 ,则sin 2-的值是-4 4的定义域是 .5 .已知一组数据6, 7, 8,

3、8, 9, 10,则该组数据的方差是.6 .从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 .27 .在平面直角坐标系 xOy中，若双曲线 x2 丫2 1（b 0）经过点（3, 4）,则该双曲线的渐近线方程是b2. . _ _ * . _ -一 _ . _ .8 .已知数列an( n N )是等差数列，Sn是其前n项和.若a2a5 a8 0, S9 27 ,则S8的值是 E- BCD的体积是 9 .如图，长方体 ABCD AB1clD/勺体积是120, E为CC”41中点，则三棱锥44，一，一，一P到直线x+y=0的距离的10 .在平面直角坐标

4、系 xOy中，P是曲线y x -（x 0）上的一个动点，则点最小值是11 .在平面直角坐标系 xOy中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点 A处的切线经过点（-e, -1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是 .uuu uuur uur uur12 .如图，在AABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA,AD与CE交于点O .若AB AC 6AO EC ,AB .则任的值是 AC* tan13.已知tan14.设f (x), g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f (x)是奇函数.k(x 2),0 x 1当 x (0,2时，f (x) J

5、1 (x 1)2 , g(x)1,其中k>0.若在区间(0, 9上，关,1x22于x的方程f(x) g(x)有8个不同的实数根，则 k的取值范围是解答题：本大题共 6小题，共计90分.请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)在4ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c.(1)若 a=3c, b=应，cosB=,求 c 的值；3若酗acosB2b,求 sin(B一)的值.216.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱 ABC AiBiCi中，D, E分别为BC, AC的中点，AB=BC.求证：(1) AiBi/平面 DECi

6、; BEXCiE.4, A.C17.(本小题满分14分)22如图，在平面直角坐标系 xOy中，椭圆C:xy * 1(a b 0)的焦点为Fi ( - 1、0), a b 222F2 (1, 0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上万，l与圆F2：(x 1) y 4a交于点A,与椭圆C交于点D.连结AFi并延长交圆F2于点B,连结BF2交椭圆C于点E,连结DFi .已知DF 1= 5 .2(1)求椭圆C的标准方程;(2)求点E的坐标.18 .(本小题满分16分)如图，一个湖的边界是圆心为。的圆，湖的一侧有一条直线型公路 1,湖上有桥AB(AB是圆。的直径).规划在公路1上选两个点P、Q,并修建两段

7、直线型道路 PB、QA.规划要求：线段 PB、QA上的所有点 到点O的距离均不.小.于.圆.。的半径.已知点 A、B到直线1的距离分别为 AC和BD (C、D为垂足)，测得 AB=10, AC=6, BD=12 (单位：百米).(1)若道路PB与桥AB垂直，求道路 PB的长；(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在 D处？并说明理由；(3)在规划要求下，若道路 PB和QA的长度均为d (单位：百米).求当d最小时，P、Q两点间的距离.19 .(本小题满分16分)设函数 f(x) (x a)(x b)(x c),a, b,c R、 f'(x)为 f (x)的导函数.(1)若 a=b=

8、c, f (4) =8,求 a 的值;若awb, b=c,且f (x)和f'(x)的零点均在集合 3,1,3中，求f (x)的极小值;4(3)若a 0,0 b, 1,c 1,且f(x)的极大值为 m,求证：mw.2720 .(本小满分 16分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“ M-数列”.(1)已知等比数列an(nN )满足：a2a4a5,a3 4a24a40 ,求证：数列an为“M数列”；*122 (2)已知数列 bn (n N )满足：b1 1, ,其中Sn为数列bn的前n项和.Sn bn bn 1求数列bn的通项公式；设m为正整数，右存在M数列 cn(n N ),对任意正整

9、数k,当kwm时，都有ckffck ck 1成立，求m的最大值.2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I参考答案.每小题5分，共计70分.、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法1.1,62.23.54. 1,75.56.7. y . 2x3108.169.1010.411. (e, 1)12. 313.214.- ,103 4、解答题15 .本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力满分14分.解：(1)因为 a 3c,b cos B , 3a2 c2 b2 /口 2(3c)2 c2 ( - 2)2 日口 21由余弦定理

10、cosB ,得一 ，即c -.2ac32 3c c3所以c立.3(2)因为sin Aa由正弦定理asin A sin BcosB2bb c cosB,得sin B,所以cosB2sin B.从而cos2 B(2sin B)2,即 cos2 B 4 1 cos2 B ,故 cos2 B 5因为sin B让，2 50,所以 cosB 2sin B 0,从而 cosB 25因此sin BcosB 2-5 2516 .本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.证明：（1）因为D, E分别为BC, AC的中点，所以 ED / AB.

11、在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB/A1B1,所以 A1B1 / ED.又因为ED?平面DEC1, A1B1 平面DEC 1 ?所以A1B1 /平面 DEC1.（2）因为AB=BC, E为AC的中点，所以BEXAC.因为三棱柱 ABC-A1B1C1是直棱柱，所以 CC平面ABC.又因为BE?平面ABC,所以CC11BE.因为 C1C?平面 A1ACC1, AC?平面 A1ACC1, CCnAC=C,所以BE,平面A1ACC1.因为C1E?平面A1ACC1,所以BEXC1E.17 .本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论

12、证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分14分.解：（1）设椭圆C的焦距为2c.因为 F1（-1 , 0）, F2（1 , 0）,所以 F1F2=2, c=1.又因为 DF1=5, AF2”轴，所以 DF2=,DF12 讦22 J（5）2 22 3,因止匕 2a=DF+DF2=4,从而 a=2.由 b2=a2-c2,得 b2=3.22因此，椭圆C的标准方程为 1.43(2)解法22由(1)知，椭圆 C： 土 y- 1 , a=2, 43因为AF2，x轴，所以点A的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程(x-1) 2+y2=16,解得y=±4.因为点A在x轴上方，所以A(1, 4).又

13、F1(-1, 0),所以直线 AF1: y=2x+2.由y (x2x 2221) y,得165x2 6x11 0解得115因此B(y由2 x4又因为11 一代入5114(x2 y32x2,得y12一).又 F2(151)，得 7x2E是线段1代入y1250),所以直线BF2：6x 13 0，解得 xBF2与椭圆的交点,所以 x1.34(x1).133一.因此2E(1,|)解法二:由(1)知，椭圆2C：41.如图，连结EF1.因为 BF2=2a, EF1 + EF2=2a,所以 EF二EB,从而/ BFE=/B.因为 F2A=F2B,所以/ A=Z B,所以/ A=/ BF1E,从而 EF1 /

14、 F2A.因为AF2，x轴，所以EFx轴.x 1因为 F1(-1, 0),由 x2y2，得 y 1433又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以 y -.2一3因此 E( 1,-).218 .本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16分.解：解法(1)过A作AE BD ,垂足为E.由已知条件得，四边形 ACDE为矩形,DE BE AC 6, AE CD 8.'因为PBXAB,所以cos所以PBPBD sin ABE 10BD 12 “ T 15. cos PBD 4因此道路PB的长为15 (百米)(2)

15、若P在D处，由(1)可得E在圆上，则线段BE上的点(除B, E)到点。的距离均小于圆。的半径,所以P选在D处不满足规划要求.若Q在D处，连结AD,由(1)知ADJae2 ed2 10,_ 2_ 22AD AB BD从而 cos BAD 2AD AB0 ,所以/ BAD为锐角.25所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此，Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.(3)先讨论点P的位置.当/OBP<90。时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求;当/OBP>90时，对线段PB上任意一点F, OF圮B,即线段PB上所有点到点。的距离均

16、不小于圆 。的半径，点P符合规划要求.设Pi为l上一点，且PB AB ,由（1）知，PB=15,，一3此时 RDpBsin RBDPB cos EBA 15 - 9；5当/ OBP>90 时，在PRB 中，PB PB 15.由上可知，d>15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA>15,点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，CQ JQA2 AC2 也5 62 3面.此时，线段QA上所有点到点。的距离均不小于圆。的半径.综上，当PBLAB,点Q位于点C右侧，且CQ=3j2T时，d最小，此时P, Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+3、, 21 .

17、因此，d最小时，P, Q两点间的距离为17+3J21 （百米）解法（1）如图，过。作OH，l,垂足为H.以O为坐标原点，直线 OH为y轴，建立平面直角坐标系因为BD=12, AC=6,所以OH=9,直线l的方程为y=9,点A, B的纵坐标分别为3,-3.因为AB为圆。的直径，AB=10,所以圆。的方程为x2+y2=25.从而A （4, 3） , B （-4, -3）,直线AB的斜率为-.44因为PBLAB,所以直线PB的斜率为 一，3，、一425直线PB的方程为y -x 25.33所以 P (-13, 9) , PB J( 13 4)2 (9 3)2 15.因此道路PB的长为15 （百米）(2

18、)若P在D处，取线段BD上一点E (-4, 0),则EO=4<5,所以P选在D处不满足规划要求.若Q在D处，连结AD,由(1)知D (-4, 9),又A (4, 3),一一一一3.所以线段AD: y -x 6( 4轰版4).4在线段 AD上取点 M (3, 15),因为 OM J3215V3242 5,44所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.(3)先讨论点P的位置.当/OBP<90。时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当/OBP>90°时，对线段PB上任意一点F,

19、 OF2B,即线段PB上所有点到点。的距离均不小于圆 。的半径，点P符合规划要求.设 R 为 l上一点，且 PB AB ,由(1)知，P B=15,此时 Pi (- 13, 9);当/ OBP>90 时，在PRB 中，PB PB 15.由上可知，d>15.再讨论点Q的位置.由(2)知，要使得QA 15,点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求 .当QA=15时，设Q (a, 9),由 AQ J(a 4)2 (9 3)2 15(a 4),得 a=4 3，2?,所以 Q ( 4 3后，9),此时，线段 QA 上所有点到点。的距离均不小于圆O的半径.综上，当P (-13, 9) , Q

20、(4 3历，9)时，d最小，此时P, Q两点间的距离PQ 4 3.21 ( 13) 17 321 .因此，d最小时，P, Q两点间的距离为17 3，2T (百米).19 .本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.满分16分.解：(1)因为 a b c,所以 f(x) (x a)(x b)(x c) (x a)3.因为f(4) 8,所以(4 a)3 8,解得a 2.(2)因为b c,所以 f(x)(x a)(x b)2 x3(a 2b)x2b(2a b)x ab2,2a b2a b从而 f'(x)3(x b)x 2ab.令 f'

21、;(x)0,得 x b或 x 2-ab332a b 因为a,b,2a_b,都在集合 3,1,3中，且a b, 32a b所以刍一b 1,a 3,b3.3此时 f (x) (x 3)( x 3)2, f'(x) 3(x 3)( x 1).令f'(x) 0,得x 3或x 1 .列表如下：x(,3)3(3,1)1(1,)f'(x)+0一0+f(x)Z极大值极小值Z所以f(x)的极小值为f (1) (1 3)(1 3)232 .(3)因为 a 0,c 1,所以 f (x) x(x b)(x 1) x3 (b 1)x2 bx , f'(x) 3x2 2(b 1)x b .

22、因为 0 b 1 ,所以 4(b 1)2 12b (2b 1)2 3 0,则f'(x)有2个不同的零点，设为 x1,x2 K x2 .b 1. b2 b 1 b 1 、b2 b 1由 f'(x) 0 ,得 x1 , x2 .33列表如下：x(,x1)x1*2(x2 ,)f'(x)+0一0+f(x)Z极大值极小值Z所以f (x)的极大值M f x1解法一：M f x1X3 (b 1)x12 bx13k2 2(b1)xi bXib(b 1)92 b2 b1 (b 1)27b(b 1)-93-.b2 b 1 27b(b 1)272(b 1)2(b271)27(,一 b(bb(

23、b 1)27解法二：2727因此M27因为0 b所以x1(0,1).当 x (0,1)时,f(x)x(x b)(x 1)x(x 1)2 .令 g(x)x(x1)2, x(0,1),则 g'(x)1).令 g'(x)x1 %)13匕g'(x)+0一g(x)Z极大值1.0 ,得x -.列表如下:31 ,，、，一一，、1一时，g(x)取得极大值，且是最大值，故 g(x) max g 一33所以当x427所以当x44(0,1)时，f(x) g(x) 一，因此 M 272720.本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知

24、识探究与解决问题的能力.满分16分.解：(1)设等比数列an的公比为q,所以 awo, qw 0.a2 a4 a5/白,得a3 4a2 4al 02 4aq2aq4a1q,解得4alq 4al 0因此数列an为“ M 数歹因为122Snbnbn 1，所以bn 0 .由白1,61 2 b1'得彳12一,则 b22 .b21由Sn2bn2 bn，得Sn 1bnbn 12爪bn)2时,bn1SnSn 1，得 n 2 bn 1bnbn 1bn2 bn bn 1整理得bn 1bn2bn.所以数列 bn是首项和公差均为1的等差数列.*因此，数列bn的通项公式为bn=n n N .由知，bk=k,

25、k N .因为数列Cn为“M-数列”，设公比为q,所以01=1, q>0.因为 Ck<bk<Ck+1 ,所以 qk 1 kqk ,其中 k=1, 2, 3,，m.当k=1时，有qnl;ln k当k=2, 3,，m时，有空 kln qln kk 1ln x1设f (x)=(x 1),则 f'(x) - xln x-2 x令 f'(x)x(1,e)e(e, +o°)f'(x)+0一f (x)极大值*0,得*=3.列表如下:因为2ln8 ln 9 ln 3,八、ln3二7,所以 f(k)max f(3) 6633取 q 蚯,当 k=1, 2, 3,

26、 4, 5时,ln kk,ln q ,即 k q , k经检验知qk 1 k也成立.因此所求m的最大值不小于5.若m>G分别取k=3, 6,得3对3,且q5w。从而q15>243且q15w216所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上，所求m的最大值为5.数学n(附加题)21 .【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选彳4-2:矩阵与变换(本小题满分10分)-一 3 1已知矩阵A 2 2(1)求 A2；(2)求矩阵A的特征值.B.选彳4- 4:坐标系与参数方程

27、(本小题满分10分)在极坐标系中，已知两点A3, , B 版,直线l的方程为sin -3.424(1)求A, B两点间的距离；(2)求点B到直线l的距离.C.选彳4-5:不等式选讲(本小题满分10分)设x R ,解不等式|x|+|2 x 1|>2.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤.n2n*.222 .(本小题满分 10分)设(1 x) a。a1x a?xL anx,n4,n N .已知 a32a2a4.(1)求n的值；(2)设(1 百)nabJ3其中a,bN*,求a2 3b2的值.23 .(本小题

28、满分10分)在平面直角坐标系xOy中，设点集An (0,0),(1,0),(2,0),(n,0)Bn(0,1),(n,1),Cn (0,2),(1 ,2),(2,2), L ,(n,2), n N .令MnAn U Bn U Cn.从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.(1)当n=1时，求X的概率分布;（2）对给定的正整数n （n>3）,求概率P （X由）（用n表示）21.数学n（附加题）参考答案【选做题】A.选修4-2：矩阵与变换本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.解:（1）因为所以A21110(2)矩阵A的特征多项式为f(

29、)令f（ ） 0,解得A的特征值1,B.选修4-4：坐标系与参数方程10分.本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力.满分解：（1）设极点为。.在4OAB中，A （3, -） , B （五,-）,由余弦定理，得 AB32 (2 2 3 .2 cos( -) ,.5.（2）因为直线1的方程为sin（ 一） 3,4则直线l过点（372,-）,倾斜角为3-.又B（V2,一）,所以点B到直线l的距离为（3超 松 sin（ 一）2. 242C.选修4方：不等式选讲本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力.满分10分.1解：当x<0时，原不等式可化为X 1 2x 2,解得x<-'；3,1 _ _ 一当0效w_时，原不等式可化为 x+1 -2x>2,即x<T,无解；2,1 ,八，当x> 时，原不等式可化为 x+2x T>2 ,解得x>1.2,一 1 ,、.综上，原不等式的解集为 x|x-或x 1.322.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，满分10分.解：(1)因为(1 x)n cn C；x C2x2 Lcnxn,n 4